API для души: как я упаковал «эзотерику» в строгую математику и зачем мне это надо
Есть два типа «высоких» проектов. В первом автор берет число 108, лепит к нему ярлык «квантовый» и предлагает просто верить. Мой вариант — второй: строгая постановка и условия, при которых конструкция рушится. Дело в том, что большинство теорий гибнет на вопросе: «какая группа действует и что она сохраняет?». Если автор путает переименование кнопок с симметрией закона, математика превращается в дизайн интерфейса. В моем случае Q108 — это не магия, а адресное пространство конечного автомата. Я запрещаю свободную перестановку координат не из вредности, а чтобы модель не превратилась в тыкву. Это путь максимальной строгости: вместо «я так чувствую» — «я так проверяю».
Снаружи таблица по модулю 7 выглядит просто, но она не дает притворяться. Если симметрия — это автоморфизм операции, то из 5040 перестановок остается всего 6 «легальных» ходов. Именно они управляют 12 базовыми режимами (Q12), внутри каждого из которых есть 9 состояний интенсивности. Эти 108 точек — результат жесткой динамики шага T, а не нумерологии.
Таблица Кэли семиполярности
Термины «фибры» и «торсоры» здесь нужны, чтобы подтвердить: над каждой базой лежит слой равной мощности с группой переносов без коллизий. В статьях ниже я ввожу объект P = Z_7, вычисляю автоморфизмы и показываю, как динамика восстанавливает внутренний торсор. Спор будет не о вкусах, а о равенствах.
Тут стоит сделать важное отступление про последователей В. Ленского, автора «Многополярности». Наблюдая за ними, я понял, в чем была их главная ошибка. Большинство из них вообще не интересовала суть системы — их манила только внешняя обложка, загадочная и статусная. Проблема в том, что это в массе своей очень ленивые люди. Они категорически не любят напрягать голову, прикрываясь удобным щитом: мол, мы слишком «духовные» для всей этой вашей логики и цифр. За всё время моих изысканий ни один из этих адептов не вступил со мной в нормальную дискуссию и ни разу не поинтересовался многополярностью как таковой, как механизмом. Им проще верить в чудо, чем разобраться в автоморфизмах.
Друзья, признаю, текста много. Кому лень вникать в формулы — качайте плагин для ChatGPT, он все разжует, стоит лишь написать одну команду: "Следуй инструкциям в файле DOCS/00_NEW_CHAT_PROTOCOL.md из загруженного архива". А с остальными приступаем к тяжелой артиллерии.
Краткий путеводитель по структуре:
Глава 1. Базис и симметрии: Фиксируем P = Z_7 и операцию op(a,b) = a + b mod 7. Находим 6 автоморфизмов sigma_u(k) = u*k mod 7 и делим их на орбиты A = {1, 2, 4} и B = {3, 6, 5}. Это фундамент.
Глава 2. Слой Q12: Строим пространство Q12 = Chi x S_set x X3 (ориентация, орбиты и позиции). Получаем 12 базовых состояний, на которых жестко задано действие симметрий через калибровку cal_orbit.
Глава 3. Динамика Q108: Добавляем внутренний индексатор I9 = Z_3 x Z_3. Вводим шаг T (счетчик с переносом на базу). Доказываем макро-инвариант: T^9(q12, (i,j)) = (NEXT(q12), (i,j)). За 9 шагов интенсивность возвращается в исходную точку, сдвигая фазу на один макро-шаг NEXT.
Итог: Перед вами не «магия», а конечный автомат, где любая «эмоция» — лишь название поверх жесткой алгебры.
Глава 1. Базовый объект, операция и группа автоморфизмов
1.0. Цель главы
Зафиксировать “нулевой уровень” модели так, чтобы дальнейшие утверждения не зависели от риторики:
задать конечную алгебраическую структуру (P, op);
строго определить Aut(P, op);
для выбранного (P, op) вычислить Aut(P, op) и его мощность;
выделить внутри Aut(P, op) подгруппу порядка 3, которая позже даст разбиение на две 3-орбиты (основа для слоя Q12).
Дальше в статье мы будем строить слои Q12/Q54/Q108 и динамику T, но это имеет смысл только после полной фиксации базовой алгебры.
