Сообщество - Лига математиков

Лига математиков

294 поста 1 456 подписчиков
21

Ответ на пост «Число Пи» 

Не знаю надо ли это на Пикабу, но нашёл одну интересную закономерность с числом Фи. Немного покопавшись в интернете ничего подобного не обнаружил.

Итак, знаем, что числа Фибоначчи растут с соотношением (n+1)/n=1.618, т.е. Фи.

Но числа Фибоначчи алгебраическая последовательность, а, если взять такую же, но геометрическую (типа последовательность второго порядка), т.е. n=(n-1)*(n-2), то степень, в которую будем по возводить будет тем самым числом Фи, т.е. log n (n-1)=1.618 (по-другому на телефоне записать сложно, но думаю понятно). Прогрессия растёт слишком быстро, чтобы Эксель мог хотя бы больше 20 значений посчитать.

Думаю, если начать возводить ряд Фибоначчи в степень и пытаться отыскать зависимость от числа Фи, то можно открыть портал в ад, но это не точно.

9

Перпендикуляр и наклонная | Математика

В этом уроке поговорим о перпендикуляре и наклонной к плоскости, разберём их свойства, а также решим несколько задач по теме.

98

Бином Ньютона (при n = 3)...

...на примере сыра!


Ликбез от Лексея Савватеева при помощи подручных средств и съестных припасов :)

Алексей Владимирович Савватеев — российский математик и математический экономист, популяризатор математики среди детей и взрослых. Кандидат экономических наук, доктор физико-математических наук. Ректор Университета Дмитрия Пожарского (до 26 апреля 2020 года).
49

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика?

Собственно вопрос к лиге математиков. Своё высшее образование я получил уже лет пять назад, но я до сих пор не могу понять, почему в России такое низкое качество образовательных материалов?

Учебники

Возьмем, к примеру, Математический анализ - Зорич В.А.

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Классический учебник по матанализу, по моему мнению - один из лучших в Российской истории. Мы его открываем, начинаем проходить, доходим до заданий самопроверки, выполняем их, а ответов-то нет! Нет возможности самопроверки!

При этом практически всё изложение ведется сухим языком формул, автор не считаем нужным мотивировать читателя или пояснять значимость тех или других формул. Стоит отметить, правда, что Зорич хотя бы делает попытки показать применимость матанализа.

Возьмем учебники по теории вероятностей. Удивительно, но подавляющее большинство учебников по теорверу страдают тем же недостатком - задания есть, а ответов к ним нет. На фоне таких учебников выделяется труд В. Е. Гмурмана:

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Но проблема учебника Гмурмана в том, что он потихоньку начинает устаревать - там практически не освещена аксиоматика Колмогорова, а новейшие методы статистических исследований показываются лишь вскользь. Учебник устаревает, а настолько же хорошие учебники на смену ему не приходят.

Стоит отметить, что многие учебники практически не используют визуализацию для объяснения событий.

А теперь возьмем для сравнения один из хороших американских учебников: Anton Bivens Davis - Calculus Early Transcendentals:

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Начнем с того, что учебник построен не на тупой подаче формул и простейших изображений, а выдаёт информацию в соответствие с неким педагогическим виденьем:

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Кроме этого, учебник содержит упражнения для самопроверки, исторические сноски, показвает практическую значимость, использует новейшие средства визуализации и, самое главное, имеет решения и ответы (solution manual)! А вот пример страницы:

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Практически на каждой странице есть рисунки, поясняющие происходящее в формулах, рисунки выполнены в современных пакетах компьютерной алгебры. В большей части российских учебников рисунки черно-белые, встречаются очень редко и выполнены довольно бедно, пример из Зорича:

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Замечу, что на мой взгляд Гмурман и Зорич - одни из лучших виденных мной учебников современной России по математическим наукам. Другие учебники страдают неполнотой, отсутствием задач-ответов, в некоторых хромает математическая строгость.


