Лига математиков

К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два трёхзначных числа. Полученное число оказалось равным квадрату суммы трёх исходных чисел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

Настя написала на доске в строку десять цифр:

3, 1, 7, 7, 6, 9, 7, 7, 5, 7.

Даша поставила в два из девяти промежутков между соседними цифрами один знак сложения и один знак умножения. Остальные промежутки она оставила пустыми, поэтому стоящие рядом цифры образовали многозначные числа.

Знаки действий выполняются по обычным правилам: сначала умножение, потом сложение.

Какое наибольшее число могла получить Даша?

Это минимально возможное простое число, составленное ровно из 11 нулей, 11 шестёрок, одной двойки и одной девятки: 200000000000666666666669

Используя сложение, вычитание, умножение и деление (в любых количествах и комбинациях), получите число 43 из чисел 1, 5, 6, 7, 8 (использовав каждое по разу).

И Насте, и её маме меньше ста лет. Если приписать возраст Настиной мамы справа к возрасту самой Насти, то полученное четырёхзначное число будет давать остаток 5 при делении на произведение их возрастов. Сколько лет Насте и сколько лет её маме?

Настя и Даша — двоюродные сёстры. Их возрасты спрятаны в одной паре простых близнецов.

Известно, что оба числа в этой паре меньше тысячи. Если сложить цифры первого числа, получится простое число. Если сложить цифры второго числа, тоже получится простое число. Но эти две суммы цифр уже не являются простыми близнецами.

Сколько лет Насте и Даше?

Важное замечание: Возрастами Насти и Даши являются именно суммы цифр этих двух чисел, а не сами эти числа.