Разъяснение для пикабушника: Мы закладываем фундамент нашего движка. Представьте, что мы пишем код для эмулятора: если мы сразу не пропишем жестко, как процессор складывает биты, то обсуждать дизайн кнопок или «душу» программы бесполезно. Мы создаем правила игры, которые нельзя будет объехать на кривой козе «авторского видения» или эзотерического тумана.
1.1. Определение базового носителя и операции
Определение 1.1 (носитель).
Пусть
P := Z_7 = {0,1,2,3,4,5,6}.
Определение 1.2 (операция).
Определим бинарную операцию
op: P x P -> P,
op(a,b) := (a + b) mod 7.
Тогда (P, op) есть циклическая группа порядка 7 (аддитивная группа Z_7), где нейтральный элемент равен 0.
Разъяснение для пикабушника: P — это наш набор «состояний» или «кнопок», их ровно семь. Операция «op» — это способ их взаимодействия. Сложение по модулю 7 работает как барабан в «Поле чудес» или обычные часы. Если вы стоите на «6» (последнем элементе) и прибавляете «1», вы не получаете 7 (которой нет в списке), вы возвращаетесь в 0. Это замкнутый мир, где всё крутится по кругу и ничего не вылетает за границы.
1.2. Автоморфизм как симметрия закона, а не “переклейка меток”
Определение 1.3 (автоморфизм операции).
Биекция σ: P -> P называется автоморфизмом (P, op), если
σ(op(a,b)) = op(σ(a), σ(b)) для всех a,b ∈ P.
Множество всех таких σ с операцией композиции образует группу, обозначаемую
Aut(P, op).
Замечание 1.1.
Если σ — произвольная перестановка P (элемент Sym(P)), то равенство из определения, вообще говоря, не выполняется. Именно это равенство делает “симметрию” структурным объектом: она сохраняет закон, а не только названия.
Разъяснение для пикабушника: Представьте, что вы решили переклеить наклейки на кнопках пульта (вместо «1» приклеили «2», вместо «2» — «4»). Если вы просто перемешали их как попало — вы сломали логику устройства. Но если вы нашли такой хитрый способ замены (биекцию), что устройство работает точно так же (нажимаете «новую 1» + «новую 2» и получаете «новую 3» согласно закону), значит, вы нашли автоморфизм. Это глубокая симметрия системы, которая сохраняет её «движок» в рабочем состоянии, как бы вы ни переименовывали переменные.
1.3. Классификация автоморфизмов Aut(Z_7, +)
Для циклической группы порядка 7 автоморфизмы известны и вычисляются элементарно.
Лемма 1.1 (автоморфизм определяется образом 1).
Пусть σ ∈ Aut(Z_7, +). Тогда σ однозначно задаётся значением σ(1), и для всех k ∈ Z_7 выполнено:
σ(k) = k * σ(1) (mod 7).
Доказательство.
В аддитивной группе Z_7 любой элемент имеет вид k = 1+1+...+1 (k раз). Из гомоморфности:
σ(k) = σ(1+...+1) = σ(1)+...+σ(1) = k*σ(1) (mod 7).
∎
Лемма 1.2 (условие биективности).
Отображение вида
σ_u(k) := (u*k) mod 7
является автоморфизмом (Z_7,+) тогда и только тогда, когда u != 0 (mod 7).
Доказательство.
σ_u — гомоморфизм для любого u, так как
σ_u(a+b) = u(a+b) = ua + ub = σ_u(a) + σ_u(b) (mod 7).
Он биективен тогда и только тогда, когда умножение на u обратимо в Z_7, то есть u ∈ Z_7^× = {1,...,6}. ∎
Следствие 1.1.
Имеем явное описание:
Aut(Z_7, +) = { σ_u : u ∈ Z_7^× }.
и
|Aut(Z_7, +)| = |Z_7^×| = 6.
Разъяснение для пикабушника: Математика нам жестко говорит: всего существует 5040 способов перемешать 7 элементов (это 7!). Но из них есть только 6 «законных» ходов, которые не ломают логику сложения. Это как если бы у вас было пять тысяч ключей, но к замку подошли бы только шесть. Это жесткий каркас, который нельзя обойти «духовными практиками» или интуицией.
1.4. Структура Z_7^× и “шесть легальных ходов”
Обозначим мультипликативную группу единиц:
U := Z_7^× = {1,2,3,4,5,6}.
Тогда отображение
u ↦ σ_u
задаёт изоморфизм групп:
U ≅ Aut(Z_7, +).
