Почему 2+2=4? Самое доступное и простое объяснение для начальной школы⁠⁠

Слушай сюда, юный падаван. Чтобы доказать утверждение 2+2=4, нам придется отказаться от интуитивного понимания чисел и спуститься на уровень аксиоматики Пеано и теоретико-множественного построения натуральных чисел по фон Нейману. То, что ты называешь "два", на самом деле является кардинальным числом множества, содержащего два элемента. Но что такое число? В системе Цермело-Френкеля мы определяем ноль как пустое множество. Единицу мы определяем как множество, содержащее пустое множество. Двойку -- как множество, содержащее ноль и единицу.

Теперь введем понятие функции следования, обозначим ее как S(x). Эта функция ставит в соответствие каждому числу x следующее за ним число x + 1. Таким образом, мы постулируем, что 1 = S(0), 2 = S(1), 3 = S(2) и 4 = S(3). Это база. Без нее мы никуда не сдвинемся.

Далее нам нужно строго определить операцию бинарного сложения (+) на множестве натуральных чисел. Сложение определяется рекурсивно через два фундаментальных условия. Первое: для любого числа x справедливо, что x + 0 = x. Это нейтральный элемент. Второе: для любых чисел x и y справедливо, что x + S(y) = S(x + y). Это шаг индукции.

Теперь, когда у нас есть инструментарий, приступаем к доказательству. Нам нужно вычислить сумму 2 + 2.
Разложим второе слагаемое, используя определение функции следования. Мы знаем, что 2 -- это S(1). Значит, наше выражение принимает вид 2 + S(1).
Используем второе правило сложения: x + S(y) = S(x + y). Выносим оператор следования за скобки. Получаем S(2 + 1).
Теперь нам нужно разобраться с тем, что внутри скобок, то есть с 1. Мы знаем, что 1 -- это S(0). Подставляем это внутрь. Наше выражение превращается в S(2 + S(0)).
Снова применяем второе правило сложения для внутренней части. Выносим еще один оператор S наружу. Теперь у нас получается конструкция вида S(S(2 + 0)).
Здесь вступает в игру первое правило сложения: x + 0 = x. Значит, 2 + 0 равно просто 2. Упрощаем выражение и получаем S(S(2)).

Осталось только интерпретировать результат, разворачивая определения обратно. Мы знаем, что S(2) -- это следующее число за двойкой, то есть 3. Наше выражение превращается в S(3). А S(3), согласно определению функции следования, есть число, следующее за тройкой. То есть 4.

Опираясь на аксиомы индукции и рекурсивное определение арифметических операций, мы неопровержимо доказали изоморфизм между операцией объединения двух множеств мощности два и множеством мощности четыре.