UPD:

Ниже привожу моё авторское решение этой задачи. Советую вам сначала попытаться решить задачу самостоятельно, и только потом читать моё решение.

Посчитаем, сколько всего существует различных конфигураций состояний лампочек. Лампочек у нас 3×3 = 9 штук. Каждая лампочка может быть в 2 различных состояниях: либо включена, либо выключена. Значит, количество различных конфигураций состояний всех 9 лампочек будет 2^9 = 512.

Посчитаем теперь, скольких конфигураций можно достичь, следуя условиям задачи. У нас есть 3 ряда. Над каждым рядом можно произвести 2 различных действия: либо ничего не делать, либо переключить. Нет смысла рассматривать действие, состоящие из 2 или более переключений. Дело в том, что чётное число переключений эквивалентно отсутствию переключения, а нечётное — одному переключению. То же самое и с 3 столбцами. Т.е. всего различных наборов действий 2^(3+3) = 2^6 = 64. Однако может быть, что разные наборы действий приводят к одинаковым конфигурациям. Тогда число достижимых конфигураций будет меньше. Давайте посчитаем, сколько именно.

Обозначим действие над i-ым рядом как Ряд(i). Действие может принимать значение 0 или 1. Здесь 0 означает, что нет переключения. А 1 означает, что есть переключение. Аналогично обозначим действие над j-ым столбцом как Столб(j). Каждый набор действий можно записать 6 числами: {Ряд(1), Ряд(2), Ряд(3), Столб(1), Столб(2), Столб(3)}.

Обозначим состояние лампы в i-ом ряду и j-ом столбце как Лампа(i,j). Значение 0 означает, что лампа выключена, а 1 — что включена. Напомним, что изначально все лампы выключены. Тогда после применения какой-либо набора действий лампа окажется в состоянии Лампа(i,j) = (Ряд(i)+Столб(j)) mod 2, здесь mod 2 означает остаток от деления на 2. Всего есть 4 набора действий над одной лампой: {Ряд(i), Столб(j)} = {0,0}, {0,1}, {1,0}, {1,1}. Однако приводить эти 4 действия могут только к 2 различным состояниям лампы: 0 и 1. Действия {0,0} и {1,1} приводят к одному и тому же состоянию 0, т.е. выключено. А действия {0,1} и {1,0} приводят состоянию включено. Таким образом для каждого набора действий над всеми лампами {Ряд(1), Ряд(2), Ряд(3), Столб(1), Столб(2), Столб(3)} есть другой набор {1-Ряд(1), 1-Ряд(2), 1-Ряд(3), 1-Столб(1), 1-Столб(2), 1-Столб(3)}, приводящий к той же конфигурации состояний ламп. Все прочие наборы действий, кроме указанных двух, будут приводить к другим конфигурациям. Итак, достижимых конфигураций состояний ламп в 2 раза меньше, чем наборов действий. Т.е. количество конфигураций состояний ламп 64/2 = 32.

Итак, произвольную конфигурацию состояний ламп получить нельзя. Но как получить любую из достижимых конфигураций? Допустим, нам задана некая конфигурация. Попробуем получить её. Рассмотрим верхний ряд лампочек. Переведём все эти 3 лампочки в требуемое состояние, переключая, если нужно, соответствующие столбцы. Теперь рассмотрим самый левый столбец. Верхняя лампочка в нём уже находится в правильном состоянии. Переведём среднюю и нижнюю лампочки из этого столбца в требуемые состояния, переключая, если нужно, средний и/или нижний ряд. Итак, всего мы перевели в требуемое состояние 5 лампочек. Остались ещё 4 лампочки, которые мы уже не можем переключить, не портя состояние первых 5 лампочек. Если оказалось, что эти 4 лампочки находятся в правильном состоянии, то мы достигли нужной конфигурации. Если нам не повезло, и они в неправильном состоянии, то такой конфигурации достичь невозможно.

Как было показано выше, существует ещё один набор действий, приводящий к тому же результату. А именно если первый набор мы обозначим {Ряд(1), Ряд(2), Ряд(3), Столб(1), Столб(2), Столб(3)}, то второй будет {1-Ряд(1), 1-Ряд(2), 1-Ряд(3), 1-Столб(1), 1-Столб(2), 1-Столб(3)}. Вспомним, что в первом алгоритме мы гарантированно не переключали верхний ряд, т.е. Ряд(1)=0. Вернёмся к исходной конфигурации, когда все лампы выключены. Теперь переключим верхний ряд, т.е. выполним действие 1-Ряд(1)=1. Далее повторим описанный выше алгоритм: выставим лампочки верхнего ряда в правильные состояния, переключая соответствующие столбцы, и так далее. Нетрудно заметить, что так мы опять гарантированно получим 5 лампочек в правильном состоянии. Остальные 4 лампочки — как повезёт. Ранее мы доказали, что все лампочки окажутся в том же состоянии, что и при применении первого алгоритма. Т.е. если первый алгоритм выставил 4 последние лампочки в правильное состояние, то и второй выставит их правильно. Таким образом, у нас есть 2 набора переключений, которые приводят к нужной конфигурации состояний ламп, если эта конфигурация принципиально достижима.

Итак, ответы на вопросы задачи следующие:

1. Нет, не всякую конфигурацию состояний ламп можно получить указанным в задаче способом.

2. Алгоритма получения произвольной конфигурации состояний ламп не существует. Алгоритм получению любой из достижимых конфигураций описан выше.

3. Всего достижимы 32 конфигурации состояний ламп.