Факт 1.1.
Группа U циклична порядка 6. Например, элемент 3 имеет порядок 6, так что:
U = <3>.
(Проверка: 3^1=3, 3^2=2, 3^3=6, 3^4=4, 3^5=5, 3^6=1 mod 7.)
Разъяснение для пикабушника: Эти 6 «легальных» перестановок сами по себе работают как идеально подогнанная шестеренка в часах. Если вы возьмете одно такое преобразование (например, умножение на 3) и будете применять его раз за разом, вы по очереди пройдете через все 6 вариантов и ровно через 6 шагов вернетесь точно в исходную точку.
1.5. Подгруппа порядка 3 (“триадный механизм”) и орбиты на шести ненулевых элементах
Далее нам потребуется не вся группа U, а её подгруппа порядка 3.
Определение 1.4 (подгруппа H порядка 3).
Рассмотрим элемент 2 ∈ U. Тогда:
2^1 = 2,
2^2 = 4,
2^3 = 8 ≡ 1 (mod 7).
Следовательно, ord(2)=3 и подгруппа
H := <2> = {1,2,4}
имеет порядок 3.
Теперь рассмотрим действие H на множестве U умножением слева:
h · x := (h*x) mod 7, h ∈ H, x ∈ U.
Определение 1.5 (орбиты A и B).
Орбита элемента 1:
A := H·1 = {1,2,4}.
Орбита элемента 3:
B := H·3 = {3,6,5}.
Лемма 1.3 (разбиение на две 3-орбиты).
Имеем дизъюнктное объединение:
U = A ⊔ B,
|A|=|B|=3.
Доказательство.
Поскольку |U|=6 и |H|=3, размер каждой орбиты делит 3. Орбита A имеет 3 элемента (явно). Элемент 3 не лежит в A, значит его орбита B дизъюнктна A и также имеет 3 элемента. ∎
Разъяснение для пикабушника: Мы берем нашу шестеренку из 6 зубцов и обнаруживаем, что она состоит из двух независимых наборов по 3 элемента. Подгруппа H — это «скрытый мотор», который вращает эти тройки. Тройка A и тройка B никогда не пересекаются. Это естественное деление системы на две части, заложенное в самой природе цифры 7.
Замечание 1.2 (не про “порядок в множестве”, а про калибровку).
Множества A и B — это орбиты, то есть неупорядоченные тройки. Если позже вводится “позиция” x ∈ Z_3, то требуется отдельная калибровка (биекция) вида:
cal_orbit: {A,B} x Z_3 -> U,
которая выбирает, какой элемент считать “x=0”, “x=1”, “x=2” внутри каждой орбиты. Эта калибровка не является “теоремой” — это допустимый выбор координат, который далее должен быть фиксирован и проверяем на отсутствие коллизий.
Разъяснение для пикабушника: Представьте, что у вас есть две корзины, и в каждой по 3 одинаковых шара. Пока они просто навалены в корзине — порядка нет. Чтобы работать с ними в коде, нам нужно договориться: «этот шар №1, этот №2, а этот №3». Это и есть калибровка. Мы просто раздаем адреса, чтобы потом не запутаться в расчетах. Это чисто инженерная задача, а не магия.
1.6. Промежуточный итог главы
На данный момент строго зафиксировано:
Базовая алгебра: P = Z_7, op(a,b) = a+b (mod 7);
Группа симметрий закона: Aut(P,op) ≅ Z_7^×, |Aut| = 6;
В Aut выделена подгруппа порядка 3: H = <2> = {1,2,4};
Действие H на шести ненулевых элементах U даёт разбиение на две 3-орбиты: A = {1,2,4}, B = {3,6,5}, U = A ⊔ B.
Разъяснение для пикабушника: Итого: мы имеем жесткий математический фундамент. У нас есть базовый «процессор» (Z_7), у нас есть ровно 6 способов его легально перенастроить (симметрии), и эти способы сами собой разбиваются на две команды по три (орбиты A и B). Это те детали, из которых в следующей главе мы соберем «коробку передач» нашей модели — слой Q12. Никакой магии и гаданий, только сухая логика, которую можно проверить на калькуляторе.
