В 1908 году Пуанкаре описал суть дела словами, которые сегодня цитируют в каждом учебнике. Мельчайшая причина, ускользнувшая от нашего внимания, вызывает значительное следствие, и мы говорим, что следствие вызвано случаем, хотя случая тут нет никакого, работает обычная причинность. Он привёл в пример погоду и заметил, что десятая доля градуса в какой-то точке способна решить, где родится циклон, а поскольку измерить эту десятую долю мы не в состоянии, метеоролог обречён гадать. Дальше произошло странное: наука прошла мимо. Работал Жак Адамар, ещё в 1898 году показавший, что траектории на поверхности отрицательной кривизны разбегаются с чудовищной скоростью. Работал в Америке Джордж Биркгоф. Во время войны британские математики Мэри Картрайт и Джон Литлвуд, разбираясь по заказу военных с капризами радарных ламповых схем, наткнулись на решения уравнения ван дер Поля такой запутанности, что сами удивились. В пятьдесят четвёртом Колмогоров, а следом Владимир Арнольд и Юрген Мозер доказали теорему, которую теперь зовут КАМ и которая объясняет, почему в одной и той же механике устойчивое и хаотическое соседствуют, переплетаясь до бесконечности. В шестидесятом Стивен Смейл, сидя на пляже в Рио-де-Жанейро, придумал свою подкову, наглядную геометрическую машинку, из которой хаос получается сам собой. В Японии в шестьдесят первом аспирант Ёсисукэ Уэда увидел на аналоговой машине то, что позже назвали японским аттрактором, и получил от научного руководителя совет не позориться с публикацией. Материал копился, слова для него не было.

Слово принёс метеоролог. Эдвард Лоренц в Массачусетском технологическом гонял на ламповой машине Royal McBee LGP-30 маленькую модель погоды из двенадцати уравнений. Зимой 1961 года он захотел повторить кусок расчёта, начал не с самого начала, а с середины, введя вручную числа из распечатки. Машина держала в памяти шесть знаков после запятой, а печатала три, и Лоренц набрал 0,506 вместо 0,506127. Разница в одну миллионную, погрешность, которой в реальной атмосфере соответствует дуновение слабее вздоха. Он ушёл за кофе, вернулся и увидел, что новая погода сначала повторяла старую, потом чуть-чуть отклонилась, потом ещё, а через пару расчётных месяцев не имела с прежней ничего общего. Сперва он подумал, что сломалась лампа. В 1963 году вышла его статья «Детерминированное непериодическое течение», где всё это было сведено к трём коротким уравнениям, а нарисованная траектория оказалась похожа на бабочку с двумя крыльями, между которыми она перескакивает без всякого порядка, никогда не повторяя своего пути и никогда не выходя за пределы фигуры. Название для доклада 1972 года про взмах крыла бабочки в Бразилии и торнадо в Техасе придумал не Лоренц, а организатор Филип Мерилис, потому что докладчик вовремя не прислал заголовок. До бабочки Лоренц использовал в тех же целях чайку.

Механику этого дела удобно понимать через тесто. Пекарь раскатывает пласт, растягивая его вдвое, потом складывает пополам, потом снова раскатывает и снова складывает. Две изюминки, лежавшие рядом, после каждого цикла оказываются вдвое дальше друг от друга, а поскольку тесто складывают, они остаются в пределах доски. Растяжение разводит соседние состояния, складывание не даёт им улететь на бесконечность, и вместе они дают ту самую смесь: движение остаётся в ограниченной области и при этом никогда не повторяется. Скорость разбегания измеряют показателем Ляпунова, и она экспоненциальна, а это меняет всю экономику прогноза. Допустим, ошибка удваивается за сутки. Тогда, улучшив измерения в тысячу раз, вы покупаете себе примерно десять дополнительных дней, потому что тысяча это около десяти удвоений. Улучшив ещё в тысячу раз, ещё десять дней. Вложения растут в геометрической прогрессии, выигрыш растёт по чуть-чуть, и упираетесь вы в стену, за которой нужно было бы знать положение каждой молекулы. Отсюда горизонт предсказуемости, свойство самого явления, а не наших приборов. Для атмосферы его оценивают примерно в две недели, и эта граница остаётся на месте, сколько бы спутников мы ни запустили.

Дальше синоптики сделали красивый ход, который стоит того, чтобы его знали все, кто смотрит прогноз. Раз одну точную траекторию посчитать нельзя, будем считать облако траекторий. Берут исходное состояние атмосферы, слегка шевелят его пятьюдесятью разными способами в пределах погрешности измерений и запускают пятьдесят расчётов. Если через пять дней все пятьдесят вариантов показывают дождь, синоптик уверен. Если сорок дают дождь, а десять солнце, вы увидите в приложении восемьдесят процентов. Европейский центр среднесрочных прогнозов работает так с 1992 года, и та скромная цифра в углу экрана есть прямой потомок кофейной паузы Лоренца. Обиднее всего, что за неё синоптиков ругают. Человек слышит «вероятность осадков тридцать процентов», выходит без зонта, попадает под ливень и говорит, что синоптики опять наврали, хотя они как раз честно предупредили, что в трёх мирах из десяти он промокнет.

