Вопрос к лиге физиков1
В 7 классе участвовал в городской олимпиаде по физике. Не решил я, по-моему, ни одной задачи, а попал туда потому что от нашей школы больше посылать было просто некого. Одну из задач помню до сих пор, и до сих пор не понимаю как ее решать, даже имея диплом, в котором написано "математик".
Есть окружность радиуса R1. По ней катятся две окружности радиусами R2, одна - с внешней стороны, вторая - с внутренней. Катятся из одной точки, в одном направлении, пока не попадут в ту же точку. Без проскальзывания.
Вопрос: когда обе окружности радиусами R2 придут в ту же точку, с которой начали, каково будет отношение количества оборотов, сделанное внешней и внутренней окружностями?
Причем, помню ответ. Внешняя сделает то ли в два раза больше оборотов, то ли на два оборота больше. Но как это вывести - понятия не имею.
Всё сходится.
Итак, задача любопытная и потому приступим.
Кривые, описываемые этими точками относятся к классу циклоидальных -- то есть кривая, образованная движением какой-либо точки радиуса окружности, катящейся без скольжения по какой-либо другой кривой. В данном случае имеем два подкласса: эпициклоида (внешняя) и гипоциклоида (внутренняя).
Ставится задача по определению отношения или разности сделанных оборотов двух окружностей равного радиуса r по окружности радиуса R (снаружи и внутри). Составим расчётную схему.
Сразу становится понятно как определить количество оборотов окружностей. А именно:
Выразим теперь углы a и b как некие функции от угла с. Для это отметим, что поскольку в условии отсутствует скольжение, то
Как следствие, использовав формулу длины дуги (произведение радиуса на центральный угол), получим следующее: Rc=rb=ra, откуда несложно получить соотношения для углов a и b -- a=b=Rc/r.
Используем равенство соответственных и накрест лежащих углов и тогда для искомых углов имеем:
Объединим всё вместе:
Итого, разность составляет два оборота.
P. S. Любопытно, к слову, что отношение длин траекторий выражается отношением разности радиусов неподвижной и подвижной окружностей к их сумме.