Правильные кватернионы (кватернионы В. Ленского) как строгая суперпозиция четырёхполярных лок (часть 1)
Глава 1. Каноника четырёхполярной локи L4 и понятие строгой суперпозиции
1. Предмет и установка
Я излагаю кватернионы не как “исторический артефакт” и не как поправку к учебной традиции, а как конструкцию, которая строго выводится из понятия четырёхполярной локи и правил её суперпозиции. В этой оптике кватернионы являются не “тройкой мнимых единиц”, а минимальным стабильным способом согласовать несколько четырёхполярных контуров (лок) при сохранении знака, ориентации и обратимости.
Ключевой методологический принцип задаётся сразу: прежде чем обсуждать взаимодействия между локами, я фиксирую канонический носитель одной L4-локи и её вычислимый закон отношений. Лишь после этого имеет смысл говорить о “склейках”, “суперпозициях” и “кватернионности”.
2. Четырёхполярная лока L4 как канонический носитель
Каноническая четырёхполярная лока задаётся множеством четырёх полярных состояний:
U4 = { (+), i, (-), (-i) }.
Интерпретация здесь строго структурная. Элементы i и (-i) фиксируются не как “мнимость”, а как две квадратурные ветви внутри минимального замкнутого контура из четырёх состояний. Элементы (+) и (-) являются осевыми полюсами, причём (+) выполняет роль единицы.
Чтобы исключить произвольные трактовки, я ввожу каноническую вычислительную кодировку (exp_map):
(+)->0 i->1 (-)->2 (-i)->3.
3. Закон отношений * в L4 и его группа
Операция отношений * в канонической L4-локе задаётся как циклическое сложение показателей по модулю 4:
a*b = decode( (encode(a) + encode(b)) mod 4 ).
В терминах структуры это означает, что каноническая L4-лока изоморфна циклической группе порядка 4, то есть C4. Важно подчеркнуть: здесь речь идёт не о “числах”, а о минимальном замкнутом носителе, на котором определено согласованное действие “шага” по контуру.
Из определения операции * непосредственно следуют базовые равенства (они будут опорой всех последующих глав):
i*i = (-) (-)*(-) = (+) i*(-) = (-i) i*(-i) = (+) (+)*x = x для любого x из U4.
Отдельно фиксирую роль единицы: в канонической L4-локе единица определяется как элемент (+), удовлетворяющий равенству (+)*x = x для всех x. Это определение не допускает двусмысленности.
4. Изоморфные презентации (gauge) одной и той же L4-локи
В теории лок принципиально важно различать:
саму структуру L4 (как абстрактный объект с операцией *),
её конкретную “презентацию” (обозначения полюсов и выбор того, какой элемент называется (+) в данном описании).
В строгом смысле изоморфная лока — это та же структура, но в иной презентации. Однако для канонической фиксации теории я удерживаю правило: единица должна оставаться единицей. Это значит, что допустимы лишь такие переобозначения, которые сохраняют роль (+) как единичного элемента и сохраняют операцию * как цикл порядка 4.
Данный пункт критичен методологически: в дальнейших главах, когда я буду “склеивать” локи в суперпозицию, любая смена презентации должна быть либо запрещена, либо явно отмечена как калибровка. Иначе в рассуждении незаметно меняется объект.
5. Зеркало как центральная симметрия L4 (предварительное введение)
Для дальнейшего построения “правильных кватернионов” мне потребуется ещё один стандартный оператор на L4-локе — зеркало. Я определяю его канонически:
m(x) = (-)*x.
Это означает: зеркало — это действие центрального элемента (-) на любой элемент x. В exp_map зеркало выражается как сдвиг на 2 по модулю 4:
encode(m(x)) = (encode(x) + 2) mod 4.
Отсюда следуют равенства:
m(+) = (-) m(i) = (-i) m(-) = (+) m(-i) = i.
Зеркало — не “комментарий к знаку”, а оператор, который в дальнейшем будет фиксировать ориентационные эффекты в суперпозициях. На уровне одной L4-локи этот оператор полностью вычислим и не зависит от интерпретаций.
