Серия «Линейная алгебра полный гайд»

• Детерминант и что это такое

• Как найти его разными способами

• Попрактикуемся над умножением матриц

БЛОК 0: ПОВТОРЕНИЕ И ПРАКТИКА

В первой части мы разобрали что такое матрица и их виды, а также все операции с ними. Сейчас мы потренируемся над одним из них - умножением.

Вспомним. Матрица может быть задействована в умножении, если количество ее столбцов равно числу строк второй матрицы. Для нашего примера возьмем матрицы 2×3 и 3×2:

Первую матрицу мы делим на строки, вторую на столбцы и вспоминаем второе правило - размерность конечной матрицы С должно быть равно строк 1 матрицы на столбцов второй. Получаем что конечная матрица у нас 2×2. Начинаем перемножать: вспоминаем что первый элемент равен перемножению верхней строки на 1 столбец матриц соотвественно. Давайте чтобы не писать по 100 раз договоримся, что первое действие или что либо я диктую для первой матрицы, и для второй после соответственно.

Итак получаем что элемент с11 равен:

Получаем ответ 16. с11=16 запомнили.

Второй элемент равен произведению верхней строки на второй столбец, значит с12 равен:

Получаем 5. с12=5. Запомнили

Элемент с21 получаем из перемножения нижней строки на первый столбец. Получаем

Получаем ответ 4. с21=4. Запомнили

Элемент с22 равен произведению нижней строки на второй столбец. Получаем

Ответ: 22. с22=22. Запомнили

Теперь просто, не торопясь собираем из 4 элементов матрицу С:

И вот так, мы получили результат перемножения матриц! А теперь попробуйте наоборот: перемножьте В на А, и посмотрите, что получится абсолютно другая матрица 3×3:

И теперь когда мы потренировались с матрицами, перейдем в уроку теории.

БЛОК 1. ДЕТЕРМИНАНТ И ЧТО ЭТО?

Что такое детерминант?

Детерминант - Это число, которое показывает во сколько раз преобразуется любая фигура любой размерности, условно 3д, ее площадь, объем. По другому, это число которое показывает как изменится мир или пространство после работы матрицы. Детерминант называют по другому определитель матрицы.

Главное что знать о нем:

Обозначают его прямыми линиями вместо скобок у матрицы, треугольником перед ней, пишут det А. Я буду писать det A.

Свойства:

1. Если в матрице есть нулевые строка или столбец, det=0. То есть изменение мира не будет.

2. Если две строки или столбца равны друг другу, det=0.

3. Если две строки/столбца пропорциональны, det=0. Пропорциональны всмысле одна строка просто больше другой ровно в два раза, то есть они ничем не отличаются по факту.

4. Если к одной строке прибавить или отнять другую, перемножить на какое либо число, детерминант не изменится.

5. Если поменять местами две строки, что называют рокировкой, детерминант поменяет знак на противоположный.

6. Общий множитель строки можно вынести за знак det.

Для чего это нужно?

• Проверить существование обратной матрицы

• Решить систему уравнений

• Найти обьем фигуры.

И теперь мы научимся находить его:

Для матрицы 2×2 есть быстрое решение крест-накрест:

А вот для матрицы 3+ порядка все посложней...

Возьмем матрицу:

1 способ: метод треугольников, или метод Саррюса.

Самый популярный геометрический способ для матриц третьего порядка. Мы мысленно строим треугольники и диагонали прямо на матрице.

• С плюсом (+) перемножаются элементы на главной диагонали, а также элементы в вершинах двух треугольников, чьи основания параллельны этой диагонали.

• С минусом (-) перемножаются элементы на побочной диагонали и элементы в вершинах треугольников, параллельных ей.

Вот наглядная схема

И вот мы помним нашу матрицу, и теперь разберем ее:

• Плюсы: (2 *(-1) *3) + (3 *5 *1) + (4 *2 *1) = -6 + 15 + 8 = 17

• Минусы: (1 *(-1) *1) + (3 *4 *3) + (2 *5 *2) = -1 + 36 + 20 = 55

det A=17-55=-38

Способ 2. Метод дописывания столбцов (Вторая вариация правила Саррюса)

Если в треугольниках легко запутаться, используют этот метод. Справа от исходной матрицы мы просто дублируем её первые два столбца:

Теперь определитель считается строго по прямым линиям:

• С плюсом (+) идут произведения по трем главным диагоналям (сверху вниз, слева направо).

• С минусом (-) идут произведения по трем побочным диагоналям (снизу вверх, слева направо).

