Ответ на пост «Вопрос к лиге физиков»
Всё сходится.
Итак, задача любопытная и потому приступим.
Кривые, описываемые этими точками относятся к классу циклоидальных -- то есть кривая, образованная движением какой-либо точки радиуса окружности, катящейся без скольжения по какой-либо другой кривой. В данном случае имеем два подкласса: эпициклоида (внешняя) и гипоциклоида (внутренняя).
Ставится задача по определению отношения или разности сделанных оборотов двух окружностей равного радиуса r по окружности радиуса R (снаружи и внутри). Составим расчётную схему.
Сразу становится понятно как определить количество оборотов окружностей. А именно:
Выразим теперь углы a и b как некие функции от угла с. Для это отметим, что поскольку в условии отсутствует скольжение, то
Как следствие, использовав формулу длины дуги (произведение радиуса на центральный угол), получим следующее: Rc=rb=ra, откуда несложно получить соотношения для углов a и b -- a=b=Rc/r.
Используем равенство соответственных и накрест лежащих углов и тогда для искомых углов имеем:
Объединим всё вместе:
Итого, разность составляет два оборота.
P. S. Любопытно, к слову, что отношение длин траекторий выражается отношением разности радиусов неподвижной и подвижной окружностей к их сумме.
