Matasin

Можно сказать, что он в какой-то степени заложил основы математического анализа (тот самый матан). Решил частный случай кубического уравнения, история поиска решений которого вообще достойна экранизации (но об этом чуть ниже). Метод исчерпывания, который применялся до появления исчисления бесконечно малых, был разработан Евдоксом Книдским (408 до н. э.), но именно Архимед, видимо, разглядев в нём универсальную на тот момент волшебную палочку, применил его ко множеству задач и с блеском их решил. Площадь круга (неполная формула и её доказательство) тоже за Евдоксом, как и аксиома Архимеда-Евдокса. Архимед также нашёл хорошее приближении числа пи, тем самым уточнив формулу площади круга. И всё это до нашей эры.

Евклид, 325 до н. э. "Начала" Евклида и этим всё сказано. В этом труде появляется знаменитая теорема Пифагора. О, кстати,

Пифагор, 570 до н. э. Уже одной теоремы достаточно.

Есть ещё Герон, I век н. э. Итерационная формула Герона, по которой даже без калькуляторов можно с хорошей точностью извлекать квадратные корни из чисел.

Имён учёных, живших ещё до нашей эры, право, много. Перейдём к не менее потрясающим открытиям, часть их которых шатали научную картину в той или иной степени (примерно как появление иррациональных чисел и сильнее).

Кубические уравнения.

Сципион Дель Ферро, 1465 г.

Итак, впервые кубические уравнения стали известны ещё до нашей эры, благо совершенно разные задачи в конечном счёте так или иначе к ним сводились. Например, одна из задач древности по удвоению куба. Эти уравнения пытались решить многие учёные, среди которых и вышеупомянутый Архимед, и Гиппократ (не врач), и Менехм (ученик Евдокса и первый исследователь конических сечений), но все они находили решения частных случаев. Из времён нашей эры можно вспомнить Диофанта и Омара Хайяма. И вот на сцену выходит Дель Ферро, итальянский математик, сумевший найти решение в общем случае и... показавший его только двум людям: своему зятю и ученику Антонио Марио Фиоре. Славу получил, работу продолжил, оки-доки, все дела. В те времена были популярны математические соревнования. Надо полагать, всё было чинно, благородно (дворяне же в том числе), но не исключено, что в узких кругах летали крепкие выражения, ибо как даст тебе соперник задачи, которые он умеет решать, а ты нет. На одном из таких соревнований столкнулись Никколо Фонтана (1499 г.), более известный как Никколо Тарталья (с ит. "заика") и бросивший ему вызов Фиоре. Оба накидали друг другу задачи, которые сводились к кубическим уравнениям, но изначально проблемы возникли у обоих. Дело в том, что отрицательные числа в те времена ещё не особо котировались, так что Фиоре, хоть и обладавший формулой Дель Ферро, мог её применить по сути к частному случаю. А Тарталья и вовсе ничего не знал. Что в таких ситуациях делают? Заявляют что креатифф говно и просят автора выпить йаду Находят решение, что и было проделано Тартальей за отведённый срок. Есть у ряда исследователей сомнения на сей счёт, но презумпция невиновности упрямо твердит своё. А ты докажи, что он украл... Как бы то ни было, Тарталья победил на том соревновании. И тут появляется...

Джероламо Кардано, 1501 г.

Кардано многим занимался, много что сделал (описал карданов вал и кодовый замок, например). Математик, философ, инженер, врач, астролог, гений, миллиардер, плейбой и филантроп. Известен кроме изобретений ещё и составлением гороскопов. И ладно бы он составлением собственного гороскопа ограничился, так нет. Этого было мало, так что свет увидел гороскоп Иисуса Христа. За сие деяние Кардано обвинили в ереси Хоруса и отправили в тюрьму, а потом к Папе Римскому. Но это ладно. Он пришёл к Тарталье и стал его упрашивать раскрыть секрет. Тот через какое-то время сдался, но взял обещание с Кардано дать время ему (Тарталье) на публикацию. Прошло шесть лет, но Никколо так и не опубликовал свои результаты, а Кардано узнал о результатах Дель Ферро и с аргументацией "это баян уже было" (Дель Ферро к тому времени давно умер) издал свой труд "Великое искусство", куда включил и собственные открытия по этому уравнению, и несобственную формулу, и найденное решение уравнения четвёртой степени за авторством своего ученика Лодовико Феррари. Справедливости ради, Джероламо не претендовал на авторство формулы, указав, что формулу открыли Дель Ферро и Тарталья, но Тарталья всё равно почувствовал себя оскорблённым и потому бросил вызов Кардано. Тот, однако, будучи дворянином, отказался и вызов принял тот самый Феррари. Итогом стало поражение Тартальи.