Считаем наш пример:

• Диагонали вниз (+): (2*(-1)*3) + (3*5*1) + (1*4*2) = -6 + 15 + 8 = 17

• Диагонали вверх (-): (1*(-1)*1) + (2*5*2) + (3*4*3) = -1 + 20 + 36 = 55

det A=17-55=-38

Способ 3. Разложение по строке или столбцу (Теорема Лапласа / Метод миноров)

Самый мощный и фундаментальный метод. Он хорош тем, что работает для матриц абсолютно любого размера хоть 5×5, хоть 10×10, раскладывая их на матрицы меньшего порядка.

Мы можем выбрать любую строку или любой столбец матрицы. Элементы этой строки умножаются на свои алгебраические дополнения (миноры с учетом шахматного знака). Выгодно выбирать строку, где есть нули, но в нашем примере нулей нет, поэтому разложим по первой строке (элементы 2, 3, 1).

Но сначала, что такое минор и алгебраические дополнения?

• Минором M_ij элемента a_ij определителя n-го порядка называется определитель n-1 -го порядка, полученный из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых находится данный элемент.

• Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij называется его минор, взятый со знаком -1^i+j, где i - номер строки, а j - номер столбца данного элемента:

A_ij=(-1)^i+j*M_ij

Знаки элементов при разложении чередуются в шахматном порядке:

Но есть вариант и с записью:

A_ij=(-1)^i+j*M_ij

Считаем наш пример:

1. Элемент 2 (стоит на позиции с знаком +). Вычеркиваем его строку и столбец, остается минор 2×2:

Получаем -26.

Элемент 3 (стоит на позиции со знаком -). Вычеркиваем его строку и столбец:

Получаем -21.

Элемент 1 (стоит на позиции со знаком +). Вычеркиваем его строку и столбец:

Получаем 9.

Складываем:

(-26) + (-21) + 9 = -38. И опять наш детерминант равен -38.

Мы разобрали все способы, кроме Гаусса. Гаусса мы разберем в следующем выпуске. Пока затронем ранг матрицы:

Ранг матрицы:

В линейной алгебре ранг матрицы (rank,rang,r, rk, rg A) - это, если говорить совсем просто, количество её истинных, независимых строк или столбцов. Он показывает, сколько в матрице содержится реальной, не дублирующей друг друга информации.

Как его найти:

• Ранг по строкам равен рангу по столбцам. Неважно, как ты считаешь - по горизонтали или по вертикали, число всегда будет одним и тем же rankA = rankA^T

• Ограничение по размеру. Ранг матрицы не может быть больше, чем её меньшая размерность. Если у тебя матрица размером 3×5, её ранг физически не может быть равен 4 или 5. Максимум - 3.

• Ранг нулевой матрицы всегда равен 0.

• Ранг не меняется от элементарных преобразований. Это главное свойство для вычислений. Ты можешь менять строки местами, умножать их на числа и прибавлять друг к другу - ранг останется прежним.

Ну, а как его находить мы разберем в следующих частях. Надеюсь, вам все понравилось и я буду рад лайку. У меня в профиле есть много чего интересного, и если вы хотите меня поддержать, я собираю на книгу по квантовой механике и буду рад вашей помощи. Спасибо что читаете, всем удачи и добра!

В учебниках его преподают максимально душно: вас с порога заставляют заучивать абстрактные аксиомы векторных пространств, перемножать гигантские таблицы чисел и решать системы из ста уравнений методом Гаусса, вообще не объясняя, зачем весь этот цирк нужен в реальной жизни. Я предлагаю начать с понимания. Мы разберем линал не как набор формул для сдачи зачета, а как чистую геометрию пространства.

ГЛАВА 0. ВВЕДЕНИЕ

Для начала узнаем, что такое линейная алгебра и историю ее создания:

0.1 Что такое Линейная Алгебра?

Линейная алгебра - это универсальный язык для описания и изменения пространств любой размерности. Это своего рода суперкомпьютер для геометрии. Обычная школьная геометрия умеет работать с треугольниками, кругами и прямыми линиями на плоскости. Но как только вам нужно описать мир, в котором не 2 и не 3 измерения, а, например, 11 (как в теории струн) или 500 (как в базах данных нейросетей), классические формулы с углами и синусами улетают в помойку. Мозг человека не способен визуализировать 11-мерный гиперкуб.

И вот тут спасает линал. Он берет геометрические объекты - линии, плоскости, объемы, повороты, растяжения - и превращает их в строгие списки чисел (векторы) и таблицы (матрицы).

Слово "Линейная" здесь самое главное. Оно означает, что в этом мире действуют два железных правила:

1. Здесь нет кривых линий, парабол, синусов или квадратов координат. Все зависимости - строго прямые.