Глава 2. Построение слоя Q12 из орбит и ориентации. Индуцированное действие симметрий
2.0. Цель главы
После Главы 1 у нас зафиксированы:
базовая группа (P, op) = (Z_7, + mod 7),
группа автоморфизмов Aut(P,op) ≅ U = Z_7^×,
подгруппа H = <2> порядка 3,
две 3-орбиты A и B действия H на U.
В этой главе мы:
строго определим базовый слой состояний Q12;
отделим структуру (слои, проекции, действия) от калибровок (выбор конкретных биекций);
определим индуцированное действие допустимых симметрий на Q12;
подготовим основу для слоя Q54/Q108 (где появится фибрация и внутренний торсор).
Разъяснение для пикабушника: В первой главе мы разобрали «физику» нашего мира — как работают числа. Теперь мы строим «интерфейс» из 12 кнопок (состояний). Важно понимать: эти кнопки — не просто случайный список, а жесткая конструкция. Мы отделяем математический «скелет» от «адресации» (калибровки), чтобы потом не гадать, почему система ведёт себя не так, как ожидалось.
2.1. Орбитальный слой как “семейство + позиция” и необходимость калибровки
Из Главы 1 мы имеем разбиение
U = A ⊔ B,
A = {1,2,4}, B = {3,6,5}.
Содержательно это означает: у нас есть два “семейства” (две орбиты), и внутри каждого семейства есть три позиции (элементы орбиты). Однако орбита как множество не несёт порядка: “позиции” появляются только после выбора координат.
2.1.1. Абстрактный орбитальный слой
Определение 2.1 (абстрактное множество орбит).
Пусть
S_set := {A, B}.
Определение 2.2 (абстрактный индекс позиций).
Пусть
X3 := Z_3 = {0,1,2}.
Замечание 2.1.
Пока X3 — это лишь “три позиции”. Оно не обязано совпадать с подмножеством Z_7 и не обязано наследовать от него операцию. Это индексатор.
2.1.2. Калибровка орбит
Чтобы связать “семейство+позиция” с конкретными элементами U, вводится калибровка.
Определение 2.3 (калибровка орбит).
Калибровкой называется биекция
cal_orbit: S_set x X3 -> U,
такая что
cal_orbit(A, X3) = A, cal_orbit(B, X3) = B
(то есть образ A x X3 равен множеству A, и аналогично для B).
Замечание 2.2 (неуникальность).
Калибровка не канонична: внутри каждой орбиты есть 3! способов пронумеровать элементы. В дальнейшем это соответствует “сдвигу фазы” внутри тройки. В репозитории такая калибровка должна быть фиксирована и проверяема (биективность, отсутствие коллизий).
Разъяснение для пикабушника: У нас есть две пачки по три объекта. Чтобы компьютер мог с ними работать, им нужно присвоить номера: 0, 1, 2. Но «кто первый, кто второй» — это наш выбор (калибровка). Математика дает нам только сами пачки, а адреса внутри них мы раздаем сами. Главное — зафиксировать этот выбор раз и навсегда.
2.2. Ориентация как отдельный структурный множитель
В слое Q12 появляется множитель “ориентации” (две версии направления). В строгой части мы не интерпретируем его психологически; это просто двузначный параметр, который далее играет роль в канале Q_base для r >= 3.
Определение 2.4 (множество ориентаций).
Chi := Z_2 = {+, -}.
2.3. Определение Q12 и калибровка cal_12
Теперь определим базовый слой из 12 состояний.
Определение 2.5 (базовый слой).
Положим
Q12 := Chi x S_set x X3.
Тогда |Q12| = 2 * 2 * 3 = 12.
Элемент q ∈ Q12 имеет координаты
q = (chi, S, x),
chi ∈ Chi, S ∈ S_set, x ∈ X3.
2.3.1. Связь с “физическим” U (опционально)
Иногда удобно связывать (S,x) с конкретным элементом u ∈ U через cal_orbit:
u = cal_orbit(S,x).
Но важно: Q12 не является подмножеством Z_7 и не обязано наследовать от Z_7 никакие операции. Это отдельный слой, который будет участвовать в построении автомата.
2.3.2. Калибровка (нумерация) Q12 в списке
В реализации часто требуется зафиксировать линейный порядок элементов Q12 (например, для массива длины 12). Это снова калибровка, а не теорема.
Определение 2.6 (линейная калибровка Q12).
Калибровкой cal_12 называется биекция
cal_12: Q12 <-> {0,1,...,11}.