Онлайн-курсы

Покажем на примере, пожалуй, одного из сильнейших вузов страны - МФТИ. "Случайные процессы". Курс открыт на openedu: https://openedu.ru/course/mipt/STOCH/ . Вот одна из его лекций:

Да, да, в 21 веке один из лучших университетов страны выкладывает онлайн-курс, в котором преподаватель пишет на доске мелом (который время от времени скрипит). Кажется, плюсом, что камера следует за преподавателем. Но проблема заключается в том, что преподаватель постоянно ходит от одной доски к другой - и камера постоянно следует за ним. Ситуация только ухудшается от того, что пока преподаватель пишет, он закрывает спиной то, что он пишет, а как только запись закончена на одной из досок, преподаватель переходит к другой, и камера следует за ним.  Почему нельзя было сделать курс используя электронные доски и оборудование для презентаций - вопрос.

Следующий курс - Математическая статистика на Степике от института Computer Science Center. И опять та же проблема, что и с учебниками - нет мотивации учащихся, нет объяснения на пальцах значения формул, складывается ощущение, что курс создан не ради обучения, а просто "чтоб был". Вот, один из самых популярных комментариев к первой же лекции:

Почему в России так плохо преподаётся высшая математика? Высшая математика, Образование, Учебник, Недостатки, Образование в России, Видео, Длиннопост

Пояснение: курс рассчитан в том числе на биологов, которые хотят стать биоинформатиками.


Итог

Несмотря на то, что в российских учебниках и в российских онлайн-курсах материал изложен часто очень глубоко, сама подача материала крайне неэффективна. В хороших американских современных учебниках и в онлайн-курсах прослеживается заинтересованность преподавателя в доступной подаче материала. Кроме этого, прослеживается влияние педагогической науки. В России же кажется, что педагогическая наука остаётся никому не нужным придатком - обучающие материалы часто составляются без оглядки на усвояемость, заинтересованность ученика/студента мало кого волнует.

Показать полностью 6 1
140

Николай Андреев - Конические сечения

Какие бывают конические сечения и как их удобно запомнить? Какими свойствами обладают конические сечения? Что такое оптическое свойство параболы и эллипса и где они применяются? Что такое гиперболические конструкции и как они могли помочь соорудить башню выше, легче и одновременно прочнее Эйфелевой?

Рассказывает Николай Николаевич Андреев кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией популяризации и пропаганды математики Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

352

Про ипотеку: досрочные платежи

Так уж получается, что далеко не все понимают важность досрочных платежей по ипотеке и как они влияют на суммарную переплату по кредиту. В моём предыдущем посте Про ипотеку я постарался описать механизм начисления процентов, но комментарии подсказывают, что не все моменты понятны.


Попробую развеять миф, что в первую половину срока кредита платятся проценты, а во вторую – тело кредита.


Для ЛЛ - в конце есть Выводы.


Буквально позавчера обращался к сотруднику банка по вопросу предоставления небольшого кредита на 3 года, так он без капли сомнения утверждал, что досрочно гасить кредит имеет смысл только в первой половине срока.


Пост большой, состоит из четырёх частей, в которых я постарался подробно описать расчёты и разобрать варианты на примере.


Кому не интересна математика – сразу переходим к частям 2-4 с графиками и рассмотренным примером. Подробную математику решил включить, чтобы желающие могли повторить расчёт для своих условий. Авось пригодится кому… А нет, так зря старался. :)


================================

Часть 1. Теория

Придётся пописать немного формул, чтобы любой со знанием математики на уровне 9-11 классов мог повторить проделанный расчёт.

Обозначим начальную сумму кредита S0, процент по кредиту p (p = 0÷1, что соответствует 0-100%) и количество месяцев, на который берётся кредит – m (целое число). Считаем, что проценты начисляются раз в месяц (для удобства), а не каждый день, как обычно в банках!

Тогда на конец первого месяца (или начало второго месяца, что одно и то же), после уплаты месячного платежа si, у нас останется кредит на сумму:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

S0·p/12 – это начисленные проценты по кредиту за первый месяц. Отсюда следует, что тело кредита будет уменьшаться, только если si > S0·p/12. Если по кредиту каждый месяц, начиная с первого платить сумму S0·p/12, то кредит не закрыть никогда.

