Лига математиков

1) Здесь девять слов, девятнадцать слогов и пятьдесят четыре буквы.

2) В этой фразе десять слов, семнадцать слогов и пятьдесят букв.

3) В этой фразе одиннадцать слов, двадцать слогов и пятьдесят девять букв.

4) В этом предложении ровно тринадцать слов, двадцать семь слогов и семьдесят четыре буквы.

5) Это предложение имеет двенадцать слов, двадцать девять слогов и семьдесят четыре буквы.

Если во фразе "Настя, я люблю тебя!" заменить каждую букву её номером в русском алфавите, получится простое число:

15119203333133221332206233

А если по-украински написать: "Настю, я безмежно кохаю тебе!" и заменить каждую букву её номером в украинском алфавите, тоже получится простое число:

1812223323327101779181915192613223727

Настя и Даша едут в поезде. Вагон Насти — пятый от головы поезда, а вагон Даши — седьмой с хвоста. Настя решила зайти к Даше и смогла добраться до её вагона, пройдя не более одного межвагонного перехода. Сколько вагонов в поезде?

Определите все возможные значения числа вагонов в поезде и докажите, что других не существует.

Найдите все натуральные числа, записанные в десятичной системе счисления, обладающие следующим свойством: если взять сумму всех цифр этого числа, умножить её на первую (самую левую, то есть старшую) цифру числа и затем прибавить к полученному результату эту же первую цифру, то получится исходное число.

Замените звёздочки цифрами так, чтобы равенство стало верным и все 9 цифр были различны:

12* + **6 = ***

Сколькими способами это можно сделать?

Найдите все пары натуральных чисел (a, b), удовлетворяющие одновременно следующим условиям:

1) Дробь a/b несократима и имеет в десятичной записи вид 0,(xy). То есть 0,xyxyxy.... Здесь x и y - это цифры.

2) Дробь (a+1)/(b+1) в десятичной записи имеет вид 0,(z). То есть 0,zzz.... Здесь z - это цифра.