Она фиксирует “номер” каждого состояния q ∈ Q12.
Замечание 2.3.
Валидатор должен проверять, что cal_12 действительно биекция (нет повторов и пропусков). Любая семантика “GI, TR, ...” поверх Q12 также должна быть калибровкой (словарём), а не частью математического определения.
Разъяснение для пикабушника: Здесь мы создаем список из 12 пунктов. Это как реестр: под каким номером какое состояние записано. Математика говорит нам, что состояний 12, а калибровка — это просто порядок их записи в памяти сервера, чтобы мы не путали «гнев» с «радостью» (или что мы там моделируем).
2.4. Действие группы симметрий на Q12: что канонично, а что является выбором
Теперь ключевой пункт: как “шесть легальных симметрий” из Главы 1 связаны с Q12.
2.4.1. Действие U на U и на S_set
Группа U = Z_7^× действует на множестве U умножением:
g_u: U -> U,
g_u(t) = ut (mod 7). Это действие канонично. Это действие индуцирует действие на множестве орбит S_set = {A,B}: для S ∈ S_set положим u·S := { us (mod 7) : s ∈ S }.
Так как S — подмножество U мощности 3, и умножение на u — биекция, то u·S снова тройка. При этом u·S обязательно равна либо A, либо B, то есть действие замкнуто на S_set.
Факт 2.1.
Существует гомоморфизм
φ: U -> Sym(S_set),
φ(u)(S) = u·S.
Так как |S_set|=2, образ φ либо тривиален, либо равен Z_2 (переключение A <-> B).
В частности, элемент 6 ≡ -1 (mod 7) переводит A в B и наоборот (это видно напрямую по вычислению -A = {6,5,3} = B).
Разъяснение для пикабушника: Наши «легальные симметрии» (те самые 6 штук) умеют либо оставлять наши «пачки» (орбиты) на месте, либо менять их местами. Например, симметрия «шестерка» просто меняет местами всё содержимое орбит А и В. Это происходит само собой из-за свойств чисел.
2.4.2. Почему позиция x требует калибровки
На уровне S_set действие канонично. Но чтобы получить действие на координате x ∈ X3, нужно согласовать действие на конкретных элементах орбиты с нашей нумерацией X3. Это снова калибровка.
Здесь есть два пути:
либо считать, что действие на Q12 определяется через сопряжение калибровкой cal_orbit;
либо зафиксировать отдельные перестановки ρ_u,S ∈ Sym(X3) для каждого u и S так, чтобы они реализовывали умножение на u внутри орбит.
Мы выбираем первый путь как наиболее прозрачный.
2.5. Определение индуцированного действия G_base на Q12
Пусть выбрана калибровка cal_orbit. Тогда можно переносить действие U с U на пары (S,x).
Определение 2.7 (индуцированное действие на S_set x X3).
Для u ∈ U и (S,x) ∈ S_set x X3 определим:
вычислим элемент орбиты t := cal_orbit(S,x) ∈ U;
применим умножение на u: t' := u*t (mod 7);
вернёмся к координатам (S',x') через обратную калибровку: (S',x') := cal_orbit^{-1}(t').
Тогда положим
u · (S,x) := (S',x').
Это определяет действие U на S_set x X3 (зависимое от выбора cal_orbit, но после фиксации — строгое и проверяемое).
Определение 2.8 (действие на Q12).
Определим действие U на Q12 покоординатно:
u · (chi, S, x) := (chi, u·(S,x)).
Замечание 2.4 (о chi).
На этом этапе мы оставляем chi инвариантным. Можно вводить и более сложные действия, которые меняют chi при некоторых симметриях, но это уже отдельная калибровка модели (и должна быть явно зафиксирована как аксиома/режим). Для текущей строгой конструкции достаточно действия, сохраняющего chi.
Следствие 2.1.
Получено корректно заданное действие группы
G_base := U (или его фактор/подгруппа, в зависимости от режима)
на множестве Q12.
2.6. Проекция “забыть ориентацию” и структура Q6 (для контроля)
Иногда полезно рассматривать промежуточную проекцию, забывающую chi.
Определение 2.9 (проекция на орбитальный слой).
pi_6: Q12 -> S_set x X3,
pi_6(chi,S,x) = (S,x).
Фибра над каждой парой (S,x) имеет мощность 2 (значения chi).
