Чтобы попасть в закрытый клуб, нужно знать пароль. Однажды у входа женщина стала свидетелем странного диалога. Охранник сказал 12, человек ответил 10, и его пропустили. Затем другому пришедшему охранник сказал 6, тот ответил 5 и тоже прошел.
Женщина, решив, что раскусила систему, подошла к двери. Охранник сказал ей 10. В ответ она сказала 5, но ее не пустили.
Какое число она должна была назвать?
Подсказка: кажется, смысл не в математике, а в словах.
Трёхходовая композиция польского шахматного композитора Мариана Врубеля (Marian Wróbel, 1907, Львов - 1960, Варшава), взявшая первый приз турнира швейцарской газеты "Berner Tagwacht" в 1947 году.
В записи 123456789=1 вставьте знаки
умножения и деления между некоторыми
цифрами так, чтобы равенство стало верным.
Дана последовательность целых чисел:
0, 1, 6, 22, 75, 250, ...
Каждое число в этой последовательности, начиная с третьего, получено на основании некоторой закономерности. Найдите эту закономерность. Каким будет следующее число последовательности?
Двухходовая задача английского проблемиста, гроссмейстера и арбитра по шахматной композиции, обладателя титула "Почётный член британского Содружества" Коминса Мэнсфилда (Comins Mansfield, 1896 - 1984), которая стала победительницей турнира печатного издания "American Chess Bulletin" в 1947 году.
У Насти есть карточки с цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (по одной карточке с каждой цифрой). Одну из карточек она потеряла, а оставшиеся девять разложила в виде квадрата размером 3 на 3. Цифры в каждой строке читаются слева направо как трёхзначное число; при этом первая цифра числа не равна нулю, то есть во всех трёх строках получаются трёхзначные числа.
Оказалось, что число в первой строке делится на число во второй, а число во второй строке делится на число в третьей. Все три числа попарно различны.
а) Приведите пример такого квадрата.
б) Найдите все возможные квадраты, удовлетворяющие условиям задачи.
Слушай сюда, юный падаван. Чтобы доказать утверждение 2+2=4, нам придется отказаться от интуитивного понимания чисел и спуститься на уровень аксиоматики Пеано и теоретико-множественного построения натуральных чисел по фон Нейману. То, что ты называешь "два", на самом деле является кардинальным числом множества, содержащего два элемента. Но что такое число? В системе Цермело-Френкеля мы определяем ноль как пустое множество. Единицу мы определяем как множество, содержащее пустое множество. Двойку -- как множество, содержащее ноль и единицу.
Теперь введем понятие функции следования, обозначим ее как S(x). Эта функция ставит в соответствие каждому числу x следующее за ним число x + 1. Таким образом, мы постулируем, что 1 = S(0), 2 = S(1), 3 = S(2) и 4 = S(3). Это база. Без нее мы никуда не сдвинемся.
Далее нам нужно строго определить операцию бинарного сложения (+) на множестве натуральных чисел. Сложение определяется рекурсивно через два фундаментальных условия. Первое: для любого числа x справедливо, что x + 0 = x. Это нейтральный элемент. Второе: для любых чисел x и y справедливо, что x + S(y) = S(x + y). Это шаг индукции.
Теперь, когда у нас есть инструментарий, приступаем к доказательству. Нам нужно вычислить сумму 2 + 2.
Разложим второе слагаемое, используя определение функции следования. Мы знаем, что 2 -- это S(1). Значит, наше выражение принимает вид 2 + S(1).
Используем второе правило сложения: x + S(y) = S(x + y). Выносим оператор следования за скобки. Получаем S(2 + 1).
Теперь нам нужно разобраться с тем, что внутри скобок, то есть с 1. Мы знаем, что 1 -- это S(0). Подставляем это внутрь. Наше выражение превращается в S(2 + S(0)).
Снова применяем второе правило сложения для внутренней части. Выносим еще один оператор S наружу. Теперь у нас получается конструкция вида S(S(2 + 0)).
Здесь вступает в игру первое правило сложения: x + 0 = x. Значит, 2 + 0 равно просто 2. Упрощаем выражение и получаем S(S(2)).
Осталось только интерпретировать результат, разворачивая определения обратно. Мы знаем, что S(2) -- это следующее число за двойкой, то есть 3. Наше выражение превращается в S(3). А S(3), согласно определению функции следования, есть число, следующее за тройкой. То есть 4.
Опираясь на аксиомы индукции и рекурсивное определение арифметических операций, мы неопровержимо доказали изоморфизм между операцией объединения двух множеств мощности два и множеством мощности четыре.
Несложная двухходовая миниатюра мастера спорта СССР по шахматной композиции Сергея Тимофеевича Пугачёва (1920 - 1991), опубликованная в детском ежемесячном журнале "Затейник" в 1947 году.