Здесь и живёт та предсказуемая непредсказуемость, ради которой всё затевалось. Отдельная траектория внутри хаоса непредсказуема принципиально. А форма, которую все эти траектории вместе рисуют, устойчива, воспроизводима и прекрасно вычисляется. Бабочка Лоренца выглядит одинаково, из какой бы точки вы ни стартовали, и никакие возмущения её не деформируют. Прогноз погоды на месяц невозможен, а средняя температура июля в Сямже (17 градусов тепла, на минуточку, хе-хе), распределение осадков и вероятность заморозков считаются вполне прилично, и климат в этом смысле предсказуем ровно там, где непредсказуема погода. Мы не знаем, какое число выпадет на кости, и превосходно знаем, что за шестьсот бросков каждая грань выпадет около сотни раз. Хаос отнимает знание о частности и оставляет знание о целом, и вся практическая работа с ним состоит в том, чтобы спрашивать у него правильные вопросы.

Фигуру такого рода Давид Рюэль и Флорис Такенс в 1971 году назвали странным аттрактором, и назвали дерзко, потому что покушались на общепринятую тогда картину турбулентности. Ландау предполагал, что поток становится бурным постепенно, накапливая всё новые независимые колебания, и через много шагов их набирается столько, что движение кажется беспорядочным. Рюэль и Такенс возразили: достаточно нескольких шагов, и течение сваливается на странный аттрактор, объект с дробной размерностью, который вроде бы поверхность, но при увеличении расслаивается на бесконечное множество слоёв. У аттрактора Лоренца размерность примерно 2,06, чуть больше плоскости. Экспериментаторы отнеслись к этому холодно, зато потом подтвердили в опытах с конвекцией и с течением между вращающимися цилиндрами.

Настоящим доказательством того, что перед нами наука, а не поэтическая метафора, стала работа Митчелла Фейгенбаума в Лос-Аламосе. Он изучал, как простейшее уравнение, которым описывают рост популяции, теряет порядок: при плавном увеличении одного параметра равновесие сменяется колебанием между двумя значениями, потом между четырьмя, восемью, шестнадцатью, и промежутки между этими удвоениями сокращаются. Фейгенбаум на карманном калькуляторе HP-65 заметил, что отношение соседних промежутков стремится к числу 4,6692..., и, что важнее, к тому же самому числу для совсем других уравнений, лишь бы у них был гладкий максимум. Универсальная константа, не зависящая от того, о чём идёт речь. Журналы отвергали его статьи года три подряд, рецензенты не понимали, что это вообще такое. Потом Альбер Либшабер поставил опыт с конвекцией в жидком гелии в крохотной ячейке и получил каскад удвоений с тем же числом, и спор кончился. Примерно тогда же, в 1976 году, эколог Роберт Мэй опубликовал в Nature знаменитую заметку, где показал ту же картину на модели численности насекомых и призвал учить этому школьников, потому что интуиция, воспитанная на плавных линиях, ломает людям голову при встрече с действительностью. Само слово «хаос» в математический обиход ввели в 1975 году Тянь-Янь Ли и Джеймс Йорк статьёй с отличным названием «Период три влечёт хаос», хотя более общий результат ещё в 1964 году доказал киевлянин Александр Шарковский, чью работу на Западе тогда не читали.

Дальше хаос обнаружился всюду, где движение описывается нелинейными уравнениями, то есть почти всюду. Жак Ласкар просчитал движение планет на миллиарды лет вперёд и показал, что орбиты внутренних планет хаотичны, характерное время разбегания около пяти миллионов лет, и предсказать положение Земли на орбите через сто миллионов лет невозможно в принципе. В 2009 году Ласкар и Микаэль Гастино прогнали две с половиной тысячи слегка различающихся вариантов будущего и обнаружили, что примерно в одном проценте случаев эксцентриситет орбиты Меркурия разрастается настолько, что дело кончается столкновением с Венерой или падением на Солнце, а в одном варианте разваливается вся внутренняя часть планетной семьи. Вопрос короля Оскара получил ответ через сто двадцать лет: устойчиво, но с вероятностью около девяноста девяти процентов. Сердечная мышца, лазеры, химические реакции вроде той, что открыл Борис Белоусов, чью статью в пятидесятые тоже отвергали, объясняя, что таких колебаний в химии быть не может, электрические цепи, капающий кран, поведение популяций, движение спутников Сатурна, вращение Гипериона, которое кувыркается непредсказуемо: список длинный и продолжает расти.