2. Пространство однородно. Если вы примените какое-то изменение к одной точке пространства, то точно так же изменятся и все остальные точки. Пространство нельзя порвать, склеить внахлест или согнуть в трубочку. Его можно только идеально ровно растянуть, сжать, перекосить или повернуть вокруг центра.

По сути, линейная алгебра - это правила дорожного движения для геометрических пространств. Она позволяет делать сложнейшие пространственные трансформации на бумаге или в коде компьютера, используя только четыре базовых действия арифметики.

На этой математике написаны движки всех современных 3D-игр (каждый поворот камеры в Киберпанке(cyberpunk) - это умножение матриц), на ней работают нейросети (чат-боты обучаются на терабайтах матричных векторов) и на ней держится вся квантовая механика с теорией струн.

0.2 История

Линейная алгебра, которую мы знаем сегодня, не родилась в один день в голове какого-то одного гения. Её собирали по деталям более двух тысяч лет!!! Физики и математики создавали её как секретное оружие для решения прикладных задач, которые обычная математика тупо не вывозила.

Если разложить эту историю на пальцах, то человечество прошло через три глобальных этапа:

1. Древний Китай и матрицы для торговцев (1 век до н.э.)

Самый большой исторический прикол заключается в том, что таблицы чисел (матрицы) люди придумали задолго до векторов и координатных сеток. В Древнем Китае был написан великий трактат "Математика в девяти книгах".

Тамошние купцы и чиновники постоянно сталкивались с бытовыми задачами: например, сколько стоит корова, баран и свинья по отдельности, если за 3 коровы, 2 баранов и 1 свинью просят 39 монет, а за 2 коров, 3 баранов и 2 свиней - 34 монеты?

Чтобы не запутаться в текстах, китайцы додумались записывать только чистые коэффициенты (числа) в прямоугольные таблицы. Они поняли, что если вычитать строки этих таблиц друг из друга и умножать их на числа, можно быстро найти цену каждого животного. По сути, древние китайские торговцы изобрели метод Гаусса для матриц за пару тысяч лет до самого Гаусса, просто чтобы их не обсчитали на азиатском базаре.

2. Лейбниц, Гаусс и охота за определителями (17-19 века)

В Европе к этой теме вернулись только в конце 17 века. Великий Готфрид Лейбниц (тот самый первооткрыватель высшего математического анализа и бинарного кода) посмотрел на эти таблицы чисел и понял, что это не просто списки данных. У них есть своя внутренняя математическая магия.

Чуть позже астрономы и физики (включая Карла Фридриха Гаусса) начали использовать матрицы, чтобы рассчитывать орбиты планет, траектории комет и решать гигантские системы уравнений в геодезии. Именно в этот период ученые нащупали концепцию детерминанта (определителя) - особого числа, которое вычисляется из матрицы и сразу показывает, имеет ли система уравнений решение, или она "схлопывается" и превращается в математическую бессмыслицу.

3. Грассман, Кэли и рождение векторных пространств (Конец 19 века)

До середины XIX века матрицы оставались просто удобным блокнотом для записи уравнений. Но затем произошел мощнейший прорыв.

Английский математик Артур Кэли и создатель кватернионов Уильям Гамильтон сказали:

"Стоп. Хватит смотреть на матрицы как на таблицы. Матрица - это самостоятельный математический объект, это единое число сверхвысокого порядка"

Они придумали правила, по которым матрицы можно умножать друг на друга, складывать и возводить в степени.

В это же время немецкий школьный учитель (и по совместительству непризнанный гений) Герман Грассман выпустил труд "Учение о протяженности". Он впервые в истории описал абстрактные многомерные пространства и ввел понятие векторов. Он доказал, что геометрию можно строить не только для нашего привычного 3D-мира, но и для пространств с любым количеством измерений.

В конце 19 века все эти кусочки пазла - китайские таблицы, уравнения Гаусса, матрицы Кэли и многомерные векторы Грассмана - соединились в один монолитный инструмент. Линейная алгебра наконец-то оторвалась от скучной торговли и стала тем, чем является сейчас - главным языком, который описывает фундаментальную геометрию нашей Вселенной.

Вот так и появилась Линейная алгебра которую мы знаем. Перейдем к сути поста!

ГЛАВА 1. МАТРИЦЫ И ВСЕ ПРО НИХ

1.1 Матрица - Что это?

Матрица - это прямоугольная таблица из чисел m на n размера(m строк на n столбцов):

Два индекса внизу каждого числа обозначает местонахождение числа:

1. Первое число - это индекс i принадлежащий множеству натуральных чисел(которыми ведется счет от 1), обозначает номер строки.

2. Второе число - это индекс j принадлежащий множеству натуральных чисел, обозначает номер столбца.