Это предвосхищает будущий слой Q54 как “без знака” и слой Q108 как “со знаком”.
2.7. Итог главы и подготовка к Q54/Q108
В этой главе мы построили базовый слой Q12 строго как декартово произведение трёх множителей:
Q12 = Chi x S_set x X3,
Chi = {+,-}, S_set = {A,B}, X3 = Z_3.
Ключевые моменты, которые будут критичны дальше:
Калибровка неизбежна. Чтобы говорить о “позициях x=0,1,2” внутри орбиты, нужно фиксировать биекцию cal_orbit: S_set x X3 -> U. Это не теорема, а выбор координат, который обязан быть проверяемым (биективность).
Действие симметрий на Q12 задано строго. После фиксации cal_orbit действие U на Q12 определено сопряжением и является корректным групповым действием.
Q12 пока не является алгеброй. Мы не вводили на Q12 никакой бинарной операции. Это слой состояний автомата, а не новая “магма эмоций”.
В следующей главе появится полный слой Q108 и шаг T, где будет строго формализована динамика и реконструкция внутреннего индексатора как торсора на фибрах проекции pi_base.
Разъяснение для пикабушника: Мы закончили сборку нашего «пульта» на 12 положений. Теперь мы точно знаем, как каждая кнопка реагирует на системные симметрии. Никакой магии, только инженерная точность. Впереди — Глава 3, где мы наконец-то введем время (шаг Т) и превратим эту статичную схему в динамический автомат Q108, который и будет «двигателем» системы.
Глава 3. Полный слой Q108, проекции, шаг T и торсор на фибрах
3.0. Цель главы
В Главе 2 мы построили базовый слой:
Q12 = Chi x S_set x X3,
где Chi = {+,-}, S_set = {A,B}, X3 = Z_3, и зафиксировали корректное действие симметрий.
Теперь мы делаем следующий шаг: вводим полный слой состояний и динамику. Именно здесь возникает строгий смысл фраз:
“у каждого базового состояния есть 9 внутренних состояний”;
“интенсивность — не ручная шкала, а торсор (регулярное действие группы на фибре)”;
“число 108 появляется как произведение слоёв, а не как ‘магия’”.
Разъяснение для пикабушника: Если в прошлой главе мы сделали «пульт» с 12 кнопками, то теперь мы лезем внутрь каждой кнопки. Там не просто пустота, а свой маленький механизм 3х3. Итого 12 кнопок по 9 положений в каждой — вот вам и 108 состояний. И это не «красивое число из эзотерики», а тупо результат перемножения структуры.
3.1. Внутренний индексатор I9 и группа внутренних переносов V9
Определение 3.1 (внутренний индексатор).
Положим I9 := Z_3 x Z_3. Элемент ξ ∈ I9 записываем как ξ = (i,j), где i ∈ Z_3, j ∈ Z_3.
Определение 3.2 (группа внутренних переносов).
Положим V9 := Z_3 x Z_3 и определим действие V9 на I9 по формуле:
(a,b) · (i,j) := (i+a mod 3, j+b mod 3).
Лемма 3.1 (регулярность действия на I9).
Действие V9 на I9 свободно и транзитивно. Иными словами, I9 является торсором V9.
Доказательство.
Транзитивность: для любых (i,j) и (i',j') берём (a,b)=(i'-i, j'-j) в Z_3, тогда (a,b)·(i,j)=(i',j').
Свободность: если (a,b)·(i,j)=(i,j) для некоторого (i,j), то a=b=0 в Z_3. ∎
Разъяснение для пикабушника: Внутри каждой «кнопки» у нас квадратная сетка 3 на 3. Мы можем перемещаться по ней вверх-вниз и влево-вправо. «Торсор» — это умное слово, которое означает, что из любой точки этой сетки можно попасть в любую другую ровно одним способом, используя наши «сдвиги». Никаких дырок, никаких наложений.
3.2. Определение Q108 и Q54, проекции и мощности фибр
Определение 3.3 (полный слой).
Положим Q108 := Q12 x I9. Элемент q ∈ Q108 записываем как q = (q12, (i,j)).
Тогда |Q108| = |Q12| * |I9| = 12 * 9 = 108.
Определение 3.4 (слой без ориентации).
Положим Q6 := S_set x X3, Q54 := Q6 x I9.
Тогда |Q54| = 6 * 9 = 54.
