Все целые числа от 1 до 28 Настя решила разбить на пары так, чтобы сумма чисел в каждой паре делилась на 8. Определите наименьшее возможное количество чисел, которые при этом останутся непарными (не войдут ни в одну пару).

Натуральное число n назовём непривычным, если сумма кубов всех его собственных делителей (включая 1) равна n^2.

Имеется предположение, что единственным непривычным числом является число 6. Как это доказать или опровергнуть?

Легко представить номер текущего года, сиречь число 2025, в виде суммы кубов пяти целых чисел: 2025=1000+1000+27+(-1)+(-1)=10^3+10^3+3^3+(-1)^3+(-1)^3.

А можно ли сделать это так, чтобы все 5 чисел были по модулю меньше 10?

Только чур, не пиша компьютерной программы и не пользуясь катькулятором.

Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел можно записать, чтобы сумма цифр каждого из этих чисел не делилась на 6?

Может ли сумма цифр куба натурального числа оказаться в 17 раз больше суммы цифр самого числа?

Для всех натуральных k, меньших 17, это возможно. Вот наименьшие значения n, при которых сумма цифр числа n^3 ровно в k раз больше суммы цифр числа n:

1, 9, 3, 2, 144, 12, 31, 4113, 111, 20132, 41013, 20031, 103102, 2102112, 210021, 11011 (и почему этой последовательности нет в OEIS?)

Как мы видим, например, для k=14 наименьшее n оказывается уже довольно немаленьким, а именно 2102112.

Для k=17 оно либо ещё больше, либо его не существует вообще.

Было бы любопытно найти такое число или доказать, что его нет.