6. Что я называю “строгой суперпозицией” четырёхполярных лок
Теперь я могу ввести базовое понятие, от которого будет отталкиваться вся кватернионная конструкция.
Под строгой суперпозицией L4-лок я понимаю такую композицию нескольких L4-лок, при которой одновременно выполняются условия:
каждая исходная лока сохраняет свой внутренний закон * (то есть остаётся L4-локом с циклом порядка 4);
склейка (идентификации между локами) задаётся явным правилом и не разрушает различимость элементов (+) и (-);
любая операция, связанная с изменением ориентации или порядка взаимодействий между локами, имеет явный след (в дальнейшем этот след будет реализован через оператор зеркала m);
суперпозиция не допускает вырождения типа “схлопывания осей”, когда разные локи оказываются переобозначениями одной и той же локи.
На этом месте я подчёркиваю: “строгая суперпозиция” не равна “произвольному произведению”. В следующей главе я задам тип суперпозиции, который минимален по носителю, но сохраняет знак и допускает кватернионную ориентацию без логических коллапсов.
7. Итог главы 1
В первой главе я закрепил основу, без которой разговор о “правильных кватернионах” невозможен:
канонический носитель L4-локи U4 = { (+), i, (-), (-i) };
вычислимую кодировку exp_map и закон отношений * как сложение по mod 4;
строгую роль единицы (+);
оператор зеркала m(x)=(-)*x как центральную симметрию;
определение строгой суперпозиции как композиции лок, сохраняющей знак и запрещающей вырождения.
Глава 2 будет посвящена минимальной суперпозиции нескольких L4-лок: я задам тип склейки по общим (+) и (-), введу независимые оси как разные L4-контуры, и покажу, как именно на этом уровне появляется кватернионный носитель и закон ориентации без апелляции к учебным “правилам на память”.
Глава 2. Минимальная строгая суперпозиция L4-лок и рождение кватернионного носителя
1. Задача главы
В главе 1 я зафиксировал канонику одной L4-локи: носитель U4, кодировку exp_map, внутрилокальную операцию *4 как цикл порядка 4 и базовые симметрии, которые в дальнейшем нельзя смешивать.
Теперь я делаю следующий строго необходимый шаг: показываю, как из нескольких L4-лок строится минимальная строгая суперпозиция, которая уже допускает кватернионный смысл (ориентацию и чувствительность к порядку), но ещё не опирается на исторические “таблицы умножения”.
Критерий минимальности задаю заранее. Я не раздуваю носитель до прямого произведения U4 x U4 x U4 (64 состояния). Мне нужен минимальный носитель, который:
сохраняет внутри каждой оси канонический закон L4 (*4);
не схлопывает различие (+)/(-) и удерживает центральный знак;
допускает независимость осей в строгом смысле (без переименований через смену знака);
допускает ориентацию между осями и фиксирует её как структуру, а не как “оговорку”.
2. Суперпозиция типа S: склейка по общим (+ ) и (-)
Я ввожу тип строгой суперпозиции, который буду использовать дальше. Обозначу его как суперпозицию типа S (склейка по знаку).
Пусть у меня есть несколько L4-лок, каждая имеет форму (внутрилокально, по *4):
U4(u) = { (+), u, (-), (-u) },
где u — “ось” данной локи (аналог i внутри этой локи).
Суперпозиция типа S задаётся так:
все локи имеют общий элемент (+ ) (одна единица);
все локи имеют общий элемент (-) (один центральный знак);
элементы u и (-u) различны для разных лок (это и есть независимость осей);
внутри каждой локи сохраняется канонический закон L4 (*4):
u*4 u = (-)
(-)*4(-) = (+)
(+)*4 x = x
ветвление квадратурных состояний фиксируется оператором автоморфии янтры r = m_AC (см. ниже).
Смысл склейки прост: я создаю единую систему, где единица и знак глобальны, а оси остаются локальными и не подменяют друг друга.
3. Два оператора, которые нельзя смешивать: r и neg
Ключевой момент, который устраняет путаницу “зеркал”.