Определение 3.5 (проекции).
Определим естественные проекции:
pi_12: Q108 -> Q12, pi_12(q12,(i,j)) = q12,
pi_I: Q108 -> I9, pi_I(q12,(i,j)) = (i,j).
А также индуцированную проекцию «забывания знака»:
pi_54: Q108 -> Q54.
Лемма 3.2 (мощности фибр).
Для каждого q12 ∈ Q12 фибра pi_12^{-1}(q12) имеет мощность 9.
Для каждого q54 ∈ Q54 фибра pi_54^{-1}(q54) имеет мощность 2.
Разъяснение для пикабушника: Проекция — это как взгляд на 3D-объект сбоку. Если мы смотрим на систему со стороны «кнопок» (pi_12), то за каждой кнопкой мы видим «стопку» из 9 внутренних состояний. Если смотрим со стороны Q54 — видим пары (плюс и минус). 108 — это полная палитра всех возможных комбинаций.
3.3. Торсорность фибр pi_12 (интенсивность как структура, а не как “шкала”)
Определение 3.6 (действие V9 на Q108 по внутренней координате).
Определим действие V9 на Q108:
(a,b) · (q12, (i,j)) := (q12, (i+a, j+b)).
Предложение 3.1 (торсор на каждой фибре).
Для каждого q12 ∈ Q12 фибра F_{q12} := pi_12^{-1}(q12) является торсором группы V9.
Разъяснение для пикабушника: Это самый важный момент. «Интенсивность» здесь — это не просто ползунок громкости от 1 до 9. Это целая внутренняя геометрия. В каждом базовом состоянии система может «гулять» по своей внутренней сетке 3х3, и эти прогулки строго подчинены правилам группы переносов.
3.4. Фазовый шаг NEXT как часть режима (аксиома), и определение шага T
Аксиома 3.1 (фазовый шаг).
Дана биекция NEXT: Q12 -> Q12. Её конкретный вид — часть «режима» модели.
Определение 3.7 (шаг T на Q108).
Для q = (q12,(i,j)) положим:
если j != 2, то T(q12,(i,j)) = (q12, (i, j+1)).
если j = 2 и i != 2, то T(q12,(i,2)) = (q12, (i+1, 0)).
если j = 2 и i = 2, то T(q12,(2,2)) = (NEXT(q12), (0,0)).
Разъяснение для пикабушника: Мы вводим «время». Шаг Т — это один такт работы нашего автомата. Он работает как счетчик: сначала крутятся «младшие» внутренние шестеренки (i, j), и только когда они проходят полный цикл (3х3=9), срабатывает перенос на «старший» уровень — нажимается следующая кнопка на пульте (NEXT).
3.5. Макро-инвариант: T^9 согласован с NEXT
Предложение 3.2 (макро-инвариант T^9).
Для любого q12 ∈ Q12 и любого (i,j) ∈ I9 выполняется:
T^9(q12,(i,j)) = (NEXT(q12), (i,j)).
Разъяснение для пикабушника: Проще говоря: за 9 маленьких шагов система полностью обходит внутренний квадрат и возвращается в ту же точку внутри него, но сама «база» при этом сдвигается на один шаг NEXT. Это строгий закон: 9 микро-шагов = 1 макро-шаг.
3.6. Где именно здесь “симметрии”, и почему нужны не любые перестановки
Определение 3.8 (симметрия динамики).
Биекция g: Q108 -> Q108 называется симметрией динамики T, если g ∘ T = T ∘ g.
Лемма 3.3 (внутренние переносы коммутируют с T).
Для любого (a,b) ∈ V9 определим g_{a,b}(q12,(i,j)) = (q12,(i+a,j+b)). Тогда g_{a,b} ∘ T = T ∘ g_{a,b}.
Лемма 3.4 (условие для базовых симметрий).
Для базовой симметрии g~ условие g~ ∘ T = T ∘ g~ выполнено тогда и только тогда, когда g ∘ NEXT = NEXT ∘ g на Q12.
Разъяснение для пикабушника: Это фильтр для хейтеров. Если вы просто поменяете названия состояний («переклейка меток»), вы сломаете динамику. Настоящая симметрия — это та, которая не мешает шестеренкам крутиться так же, как раньше. Внутренние «сдвиги» 3х3 всегда являются симметриями, а вот базовые кнопки — только если они согласованы с шагом NEXT.