На конец второго месяца по аналогии с первым, уже будет сумма кредита:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

А на конец третьего месяца:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Думаю, что трёх месяцев достаточно, чтобы увидеть зависимость и написать общее выражение для любого месяца n:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Второе слагаемое является суммой геометрической прогрессией (b1 = si, q = 1+p/12):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Учитывая геометрическую прогрессию, получаем формулу для расчёта тела кредита на конец любого месяца (при одинаковых ежемесячных платежах si):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Сумма ежемесячного платежа по кредиту (формула была приведена в предыдущем посте) рассчитывается из условия, что на окончания m-ного месяца (последнего) останется нулевая сумма кредита:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Откуда выражаем si:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Теперь переплата по процентам.

За первый месяц будет начислено процентов:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

За второй:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

За n-ный месяц (сумма от тела кредита, полученного на конец n-1 месяца!):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Куда подставляем нами полученное выражение для si, и после преобразований получим:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

А суммарная переплата по процентам за весь кредит (с учётом суммы геометрической прогрессии):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Фух, сложное позади. Идём дальше…


================================

Часть 2. Базовый расчёт

Рассмотрим пример. Берём кредит на 1 млн. рублей под 12% годовых на срок 20 лет (240 месяцев).

Ежемесячный платёж составит si = 11’010,86 рубл., суммарная выплата по кредиту 240×si = 2’642’606’72 рубл., а сумма выплаченных процентов соответственно P = 1’642’606,72 рубл.


График платежей с величиной процентов по кредиту и телом кредита в каждом платеже, так любимый многими, (слева) и график уменьшения тела кредита (справа):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Можно заметить, что график уменьшения тела кредита с точностью до некоторого коэффициента (p/12 = 1% = 0,01) совпадает с графиком платежей по процентам.


Запомнили цифры?

Едем дальше…


================================

Часть 3. Досрочный платёж

А теперь давайте посмотрим, как скажутся дополнительно внесённые 50 тысяч по кредиту в конце пятого года (в 60 месяце).


Так как срок кредиты мы уменьшать не будем, то снизится сумма ежемесячного платежа (на рисунках отмечаю чёрной пунктирной линией).

Ежемесячный платёж с 1 по 60 месяцы будет, как и в базовом расчёте 11’010,86 рубл., а с 61 по 240 – 10’410,78 рублей. Суммарная переплата по кредиту (проценты) составит 1’584’591,59 рублей. Если сравнивать с базовым расчётом, мы сэкономили 58’015,13 рубл.

Графики:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

А с учётом внесённых 50 тыс. – заработали 8’015,13 рубл. Ради интереса можно посчитать процентную ставку, чтобы через (240-61+1) месяц у нас 50 тысяч дали доход 8 тыс. с копейками:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Получается, что намного эффективнее вложить эти 50 тысяч в депозит под 4%, чем досрочно заплатить за кредит. Но это только с первого взгляда…


Переходим к четвёртой части, где будем сравнивать потенциальных доход от наших «лишних» 50 тысяч.


================================

Часть 4. Так что выгоднее?

Сравнивать имеет смысл только для одинаковых условий. Основное: в каждой схеме считаем деньги на срок окончания базового кредита, т.е. через 240 месяцев! Условие второе – у нас каждый месяц в течение всего срока кредита есть сумма, соответствующая ежемесячному платежу по базовому расчёту, которую мы можем использовать на кредит или депозит.


Схема 1) Досрочно по кредиту платить не выгодно. Кладём 50 тыс на депозит и смотрим сколько будет на конец срока (процентную ставку по депозиту обозначим pд):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Схема 2) Платим досрочно 50 тыс. Тогда начиная со следующего месяца у нас появляется небольшая сумма d2 = 11’010,86 - 10’410,78 = 600,08 рубл., которую мы можем каждый оставшийся месяц кредита класть на вклад. На конец срока у нас будет (с учётом процентов по депозиту):

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Схема 3) Платим досрочно 50 тыс. Тогда уже в 61 месяце у нас появляется небольшая сумма d3 = 11’010,86 - 10’410,78 = 600,08 рубл., которую мы также используем для уменьшения тела кредита. Это приводит к новому значению (меньшему) ежемесячного платежа в 62 месяце. Новую оставшуюся сумму в 62 месяце опять вносим в счёт погашения тела кредита и т.д. А когда кредит закончится, а закроем мы его таким образом раньше, чем на 240 месяц, мы наши 11’010,86 рублей в месяц будем класть в депозит под процент pд.