(А) Автоморфия янтры r (в архивной фиксации — m_AC). Это зеркальная автоморфия L4-янтры при фиксированной единице. Она фиксирует (+ ) и (-) и меняет местами квадратурные ветви:
r(+) = (+) r(-) = (-) r(u) = (-u) r(-u) = u
для каждой L4-локи U4(u).
(Б) Негация (смена знака) neg. Это действие центрального знака (-) как операция смены ветви в суперпозиции:
neg(x) := (-) *Q x = x *Q (-).
В кватернионном контуре именно neg будет “зеркалом порядка” (см. §7). Важно: r и neg — разные операции и выполняют разные функции; смешивание приводит к логическим подменам.
4. Независимость осей: что именно я требую
Я называю оси независимыми в строгом смысле, если выполняются два условия.
(1) Неотождествимость по негации: для двух разных осей u и v запрещено равенство v = u и запрещено равенство v = neg(u).
Иначе “вторая ось” окажется просто переименованием первой с точностью до смены знака, и суперпозиция вырождается.
(2) Запрет “универсальной единицы в паре”: запрещено требование u*Q v = (+) для пары независимых осей u и v.
Причина принципиальная: при каноническом правиле u*u = (-) (квадрат оси равен знаку) любое навязывание u*v = (+) немедленно схлопывает v в neg(u). Это и есть механизм вырождения, который в “правильной” теории должен быть запрещён как дефект построения суперпозиции.
5. Минимальный носитель “правильных кватернионов”: Q8 как минимальная S-склейка
Теперь я выбираю две независимые оси i и j. Это принципиально: в минимальном кватернионном носителе независимых генераторов два, а третья ось возникает как производная ориентации.
Я фиксирую определение:
k := i *Q j.
Тогда в суперпозиции присутствуют три янтры (три L4-контуры): U4(i), U4(j), U4(k), но независимых осей — две.
Каждая ось задаёт свою L4-локу (внутрилокально, по *4):
U4(i) = { (+), i, (-), (-i) } U4(j) = { (+), j, (-), (-j) } U4(k) = { (+), k, (-), (-k) }.
После склейки типа S (общие (+ ), (-)) совокупный носитель минимален и равен:
Q8 = { (+), (-), (+/-i), (+/-j), (+/-k) }.
То есть ровно 8 элементов. Это “кватернионный” размер не потому, что “так принято”, а потому что я выбрал минимальную суперпозицию, сохраняющую общий знак и допускающую ориентацию без коллапса осей.
6. Два уровня законов: внутрилокальные и межлокальные
В суперпозиции типа S возникает два класса законов.
(А) Внутрилокальные законы L4 (операция *4), действующие внутри каждой оси отдельно. Пример для оси i:
i*4 i = (-) i*4 (-) = (-i) i*4 (-i) = (+) (-)*4 (-) = (+) (+)*4 x = x.
То же верно для осей j и k.
(Б) Межлокальные законы (операция *Q), определяющие взаимодействия осей между собой. Именно они создают кватернионный смысл: ориентацию, различие порядка, и “трёхосевую” структуру.
Методологически важно: межлокальные правила не могут быть произвольными. Они обязаны:
сохранять независимость (j не превращается в neg(i) и т.п.);
сохранять центральность (-);
обеспечивать неснимаемый след ориентации при перестановке множителей.
7. Ориентация и правило порядка: что именно фиксируется и чем
В “правильной” кватернионной конструкции я фиксирую ориентацию не таблицей “на память”, а минимальным выбором и протоколом вывода.
(А) Фиксация ориентации: Я выбираю ориентированное произведение:
i *Q j = k (где k определён как k := i*Q j).
Этот выбор задаёт ориентацию. Противоположная ориентация возможна, но тогда это должно быть явно оформлено как калибровка.
(Б) Правило переворота порядка через негацию neg: Вместо “запоминания минуса” я задаю формулу строгой спецификации:
v *Q u = neg(u *Q v) для различных осей u, v.
Отсюда всё вычисляется автоматически:
из i*j = k следует j*i = neg(k) = (-k).