Строки считаются сверху вниз, а столбцы слева направо.

Размер матрицы записывается MxN где m - строка , а n - столбцы.

1.2 Виды матриц

1. Квадратная. Матрица, где число строк равно числу столбцов(m=n или n=n). Элементы матрицы a_11, a_22, a_33 образуют главную диагональ. Побочную диагональ образуют элементы а_n1 в a_1n. Порядком квадратной матрицы называется количество строк(или столбцов).

2. Матрицы являются равными, если они одинаковы по размеру и соответствию элементов.

3. Диагональная. Матрица является диагональной, если она квадратная и все элементы кроме главной диагонали равны нулю.

4. Нулевая. Квадратная матрица, у которой все элементы равны нулю.

5. Единичная. Квадратная матрица. у которой элементы главной диагонали равны 1, а все остальные нулю.

6. Прямоугольная. Когда строк больше, чем столбцов (или наоборот).

7. Симметричная матрица. Если ее отразить зеркально относительно главной диагонали, она не изменится.

8. Кососимметричная матрица. При отражении относительно диагонали все числа меняют знак на минус, а на самой диагонали стоят нули.

9. Треугольная. Квадратичная матрица, у которой по одну сторону от главной диагонали элементы равны нулю.

10. Вектор. Матрица, содержащая одну строку или один столбец.

1.3 Действия с матрицами

• Сложение.

  Вводится, когда:

  Матрицы одинакового размера. Суммой 2 матриц А и В называется матрица С, которая такого же размера как и данные матрицы и ее элементы равны А+В.

Где элемент c_11 появляется из:

И так с каждым элементом. поговорим про свойства:

1. A+B=B+A

2. (A+B)+C=A+(B+C)

3. A+O=O+A=A, где О - нулевая матрица.

• Умножение на число(скаляр).

  Произведение матрицы А на число λ(лямбда) называется матрица С элементы который равны λ*А.

Где каждый элемент матрицы С получается в результате умножения каждого элемента матрицы А на число λ:

Свойства:

1. (λ*μ)*А=λ*(А*μ)

2. λ*(А+В)=λ*А+λ*В

3. (λ+μ)*А=λ*А+μ*А

Где λ,μ(мю) - числа(скаляры)

• Умножение матриц

Вот здесь будет ломаться мозг. Понять довольно нелегко.

Операция умножения 2 матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы(матрицы могут быть разными).

Произведением матрицы А размера MxN, на матрицу В размера NxP называется матрица С размера MxP, где элемент с_11 вычисляется по формуле

То есть, Элемент 1-ой строки 1 столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов 1 строки матрицы А на соответствующие элементы 1 столбца матрицы В. Для кого то запутанно. разберем на примере:

На выходе получим:

Вот так просто мы получили матрицу С.

Запомните правило:

!!! ПРОИЗВЕДЕНИЕ А*В ПОЧТИ НИКОГДА НЕ РАВНО В*А !!!

Свойства:

1. (A*B)*C=A*(B*C)

2. (A+B)*C=A*C+B*C

3. A*(B+C)=A*B+A*C

4. A*E=E*A=A, ГДЕ Е - единичная матрица

5. A*O=O*A=O, где О - нулевая матрица

• Возведение в степень

Возведение в целую, положительную степень только для квадратных матриц!!!

Возведение происходит при выполнении условий:

Возведение в целую положительную(0,1,2,3...) степень только для квадратных матриц.

А происходит оно так:

Где k - целое положительное число.

Свойства:

1. A^0=E, где Е - единичная матрица

2. А^1=А

• Транспонирование матрицы

Это операция, при которой строки матрицы просто становятся её столбцами, а столбцы - строками. Обозначается буквой Т вверху:

Геометрический смысл: транспонирование - это зеркальное отражение всего нашего пространства относительно главной диагональной оси.

Для второго порядка есть правило:

Если у нас была матрица А второго порядка, то при транспонировании элементы главной диагонали остаются на месте, а элементы a_12 и a_21 зеркально меняются своими позициями

Свойства:

1. (A^T)^T=A

2. (a*A)^T=a*A^T, где а - число

3. (A+B)^T=A^T+B^T

4. (A*B)^T=A^T*B^T

5. Если матрица симметрична: А^Т=А

И это было последнее свойство матрицы. В следующем посте мы потренируемся, а затем изучим Детерминант матрицы, способы его нахождения, его смысл и как его можно использовать. Если Вам было интересно и это помогло разобраться, буду рад лайку. Это поможет и скажет мне, что это хоть кому то нужно и важно. Я конечно же буду продолжать это, а чтобы узнавать, когда вышел пост, можете подписаться. Всем удачи!