Пока решал задачи на упрощение выражений из Сканави, то заметил, что там первые примерно 400 штук из них так или иначе задействуют формулы сокращенного умножения (с квадратами и кубами) Но даже после первой сотни решенных все-равно периодически путаешься со знаками. Где плюс, где минус? А если ошибаешься в знаке — всё решение неправильно.

В школе нам вдалбливали: «Выучи! Просто запомни!».
Но зубрёжка — это как строить дом на песке: кажется, что всё держится, пока не подует ветер. Или не придётся решать задачу под давлением времени на экзамене или… через 25 лет после школы.

Запоминание этих формул как аксиомы просто не работает. Они будут вылетать из памяти в самый неподходящий момент из-за слишком малого количества зацепок при визуальном запоминании. Чтобы прочно запомнить надо углубиться в их структуру.

Поэтому одна простая идея, которая избавит от вечной путаницы:

Не заучивай — выводи.

Все эти «формулы сокращённого умножения» — просто результат умножения скобок и всё.

Например, «квадрат суммы» — это (a + b) × (a + b). Перемножаем вручную:

• a × a = a²

• a × b = ab

• b × a = ab

• b × b = b²

Складываем: a² + 2ab + b².
Двойка посередине — два одинаковых ab!

То же с «квадратом разности»: там просто один из b отрицательный, и при перемножении ab и –ab дают минус. Всё логично.

А «разность квадратов» (a – b)(a + b)?
Там ab и –ab взаимно уничтожаются, и остаются только края: a² – b². Как в дзен-буддизме: середина исчезает, истина остаётся.

С кубами чуть сложнее, но и там нет магии:

• Куб суммы — это (a + b) в третьей степени. Можно умножить квадрат суммы на (a + b) ещё раз — и получить a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

• Сумма кубов — это совсем другое: a³ + b³. И чтобы её разложить, нужно умножить «короткую» скобку (a + b) на «длинную» (a² – ab + b²). Почему? Потому что все промежуточные слагаемые съедают друг друга, как в разности квадратов.

Запомнить просто:

• Знак в кубах → такой же в первой скобке.

• Во второй скобке — всегда противоположный.

А ещё интересный факт:
Формулы «суммы квадратов» нет.
Почему?
Потому что нет таких скобок из действительных чисел, которые при умножении дадут a² + b² и при этом уберут середину. (Хотя в комплексных числах — да, но это уже другой раздел задачника.)

Вывод

Математика — это не список заклинаний, которые надо выучить наизусть.
Это логика, которую можно восстановить в любой момент, даже если память не работает.

Нужно всего три вещи:

1. Уметь умножать многочлены (это база).

2. Не бояться раскрыть скобки на черновике.

3. Понимать, почему формула устроена так, а не иначе.

После пары таких «выводов» формулы запоминаются сами — потому что вы их не заучиваете, а переживаете.

Все, уверен, знают слова Генри Форда, когда у него спросили, какая машина хорошая. Ответ был прост и понятен- новая. Прежде чем покупать участок и строить дом с нуля, у меня уже был опыт восстановления двух старых пятистенков, и, скажу, если есть возможность строить сразу новый дом, делайте, не бойтесь. В моем случае надо было где-то жить, поэтому мы переделывали, улучшали, достраивали и тут же жили. Почему, пройдя все это, имея приличный опыт восстановления старых избушек, я решил строиться с нуля? Наш первый флигель постройки 20-х годов прошлого века состоял из большого холодного двора, холодной веранды и кучи всяких сарайчиков. Дом стоял года четыре без жильцов, но сруб прогревали- газовое отопление. От умерших хозяев остались запасы зерна, которым они кормили кур, и там обитали крысы, которые чувствовали себя хозяевами. Когда мы его (дом) покупали, не было опыта, хотелось уехать из квартиры, и уже на вторую ночь мы столкнулись с реальным нашествием серых. А далее, 6 месяце была настоящая война, иначе не скажешь. Мы их травили, они лезли отовсюду, спать ночью, порой, совсем не приходилось. Попутно вывезли из дома и участка несколько Камазов всякого барахла. Крыс мы почти победили, так, иногда забегали редкие особи, видимо, по старой памяти. Затем, решил делать пристройку для удобств, чтобы было первейшей необходимостью. Когда сломали старую веранду, стали осматривать снаружи нижний венец пятистенка, он оказался гнилым- поменяли по кругу, заодно и фундамент переделали. Когда подняли пристрой, решили все это загнать под общую крышу, но, подумав, не стали- на наш обновленный дом появился покупатель. Второй дом тоже был пятистенком с хоз. двором, но место шикарное, на берегу озера, все коммуникации и участок очень ухоженный. Сам дом был намного больше, в нем жили хорошие люди, которые смотрели за домом и хозяйством. Мы купили и понеслось- замена венцов, ремонт фундамента, пристройка, общая крыша- все криво- косо, надо выравнивать, вытягивать, исправлять…

Мне очень запомнился один момент, когда мы делали общую крышу для дома и пристройки. Получался большой мансардный этаж, и мы решили над старым домом разобрать перекрытия, поднять потолок и утеплить. Так вот, ранее не было никаких минеральных и базальтовых ват, перекрытие было утеплено землей, смешанной с глиной и игольником, когда начали все это выгребать, мыши прыгали, как маленькие кенгуру, это был их дом. А сколько было при этом пыли, грязи- ужас. Я с огромным трудом нашел помощников, которые после расчистки первого проема отказались от дальнейшей работы, пришлось делать самому. Еще один момент- это геометрия пятистенка- ровных стен и диагоналей не было от слова совсем. Пятистенок- это колодец с прирубом, и прируб был меньше основного сруба (с каждой стороны по 70 сантиметров. Мы это заметили, когда разобрали старый двор, долго размечали фундамент, но, все равно, ошиблись, пришлось доливать, выравнивать, потом стены, а общая крыша- это был вообще отдельный разговор…

Смотрю, порой, вечером очередной ролик и радуюсь, как все легко, складно и просто: обшили гипсой, отштукатурили, покрасили- загляденье, шик, блек, красота, потом приезжает подруга-дизайнер на высоких каблуках и вместе с хозяевами решают, куда повесить картины ручной работы, авангардные светильники, всякие там полочки, цветочки, ну и финалочка- приготовление блюда в новом доме- все едят, смеются, одним словом- красота. Хочу всем открыть маленький секрет, знаете, что Вы найдете в таком доме первым по весне? Простите, но это будут мышиные или крысиные экскременты. Вату, гипсу и прочее они грызут только в путь, и все эти каркасные хрени и старые брусовые гнилушки, какие бы сетки не ставили, никогда не защитят от непрошенных гостей. Это только один момент, а таких много, и когда с этим реально столкнёшься, вся эйфория уходит сразу, да и по кошельку это здорово бьет, поэтому я пришел для себя к одному выводу и построил новый кирпичный дом. Никого не имею права отговаривать восстанавливать старые избушки, в конце концов, людям, а точнее диванным строителям, нравится смотреть процесс, поэтому очередной лайк всем блогерам-сторителям- восстановителям- молодцы. Всем же тем, кто ещё не разучился думать и анализировать, советую перечитать сказку «Три поросенка»- правильная и нужная книжка для реальной жизни.