Если далее определены ориентированные циклы (следствия протокола), то получаются стандартные кватернионные соотношения без деклараций:
j*k = i, k*j = neg(i) = (-i); k*i = j, i*k = neg(j) = (-j).
Содержательно это и есть “правильный” механизм: порядок — это ориентация, а смена ориентации отображается негацией, то есть действием центрального (-).
8. Почему это строгая суперпозиция, а не “набор оговорок”
Три наблюдения фиксируют строгость.
(1) Ничего не происходит “в уме”. Знак не “вспоминается”, он вычисляется как применение neg.
(2) Источник типовых “парадоксов” устранён конструктивно. Подмена j*i на i*j не может быть незаметной: между ними стоит обязательная операция neg.
(3) Вырождение запрещено структурно. Любая попытка навязать u*v=(+) для независимых осей немедленно рушит независимость и переводит объект в другой класс. В “правильной” теории это трактуется как нарушение условий суперпозиции S, а не как “улучшение кватернионов”.
9. Итог главы 2
В этой главе я сделал то, что является сердцем строгого построения:
определил минимальную строгую суперпозицию L4-лок типа S как склейку по общим (+ ), (-);
развёл два оператора, которые нельзя смешивать: автоморфию янтры r = m_AC и негацию neg;
зафиксировал строгую независимость осей и указал запреты, которые вызывают вырождение;
построил минимальный кватернионный носитель Q8 = {(+), (-), +/-i, +/-j, +/-k} при двух независимых осях i, j и производной оси k := i*j;
задал ориентацию выбором i*j=k и задал правило переворота порядка через neg: v*u = neg(u*v).
В главе 3 я выполняю строгую проверку согласованности: показываю, что заданные правила не приводят к коллапсу (+)=(-), что центральность (-) сохраняется, что ассоциативные трассы дают согласованные результаты, и что “парадоксы” возникают исключительно при попытке нарушить протокол порядка (то есть при подмене объекта).
Глава 3. Проверка согласованности: ассоциативные трассы, центральность (-), отсутствие коллапса (+)=(-) и формула, которая ловит ошибку порядка
Сейчас перепишу Главу 3 в канонической терминологии: исправлю “три независимые оси” на “две независимые + производная k”, разведу r=m_AC и neg, и переформулирую проверки согласованности через *Q и neg как “зеркало порядка”.
Глава 3. Проверка согласованности “правильных кватернионов”: трассы, центральность (-), отсутствие коллапса (+)=(-) и формула, которая ловит ошибку порядка
1. Задача главы
В главе 2 я задал “правильные кватернионы” как минимальную строгую суперпозицию L4-лок типа S: общий знак (+ ), (-), две независимые оси i, j и производная ось k := i*Q j, ориентация и правило порядка через негацию. Теперь необходимо сделать то, что в академической традиции отличает конструкцию от декларации: проверить согласованность.
Под согласованностью я понимаю три пункта.
Внутрилокальный закон L4 не разрушен суперпозицией: каждая ось остаётся L4-контуром (со своим *4).
Межлокальные правила (ориентация и “зеркало порядка”) не приводят к логическим коллапсам типа (+)=(-) и не схлопывают оси.
Типовые “парадоксы” возникают только при нарушении протокола (подмена порядка без следа), то есть являются диагностикой дефекта рассуждения, а не дефекта объекта.
Я намеренно не опираюсь на “исторические аксиомы”, а проверяю трассы непосредственно в заданной спецификации.
2. Спецификация объекта, с которой я работаю
Я фиксирую набор правил как спецификацию “правильных кватернионов” (в канонической терминологии главы 2).
(A) Общие элементы и центральный знак (+ ) — единица: (+ )*Q x = x для любого x. (-) — центральный знак: (-)*Q(-) = (+ ). Определяю негацию как действие знака: neg(x) := (-)*Q x = x*Q(-).
(B) Внутрилокальный L4-канон (для каждой оси отдельно, на *4) Для оси i: i*4 i = (-). Аналогично для j и k. Внутрилокальные отношения (+), (-), u, (-u) живут в соответствующей янтре U4(u) и там замкнуты по *4.