Была и обратная волна, о которой честному популяризатору умалчивать неприлично. В восьмидесятые и девяностые энтузиазм перехлестнул, и хаос начали находить в биржевых котировках, в электроэнцефалограмме, в ритме сердца, в экономических циклах, публикуя цифры размерности аттрактора с двумя знаками после запятой. Потом выяснилось, что методы, которыми эти размерности считали, выдают похожие красивые числа и для обыкновенного окрашенного шума. Джеймс Тейлер с коллегами в 1992 году предложил проверку суррогатными данными, суть которой сводится к тому, чтобы перемешать исходный ряд, сохранив его статистические свойства, и посмотреть, отличит ли ваш метод настоящие данные от перемешанных. Большая часть громких находок проверку не прошла и тихо ушла из литературы. Отдельно спорят о теории самоорганизованной критичности Бака, Тана и Визенфельда с их кучей песка, куда сыплют по песчинке и ждут лавин: идея великолепная, а вот реальные кучи песка ведут себя не так послушно, как модель, и с рисом получилось лучше, чем с песком. Общий урок такой: хаос есть строго определённое свойство уравнений, а доказать его наличие в измеренных данных мучительно трудно, потому что данных всегда мало и они всегда с шумом.

Есть у всей этой истории и практическая изнанка, приятно неожиданная. Раз крошечное воздействие даёт огромный эффект, значит, хаотическим движением можно управлять почти даром. В 1990 году Эдвард Отт, Селсо Гребоджи и Джеймс Йорк описали метод, который теперь носит их инициалы: внутри хаотического движения спрятано бесконечное множество неустойчивых периодических траекторий, и достаточно вовремя подтолкнуть объект слабым импульсом, чтобы удержать его на одной из них. Так стабилизировали лазеры, электронные схемы и, в опытах, сердечный ритм. Та же логика работает в баллистике межпланетных полётов: возле точек равновесия между Землёй, Солнцем и Луной проходят коридоры, по которым аппарат может переходить с одной траектории на другую, тратя ничтожное количество топлива, и миссия Genesis, летавшая за солнечным ветром, была спроектирована именно так.

Остаётся философия, и она серьёзнее, чем кажется. Хаос не отменяет детерминизма: уравнения Лоренца не содержат ни грамма случайности, и одинаковый старт даёт одинаковое будущее. Рушится другое, вера в то, что детерминизм и предсказуемость это одно и то же. Демону Лапласа, который знал положения и скорости всех частиц и потому видел прошлое и будущее насквозь, для работы требуется бесконечная точность, все цифры после запятой до последней. Макс Борн заметил ещё в 1955 году, что такой точности не бывает нигде, и назвал классический детерминизм мифом, вычитанным в уравнениях, но не проверенным опытом. Сегодня эту мысль довёл до предела Николя Жизен, женевский физик с безупречной репутацией в квантовой оптике, и его позиция считается ересью в лучшем смысле слова. Он говорит, что вещественное число с бесконечной последовательностью цифр содержит бесконечно много информации, что в конечном объёме пространства бесконечной информации быть не может, и что, следовательно, вещественные числа есть скрытые переменные классической механики, незаконно протащенные в физику из математики. Вместе с Флавио Дель Санто он предложил переписать классическую механику на величинах с конечной информацией, у которых определены первые сколько-то знаков, а дальнейшие существуют лишь как склонности принять то или иное значение и доопределяются по ходу движения. Такая механика совпадает со старой во всех измеримых предсказаниях, но она недетерминирована, и время в ней течёт по-настоящему, будущее становится реальностью, а не разворачивается из уже готового. Возражают ему многие и по делу: чтобы получилась настоящая недетерминированность, приходится вручную вписывать в теорию правило, по которому склонности превращаются в цифры, и критики говорят, что метафизика тут подменяет физику. Спор продолжается, и он честный. Похожую по духу программу вёл Илья Пригожин, выводивший необратимость времени из неустойчивости движения, и большинство физиков её не приняли, хотя разговор о том, откуда берётся стрела времени, с тех пор так и не закрылся. Добавлю то, о чём редко говорят вслух: в квантовой механике эффекта бабочки в лоренцевском смысле нет, уравнение Шрёдингера линейно, и близкие состояния остаются близкими навсегда, из-за чего вопрос, как из квантового мира вырастает наш классический, с его непредсказуемыми погодами и кувыркающимся Гиперионом, остаётся одним из самых живых в основаниях физики.

Когда в следующий раз увидите в прогнозе цифру вероятности, посмотрите на неё с уважением: за ней стоят полсотни слегка разных вселенных, посчитанных сегодня ночью на суперкомпьютере, и человек, который в шестьдесят первом году набрал три знака вместо шести. И если строите планы дольше чем на две недели, стройте их так, как метеоролог строит климат: считайте не одну траекторию, а облако, и держите в голове не точную дату, а форму.

Продолжение следует.