Почему же история решения кубического уравнения столь важна? Ответ кроется в самой формуле. Дело в том, что там присутствует квадратные корни из чисел, которые в зависимости от исходных коэффициентов могут оказаться отрицательными. И что не менее примечательно, такой случай возникает даже тогда, когда все три корня уравнения должны быть вещественными. Разумеется, корень из отрицательного может возникнуть и при решении квадратного уравнения, но обычно такие решения отбрасывались (как раньше отрицательные корни линейных уравнений тоже). А тут такой занятный случай. Корень есть и он вещественный, а в записи под радикалом минус? Хм-мм... Цитата перевода цитаты Кардано:

эти сложнейшие величины бесполезны, хотя и весьма хитроумны

арифметические соображения становятся всё более неуловимыми, достигая предела столь же утончённого, сколь и бесполезного

Эти величины, метко названные мнимыми, были впервые детально изучены итальянским учёным под именем

Рафаэль Бомбелли, 1526 г.

Рафаэль написал труд "Алгебра". В нём он без проблем обращается с отрицательными числами (впрочем, узаконили их первыми в Китае и Индии, причём задолго до европейцев), но главное — он определил правила обращения с комплексными числами, заложив тем самым основу для дальнейших исследований. Теперь прокатимся по применениям комплексных чисел.

Ну, во-первых, это красиво.

На самом деле, "пощупать" эти числа напрямую, конечно, нельзя. Но с их помощью упрощаются множества задач и расчётов, а некоторые и вовсе нерешаемы, пока не задействуете мнимое. Линейные дифференциальные или разностные уравнения? Пожалуйте в основную теорему алгебры и покажите ваши комплексные корни характеристического уравнения. Хотите легко и быстро получить амплитудно-частотную характеристику линейной динамической системы? Вот вам комплексная передаточная функция и её модуль. Вас интересует частотный спектр сигнала? Наслаждайтесь преобразованием Фурье (о, это тоже весьма примечательная история).

И это ещё до Эйлера, Ньютона, Лейбница, Гаусса, Фурье, Галуа, Нётер... (много имён) не добрались.

Итак, поперечное сечение рулона, как правило, описывается спиралью Архимеда. При этом ставится условие, что поперечное сечение втулки является окружностью, а зазоры между витками отсутствуют. Следует отметить, что спираль Архимеда не обладает постоянным шагом, если под этим понимать длину отрезка нормали к любой паре соседних витков в любой точке. Иными словами, если записать уравнение спирали Архимеда как:

то задействовав переход к декартовым координатам с последующим вычислением тангенса угла наклона касательной (производная), получим, что:

Разрешением этого обстоятельства было бы использование кривых Бертрана или в данном случае, учитывая фактор плоской задачи, эквидистантные кривые, но в первом приближении забьём на это обстоятельство и поработаем с Архимедом.

Длина полотна в рулоне (при соблюдении различных условий) или в данной задаче длина спирали Архимеда рассчитывается по известной формуле:

Как же неудобно оформлять, но ладно.

Обратим внимание, что в нашем варианте уравнения спирали имеется постоянный член, грубо говоря, отвечающий за наличие втулки. Упростим расчёты с аргументацией типа "она и так не является параллельной, что нам эти дельты по переменным в точке перехода ловить?", для чего установим следующий подход к вычислению длины:

1. Задать радиус втулки,

2. Задать внешний радиус рулона,

3. Найти длину спирали Архимеда для обоих радиусов,

4. Подсчитать разность.

