Лига математиков

На доске было записано действие умножения двух двузначных чисел. Ученик заменил каждую цифру новой, большей предыдущей на одно и то же число. Вот что получилось:

43 54 — 64 85 — 894 Что было написано на доске вначале?

Ссылка на источник задачи:

Математические олимпиады и олимпиадные задачи

Скриншет:

1) Перед гномом лежат три кучки бриллиантов: 4, 5 и 6 штук. В одной из кучек лежит один фальшивый бриллиант. Все бриллианты имеют одинаковый вид, все настоящие бриллианты весят одинаково, а фальшивый отличается от них по весу. У гнома есть чашечные весы без гирь. Гному надо за одно взвешивание найти какую-нибудь одну кучку, в которой все бриллианты наверняка настоящие. Как это сделать?

2) Дан мешок сахарной пудры, чашечные весы и гирька в 1 г. Как за 5 взвешиваний отмерить 31 г сахарной пудры?

3) Известно, что в наборе из 32 одинаковых по виду монет есть две фальшивые монеты, которые отличаются от остальных по весу (настоящие монеты равны по весу друг другу, и фальшивые монеты также равны по весу друг другу). Как разделить все монеты на две равные по весу кучки, сделав не более 4 взвешиваний на чашечных весах без гирь?

В числовом ребусе AB+BC+CA=1CA разные буквы означают разные цифры, отличные от нуля, причём две из них нечётны.

Не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором, определите, чему могут быть равны A, B и C.

Сколько решений у этой задачи?

Найдите все простые числа P, для которых сумма десятичных цифр числа P^4+4 равна самому P.

Куб натурального числа назовём кубовским, если он содержит хотя бы по одному разу цифры 1, 5 и 7, а других цифр не содержит.

Наименьшим кубовским кубом является куб числа 173, равный 5177717.

Найдётся ли ещё один кубовский куб?