Лига математиков

В погребе лежало 10 головок сыра. Пришло несколько мышей и съели несколько головок. Съели полностью, недоеденных, надкусанных не оставили. Каждая мышка съела одинаковое количество сыра. Несколько головок осталось нетронутыми. Больше одной. На следующий день пришла часть из тех же мышей в количестве 11 особей. Это точно меньше, чем было в первый раз. И все доели. Опять все поделили поровну, причем порция каждой мышки получилась равна порции в первый день. Сколько мышей приходили в первый раз, сколько сыра съели в первый день и сколько во второй.

Для 6-го класса, "чуть-чуть олимпиадного уровня".

Существует ли такое натуральное число, что сумма его цифр больше суммы цифр его квадрата?

Таких чисел бесконечно много! Например, 39, 399, 3999, …

Настя придумала ребус, в котором фигурирует число ДЕСЯТЬЦИФР.

Дождливая Аня утверждает, что это число — составное.

Права ли Дождливая Аня?

Найти все тройки различных натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно их утроенной сумме.

Все целые числа от 1 до 28 Настя решила разбить на пары так, чтобы сумма чисел в каждой паре делилась на 8. Определите наименьшее возможное количество чисел, которые при этом останутся непарными (не войдут ни в одну пару).

Кощей Бессмертный задал Ивану Царевичу следующую задачу:

Расставьте в записи 7:3-2 скобки так, чтобы значение этого выражения было равно а) 23; б) 75.

Ясно, что решения у этой задачи нет. Тем не менее, если Иван Царевич не решит задачу, ему отрубят голову. Как Ивану спасти свою жизнь?