Лига математиков

Существуют ли такие натуральные числа a и b, что все четыре дроби a/b, a/(b+1), (a+1)/b, (a+1)/(b+1) сократимы?

По кругу в каком-то порядке расставлены числа от 1 до 9. Может ли оказаться, что сумма

любых двух идущих подряд чисел делится хотя бы на одно из чисел 4 и 7?

Нарисуйте на клетчатой бумаге четырёхугольник с вершинами в узлах, длины сторон которого – различные простые числа, не превышающие 11.

Реально ли проверить на простоту 72-значное число? Например, такое: 555555555555555555555555544444444444444444444444433333333333333333333333

Ребус ШЕ * СТЬ + 1 = СЕ * МЬ, предлагавшийся на Турнире имени Ломоносова в 2010 году, очевидно, решений не имеет.

И поэтому напрашивается другая задача:

При каком наибольшем целом (не обязательно натуральном) числе N ребус ШЕ * СТЬ + N = СЕ * МЬ имеет решение?

(Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные; первые цифры многозначных чисел ненулевые.)

В самолёте летят 3 пассажира: Волков, Зайцев и Медведев. Такие же фамилии у пилота, штурмана и радиста. Известно, что пассажир Волков живёт в Москве, штурман живёт на полпути между Москвой и Ленинградом, а пассажир — однофамилец штурмана — живёт в Ленинграде. Пассажир — земляк штурмана — вдвое старше его. Зайцеву 37 лет. Медведев и радист уже 5 лет летают вместе. Установите фамилию радиста.