(C) Ориентация и определение третьей оси Я беру две независимые оси i, j и определяю: k := i*Q j. Это фиксирует ориентацию пары (i,j) и вводит третью янтру как производную.
(D) Закон переворота порядка (зеркало порядка) Для различных осей (и вообще для межлокальных произведений базовых осей) действует правило: v*Q u = neg(u*Q v).
Замечание о терминологии. В главе 2 я развёл два оператора, которые нельзя смешивать: r = m_AC — автоморфия янтры (меняет квадратурные ветви при фиксированных (+),(-)), neg — смена знака (действие (-)), которая и является “зеркалом порядка” в кватернионном контуре. В этой главе проверка согласованности относится именно к neg и к *Q.
3. Центральность (-) и почему это принципиально
В данной конструкции элемент (-) играет роль универсального знака суперпозиции.
Чтобы не было скрытых противоречий, я обязан удержать центральность:
(-)*Q x = x*Q (-) для любого элемента x.
Это не “пятая аксиома”, а условие стабильности протокола. Если (-) не центральный, то негация перестаёт быть единой операцией смены ветви, и тогда формула порядка v*u = neg(u*v) теряет смысл: появятся два несовместимых “минуса” — слева и справа.
Далее я использую запись (-x) как сокращение для neg(x).
4. Базовая проверка: произведение тройки i*j*k и отсутствие противоречия
Один из наиболее известных инвариантов кватернионной структуры — равенство типа i*j*k = (-) (в исторической записи ijk=-1). В моей схеме это не “мифология”, а прямой вывод из спецификации.
Из определения k := i*Q j имею: i*Q j = k.
Тогда по ассоциативности межлокального умножения (скобки можно переставлять при фиксированном порядке):
(i*Q j)*Q k = k*Q k.
Но по внутрилокальному канону янтры k (квадрат оси равен знаку):
k*Q k = (-).
Следовательно:
i*Q j*Q k = (-).
Это ключевой результат: “минус” возникает как структурный элемент (квадрат оси), а не как случайная приписка.
5. Главная трасса, на которой обычно “доказывают” ложный коллапс (+)=(-)
Теперь я беру типовую опасную трассу рассуждения и показываю, что в правильной конструкции она приводит к корректному выводу, а не к коллапсу.
Из определения k := i*Q j и правила порядка следует стандартная пара:
j*Q i = neg(i*Q j) = neg(k) = (-k).
Покажу, что то же самое получается ассоциативной трассой, не обращаясь к “памяти”.
Рассмотрим произведение:
j*Q (i*Q j).
Левая часть по ассоциативности:
j*Q (i*Q j) = (j*Q i)*Q j.
Теперь подставляю уже вычисленный (по протоколу порядка) результат j*Q i = (-k):
(j*Q i)*Q j = (-k)*Q j.
С другой стороны, исходное выражение j*(i*j) я могу переписать как j*k (по определению k = i*j):
j*Q (i*Q j) = j*Q k.
Именно здесь проявляется смысл согласованности: выражения (j*i)*j и j*k — один и тот же объект при разных расстановках скобок. При корректной спецификации они не должны давать “две истины”.
В “правильном” протоколе я фиксирую ориентационную тройку как следствие выбора k = i*j. Тогда стандартный цикл согласован (в одну из двух калибровок ориентации):
j*Q k = i, k*Q j = (-i) (как следствие правила порядка).
Тогда вычисление выше даёт:
(-k)*Q j = neg(k*Q j) = neg((-i)) = i,
то есть обе трассы сходятся к одному и тому же результату. Смысл здесь методологический: разные маршруты дают согласованный итог, а “минус” возникает только как действие neg, а не как неявная подмена.
6. Где именно рождается иллюзия “противоречия”
Иллюзия возникает, когда в середине рассуждения кто-то делает неявное отождествление:
j*Q i = i*Q j.
Но в моей теории это не “безобидная перестановка”, а прямое нарушение спецификации, потому что по правилу порядка:
j*Q i = neg(i*Q j).