Уж простите, но выводить аналитическую формулу для данной схемы мне было очень лень, поэтому ниже пойдут графики с результатами численных расчётов.


А пусть у нас будет ставка в банке по депозиту такая же, как и по кредиту. Знаю, что такого не бывает, а вдруг? Тогда график увеличения депозита по месяцам для трёх схем:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Интересно, да? Получается, что если ставка по депозиту и ставка по кредиту равны, то нет разницы гасить кредит досрочно или класть «лишние» деньги на депозит.

А что, если взнос делать на через 5 лет, а через 15? Результат для одинаковой ставки:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Масштаб по оси Х изменил, чтобы было лучше видно. Опять всё так же, как и в случае досрочного платежа в конце 5 года: к моменту конца кредита все три схемы дают одинаковый результат.


А теперь более реальный случай. Ставка по депозиту на 2% меньше ставки по кредиту (12% по кредиту и 10% годовых по депозиту). Результаты для досрочного платежа в конце 5 (60 месяц) и 15 (180 месяц) на левом и правом рисунках соответственно:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

В обоих случаях с платежом в конце 5 года или 15 выигрывает схема 3, когда деньги дополнительно вносим в счёт погашения тела кредита до тех пор, пока не закроем его полностью, а потом начинаем откладывать ежемесячный платёж на депозит.


Конечно, чем раньше будет досрочный платёж, тем лучше. Для нашего варианта посчитал также экономию (а сэкономил – считай заработал!) в зависимости от момента внесения 50 тыс.:

Про ипотеку: досрочные платежи Ипотека, Кредит, Математика, Скука, От нечего делать, Длиннопост

Как видим, третья схема в любом случае самая выигрышная.


================================

================================

Выводы

Чтобы ни говорил в банке менеджер по кредитам или ваш знакомый, знайте, чем быстрее Вы закроете кредит, тем больше Вы сэкономите денег! Вкладывать деньги в депозит (облигации, ОФЗ и т.п.) стоит только в одном случае: когда ставка по депозиту выше ставки по кредиту! И это без учёта страховки жизни / недвижимости в течение срока кредита, которая тоже стоит денег!


Все умозаключения верны для условий РФ, где возможны досрочные платежи по ипотеке без дополнительных санкций и ограничений.

================================

================================

Показать полностью 21
18

Занимательная математика. Формула Пика для ленивых

Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади.

Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников?

— Сказка? — Нет, теорема Пика!

• Названа она в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка звучит так:

S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

• Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки. Т.е. это справедливо ТОЛЬКО для многоугольников с целочисленными вершинами.

Занимательная математика. Формула Пика для ленивых Математика, Геометрия, Формула, Всё гениальное просто, Картинка с текстом, Вертикальное видео, Видео
7

Нужна помощь Лиги математиков

Нужна помощь Лиги математиков.

Суть проблемы:

Я гуманитарий, (на этом можно было и окончить но тут все несколько сложнее) немного программирую, для своего проекта мне потребовалась некая математическая функция, которая скорее всего уже кем то открыта, и я о ней просто ничего не знаю, и мне нужно узнать название этой функции.

Постараюсь, на сколько это возможно для гуманитария, описать данную функцию:

Это функция которая из произвольного числа "k"

создаст некую числовую последовательность "r" которая была бы во много раз больше "k".

При этом если взять произвольный фрагмент последовательности "r" и применить ту же функцию то можно было бы получить последовательность содержащую в себе число "k".

Нужна помощь Лиги математиков Прикладная математика, Проблема, Помощь

*Схема полностью условна


Предполагаю, что для каждого "k" "r" будет уникальна.

Предполагаю, что "r" периодическая, бесконечная последовательность, но это не точно.


Возможно я не совсем по адресу, но не могли бы меня толкнуть в нужном направлении?

Мои подписки
Подписывайтесь на интересные вам теги, сообщества,
пользователей — и читайте персональное «Горячее».
Чтобы добавить подписку, нужно авторизоваться.
Отличная работа, все прочитано!