В таком случае, получим следующую формулу:

Славная формула, но вдруг можно упростить? Согласно быстро найденным данным, примем толщину бумаги, то есть шаг спирали, равным 0.1 мм (шаг спирали равен 2*pi*h). Зададимся диаметром втулки, равным 35 мм, в таком случае для первого угла получим значение примерно 1100 рад. Это значение отличается от sqrt(1100^2+1) примерно на 4.55e-4, что составляет не более 0.000042% от 1100. Нетрудно догадаться, что для большего радиуса разность станет ещё меньше. В противовес можно заявить о толщине бумаги, но строить поверхность разностей в зависимости от толщины бумаги и радиуса... будем.

Есть начало обоснования в пользу упрощения выведенной ранее формулы. Искать ещё аргументацию не будем кто как хочет, хех. Упростим формулу длины:

Перейдём к радиусам и введём переменную d, являющуюся толщиной бумаги. После упрощений получим:

Итак, по этой формуле можно оценить длину бумаги в рулоне. Отметим, что некоторые онлайн калькуляторы рулона используют эту формулу без второго слагаемого, что в ряде ситуаций обосновано. Например, для рулона офсетной бумаги с внешним диаметром 1000 мм, диаметром втулки 76 мм и толщиной 100 мкм, второе слагаемое равно примерно 0.02 мм.

Обратимся к первому слагаемому. Нетрудно заметить, что определение длины через него фактически базируется на представлении поперечного сечения рулона как множество концентрических окружностей и том факте, что с ростом количества витков форма внешнего витка спирали всё больше приближается к окружности (доказывается тривиально, достаточно рассмотреть отношение минимального и максимального расстояния от центра до витка).

Несложно вывести обратную формулу, то есть расчёт внешнего радиуса рулона в зависимости от длины. Для формулы только с первым слагаемым всё довольно просто, для двух слагаемых необходимо выполнить некоторые преобразования:

Полученное уравнение относительно R2 является трансцендентным, то есть оно не алгебраическое. И тут на сцену выкатывается тяжёлая артиллерия в виде W-функции Ламберта, позволяющей записать решение некоторого множества трансцендентных уравнений. Она определяется через функциональное уравнение следующим образом:

Используем её для нашего уравнения, для чего выполним преобразования:

Надо отметить, что если аргумент W-функции окажется большим, то имеет смысл задействовать асимптотику функции.

В сущности, всё зависит от коэффициента b. В результате получим следующее:

Вот это уже пойдёт. Пример. Воспользуемся онлайн калькулятором и зададим внутренний диаметр (втулка) 35 мм, внешний — 90 мм, а толщина равна 100 мкм. Сайт даёт длину, равную 53.99612373 м (следует отметить, что как раз один из найденных онлайн калькуляторов посчитал по упрощённой формуле без слагаемого с логарифмом). Применим обратную формулу и найдём модуль разности между исходным значением внешнего радиуса и рассчитанным. Получим достаточно малую величину 5.3189e-06 мм. Расчёты подтвердились.

Формулы красивые, выводил их (по расчёту радиуса от длины) лет десять назад. Всем раздать формулы.

Интеграл хороший. Канал не веду, так что в телеграм не приглашаю.

P. S. Всем качественных рулонов и да прибудет с вами сила математики.

P. P. S. Можно, конечно, построить куда более сложную модель и развлекаться там. Пс-сс, как насчёт задания толщины бумаги как стохастической функции и расчётов плоскопараллельной задачи из области сопромата?

Сразу становится понятно как определить количество оборотов окружностей. А именно:

Выразим теперь углы a и b как некие функции от угла с. Для это отметим, что поскольку в условии отсутствует скольжение, то

Как следствие, использовав формулу длины дуги (произведение радиуса на центральный угол), получим следующее: Rc=rb=ra, откуда несложно получить соотношения для углов a и b -- a=b=Rc/r.

Используем равенство соответственных и накрест лежащих углов и тогда для искомых углов имеем:

Объединим всё вместе:

Итого, разность составляет два оборота.

P. S. Любопытно, к слову, что отношение длин траекторий выражается отношением разности радиусов неподвижной и подвижной окружностей к их сумме.