Следовательно, равенство j*i = i*j эквивалентно утверждению:
neg(i*Q j) = i*Q j.
То есть результат должен совпасть со своей негацией. На языке знака это означает:
(-)*(i*Q j) = (i*Q j),
что возможно лишь в вырожденном случае, когда знак действует тривиально на соответствующем секторе. Если такое равенство появляется в тексте, оно не “доказывает”, что (+)=(-) в объекте. Оно доказывает лишь, что исчез след порядка (оператор neg), то есть объект подменён на другой.
7. Одна формула, которая фиксирует ошибку и сразу даёт исправление
Формула-ловушка (фиксация ошибки порядка):
(j*i = i*j) <=> (neg(i*j) = i*j).
Поскольку в правильной конструкции всегда верно:
j*i = neg(i*j),
то любое неявное j*i = i*j равносильно требованию инвариантности результата относительно neg. Это и есть запрещённый шаг.
Немедленное исправление по протоколу:
j*i := neg(i*j).
То есть вместо “подставил i*j” я обязан применить негацию как след смены ориентации.
8. Что здесь вычислимо “в exp_map”, а что к нему не сводится
Важно развести два уровня вычислимости, чтобы не возникла ложная ясность.
Внутри каждой янтры U4(u) операция *4 и связанные с ней преобразования (включая автоморфию r=m_AC) могут быть выражены через exp_map как циклические сдвиги по модулю 4. Это уровень L4-канона одной оси.
Межлокальное умножение *Q (кватернионный контур) не является просто “тем же самым mod 4”, потому что оно дополнительно содержит ориентацию между осями и след порядка через neg. Здесь вычислимость обеспечивается не одной таблицей, а протоколом:
привести произведение к ориентированному виду,
при перевороте порядка применить neg,
собрать результат в нормальной форме (+/-) умножить на одну из осей.
Именно поэтому я не обещаю “свести всё к одному mod 4”. Я обещаю более строгое: наличие полного алгоритма без неявных подмен.
9. Ассоциативность как дисциплина трассы, а не как разрешение менять порядок
В данной теории ассоциативность выполняет конкретную функцию: она обеспечивает согласованность длинных произведений при фиксированном порядке.
Я подчёркиваю: ассоциативность не даёт права менять порядок сомножителей. Она лишь гарантирует, что:
a*(b*c) = (a*b)*c,
если порядок a,b,c сохранён.
Именно смешение двух операций — “переставить скобки” и “переставить множители” — рождает большинство ложных “доказательств” коллапса знака. В правильной конструкции это разведено:
скобки меняются свободно (ассоциативность),
порядок меняется только через neg (правило v*u = neg(u*v)).
10. Итог главы 3
В этой главе я провёл проверку согласованности правильных кватернионов как строгой суперпозиции L4-лок:
уточнил канон: две независимые оси i, j и производная k := i*j;
зафиксировал центральность (-) и тем самым корректность единой операции neg;
вывел ключевой инвариант i*j*k = (-) без дополнительных оговорок;
проверил базовые трассы и показал, что “минус” возникает только как действие neg, то есть как вычислимый след порядка, а не как память;
локализовал единственный источник ложных “противоречий”: подмена j*i на i*j без применения neg;
дал формулу-ловушку и немедленное исправление: j*i := neg(i*j).
В главе 4 я перейду к главному следствию этой дисциплины: почему любые попытки коммутативизировать кватернионную суперпозицию приводят к вырождению (схлопыванию осей и/или тривиализации действия знака), и как строго отделяется класс “правильных кватернионов” от класса коммутативных суперпозиций L4-лок.
Продолжение Правильные кватернионы (кватернионы В. Ленского) как строгая суперпозиция четырёхполярных лок (часть 2)
Как ЗАПУСТИТЬ архив в новом чате ChatGPT
Вставьте архив в первое сообщение нового чата.
Напишите: «Выполни инструкции в файле DOCS/NEW_CHAT_PROMPT_iter444.md».
3. Задавайте любые вопросы.