3.7. Итог главы
На этом этапе строго построено:
Внутренний индексатор: I9 = Z_3 x Z_3 с регулярной группой переносов.
Полный слой: Q108 = Q12 x I9 (108 состояний).
Проекции: Четкое разделение на базу (Q12) и внутреннюю структуру (фибра мощности 9).
Шаг T и макро-инвариант: Доказано, что T^9 согласуется с NEXT.
Разъяснение для пикабушника: Мы устранили «магию» числа 108. Теперь это не эзотерический символ, а мощность слоя состояний автомата. Мы запустили время (шаг Т) и доказали, что всё работает как часы: 9 тактов внутреннего счетчика дают 1 такт на базе.
Ниже — компактный “контракт” статьи.
Дано:
P = Z_7, op(a,b)=a+b mod 7.
H=<2> <= Z_7^×, орбиты A,B действия H на U=Z_7^×.
Chi={+,-}, X3=Z_3, S_set={A,B}.
NEXT: Q12 -> Q12 (аксиома режима).
Определено:
Q12 = Chi x S_set x X3.
I9 = Z_3 x Z_3, Q108 = Q12 x I9, Q54 = (S_set x X3) x I9.
pi_12, pi_54 — естественные проекции.
T: Q108 -> Q108 — счётчик 3x3 с переносом на NEXT.
Требуется/доказывается:
|Q108|=108, |Q54|=54.
|pi_12^{-1}(q12)|=9, |pi_54^{-1}(q54)|=2.
T^9(q12,(i,j)) = (NEXT(q12),(i,j)).
фибры pi_12^{-1}(q12) — торсоры V9 ≅ Z_3 x Z_3.
Заключение: сухой остаток без магии
Если вы продрались сквозь формулы, главный вывод прост: Q108 — это не эзотерика, а инженерная спецификация. Это конечное число состояний и алгоритм перехода между ними.
1. Как получается «108»
Здесь нет нумерологии, только топология слоев:
12 базовых режимов (эмоции/фазы): Q12 = 12.
Внутренний квадрат 3x3 в каждом режиме: I9 = 9. Итого: Q108 = 12 * 9 = 108. Система имеет 12 глобальных настроек, и в каждой проживает 9 тактов внутренней жизни.
2. Почему «9» — это решетка, а не шкала
Внутренние 9 состояний — это не «громкость» от 1 до 9. Это торсор — однородная решетка, где:
у всех 9 состояний равный статус;
любое состояние получается из другого «сдвигом»;
нет «главной» клетки. Это как шахматная доска 3x3, где края замкнуты сами на себя.
3. Динамика шага T
Шаг T — это такт автомата. Он работает как счетчик: сначала прокручивается внутренний квадрат (9 микровспышек), и только на 9-й шаг срабатывает перенос на базу (NEXT). Инвариант: T^9 возвращает внутреннюю точку в исходную и сдвигает базу. Это значит, что фаза не сменится, пока не будут прожиты все 9 микро-шагов.
4. Симметрия и честный итог
Настоящая симметрия в модели — это не переименование кнопок, а автоморфизм динамики: g ∘ T = T ∘ g. Она обязана сохранять закон переходов. Любая «переклейка меток», ломающая траекторию, отсекается математикой. Этот шаблон универсален для всех «лок» (L2–L6), где меняется только размер квадрата (r x r). L7 — не особая магия, а частный случай принципа «фаза x внутренний торсор». Философия заканчивается там, где вы считаете T^9 и видите, что база сдвинулась, а счетчик обнулился. Это и есть работающий API. Подробности про эмоции читайте в предыдущей статье API для Души: Почему эмоции — это просто орбиты в группе автоморфизмов (Q108)
Я упаковал всё это знание (граф, логику, гейты, таблицы Кэли) в компактный архив. Он работает как «плагин» для ChatGPT (нужен Plus или выше). Просто скачайте архив и просто киньте его в чат к GPT. Этим же сообщением напишите одну команду: "Следуй инструкциям в файле DOCS/00_NEW_CHAT_PROTOCOL.md из загруженного архива". В следующих сообщениях вы можете скармливать ему свои философские заметки, спорные мысли или запутанные идеи. Встроенный Sim-Scan-Flow механизм прогонит их через движок, найдет скрытые симметрии и вернет вам строгую математическую структуру.
