В прошлый раз мы поговорили о математическом ожидание в этот раз, хочу поговорить о таком важном понятии в инвестициях и бизнесе как критерий Келли. На самом деле люди интуитивно используют принципы, которые можно вывести из этого критерия например в ситуации когда есть выгодная сделка с точки зрения математического ожидания, но вы всё равно отказываетесь от неё потому, что рискуете потерять всё, этот интуитивный принцип как раз можно подтвердить математически, с помощью критерия Келли. Давайте я простыми словами объясню для чего нужен критерий Келли в инвестициях и бизнесе.
Критерий Келли помогает человеку выстроить работу с рисками на таком уровне, чтобы выгодная сделка с положительным мат. ожиданием не стала убыточной. Всё на конкретных примерах.
вы ставите на Орёл ставку, ваш противник ставит на решку две ваших ставки. И казалось бы сделка выгодная вероятность победы у вас одинаковая, но в случае победы вы получаете двойную ставку оппонента. Ваше мат. Ожидание в этом случае 1,5 то есть с каждой ставки 50% прибыли. Мы так же знаем, что в 50% мы победим и в 50% мы проиграем. Вопрос, сколько ставить % от нашего капитала, что-бы максимизировать прибыль? Давайте допустим что у нас капитал 1000 рублей, и мы решили ставить 90% от капитала какое объяснение этой ставки?
1) Мы можем хоть тысячу раз подряд проиграть но из-за того что мы ставим не 100% то всегда есть шанс отыграться.
2) мы знаем что мат ожидание 50% от ставки и чем больше % от капитала мы поставим тем больше процентов мы получим, 50% от 90% это 45% соответственно нам выгодно при положительном мат ожидание ставить как можно больший процент от капитал, чтобы капитал быстрее рос.
Так как мы знаем, что в долгосрочной перспективе мы будем выигрывать в 50% случаях. То давайте упростим до двух бросков монетки где мы в одном броске выигрываем и во втором проигрываем.
Ставим 90%
Капитал 1000 рублей
Броски: первый бросок орёл, второй бросок решка.
1 бросок: 90% от 1000 это 900 рублей, наш противник ставит 1800 рублей, выпадает орел мы побеждаем и забираем 1800 наш капитал 2800
2 бросок: 90% от 2800 это 2520 рублей, наш противник ставит 5040 рублей, выпадает решка мы проигрываем и теряем 2520 рублей у нас остаётся капитал 280 рублей
Итог: имея положительное математическое ожидание мы ушли в минус на 1000-280=720 рублей. А причина из-за того что мы слишком сильно вышли за критерий Келли из-за сверх рисковой стратегии ставок и в долгосрочной перспективе такая игра с положительным мат. ожиданием приведет нас к минусу.
Теперь давайте обратимся к формуле с помощью которой мы найдём какой % от капитала ставить чтобы максимизировать прибыль, это формула критерия Келли.
Формула
Базовая формула критерия Келли: f = (bp – q) / b.
f — доля банка, которую следует поставить;
b — коэффициент букмекера минус 1 (например, если коэффициент 3,00, то b = 2);
p — вероятность выигрыша ставки (от 0 до 1, наш случай 0,5);
q — вероятность проигрыша ставки (1 – p).
Теперь подставляем наши значения
f=(2*0,5-0,5)/2=0,25 или 25% от капитала, давайте проверим на практике
Ставим 25%
Капитал 1000 рублей
Броски: первый бросок орёл, второй бросок решка.
1 бросок: 25% от 1000 это 250 рублей, наш противник ставит 500 рублей, выпадает орел мы побеждаем и забираем 500 наш капитал 1500
2 бросок: 25% от 1500 это 375 рублей, наш противник ставит 750 рублей, выпадает решка мы проигрываем и теряем 375 рублей у нас остаётся капитал 1125 рублей
Итог: мы в плюсе на 1125-1000=125 рублей чтобы проверить действительно ли это оптимальный процент от капитала давайте попробуем поставить 20% и 30%
Ставим 30%
Капитал 1000 рублей
Броски: первый бросок орёл, второй бросок решка.
1 бросок: 30% от 1000 это 300 рублей, наш противник ставит 600 рублей, выпадает орел мы побеждаем и забираем 600 наш капитал 1600
2 бросок: 30% от 1600 это 480 рублей, наш противник ставит 960 рублей, выпадает решка мы проигрываем и теряем 480 рублей у нас остаётся капитал 1120 рублей
Итог: мы в плюсе на 1120-1000=120 рублей что меньше чем если бы мы ставили 25% давайте попробуем 20%
Ставим 20%
Капитал 1000 рублей
Броски: первый бросок орёл, второй бросок решка.
1 бросок: 20% от 1000 это 200 рублей, наш противник ставит 400 рублей, выпадает орел мы побеждаем и забираем 400 наш капитал 1400
2 бросок: 20% от 1400 это 280 рублей, наш противник ставит 560 рублей, выпадает решка мы проигрываем и теряем 280 рублей у нас остаётся капитал 1120 рублей
Итог: мы в плюсе на 1120-1000=120 рублей, что меньше если бы мы ставили 25% от капитала это означает что 25% пока что самый оптимальный % от капитала в данных условиях. Таким образом критерий Келли помогает нам не свести прибыльную инвестицию к проигрышу имея положительное математическое ожидание. Игнорирование критерия Келли может привести к печальным последствиям в казалось бы прибыльной сделки.