Итак, у нас есть дискретные динамические системы со статичными правилами эволюции, и очевидно, что внутри них можно создавать машины Тьюринга и алгоритмы (к примеру, клеточный автомат с правилом 110, если количество переменных в динамической системе не ограничено). Мы понимаем, что раз правила статичны и внутри них нет внутренней памяти, то по сути функция перехода во времени для дискретной динамической системы выражается в виде конечных таблиц перехода из состояния t в состояние t+1. Часть этих таблиц можно представить как матрицы, умножающиеся на вектор текущего состояния (для линейных случаев эволюции), с результатом в виде вектора для t+1.

Дискретная динамическая система состоит из переменных. Для каждого значения каждой из этих переменных возможен свой направленный граф влияния во времени на состояния других переменных во времени вперёд, а также наоборот — граф значений переменных в прошлом, которые повлияли на то, что значение переменной стало таким, каким оно стало сейчас, во времени назад. То есть возможна ситуация в теории динамических систем, когда значение переменной может быть привилегированным, а значит значение другой переменной сильно зависит от значения привилегированной, а может быть ситуация, когда управление будущим состоянием равномерно распределено по переменным.

В этом смысле довольно интересно, что так как задание динамической системы (как мы уже выяснили) невозможно без статических правил, получается, статические правила являются привилегированными переменными по отношению к переменным состояния динамической системы. Состояние динамической системы не способно поменять правила эволюции. Значит, концепция управления (и победителя, который получает всё) зашита в определение любой динамической системы.

Входные (из прошлого) и выходные (в будущее) графы влияния значения одной переменной можно очевидно объединить в общий граф потенциального влияния переменной на другие переменные в прошлом и будущем. Для этого случая возможны две возможности — граф влияния для одной и той же переменной не меняется со временем, граф влияния переменной меняется со временем. Мы можем задать такой математический вопрос: как связана форма таблицы функции эволюции со строением графов влияния?

Очевидно, раз в динамическую систему можно добавлять машины Тьюринга, значит можно добавлять игры и игроков. Игры возможны такие, что состояние переменной выигрыша в игре определяется обширным статичным графом влияния, так и узким статичным графом влияния, так и неопределённым графом влияния (меняющимся со временем). Для случая обширного статичного графа влияния это означает, что состояние переменной выигрыша определяется большим числом переменных в прошлом в этой игре, а значит для алгоритма, который будет моделировать эту зависимость, нужно будет, вероятно, много памяти для этого самого моделирования. Для игры, в которой граф влияния не обширен, количество вычислений для его моделирования должно в общем случае уменьшаться (при равной временной сложности). Для случая же, когда граф влияния не определён, сложность выигрыша в игре зависит от того, насколько легко вычислить этот граф влияния для будущего. То есть как бы граф влияния в прошлом и будущем определяет, насколько много памяти нужно агенту для выигрыша в игре, и в части случаев (когда граф влияния отсечен) он связан с тем сколько временных итераций нужно сделать, чтобы получить выигрыш (но не полностью).

Если удобнее смотреть, более подробная видео-версия есть на YouTube.

Сложные системы окружают нас повсюду: живые организмы, экосистемы, общество, экономика, нейросети. Во всех этих случаях мы видим одну и ту же странную вещь, когда множество простых элементов, взаимодействуя друг с другом, рождают нечто сложное и иногда непредсказуемое — нечто большее, чем сумма частей.

Но как именно из простого возникает сложное? Можно ли предсказывать поведение сложных систем? И могут ли сложные системы помочь нам лучше понять, как устроена Вселенная? Этими вопросами занимается относительно молодая область науки — наука о сложных системах.

Чтобы ответить на эти вопросы, ученые обращаются к упрощенным, идеализированным моделям. Один из таких инструментов моделирования — клеточные автоматы.

Как правило, клеточный автомат выглядит как решетка из клеток, где каждая из клеток меняет свое состояние по заранее заданным правилам в зависимости от состояния соседних клеток.

Наверно, самый известный клеточный автомат — это игра «Жизнь», придуманная математиком Джоном Конвеем. Несмотря на название, «играть» в нее в привычном нам смысле не получится. Все, что требуется от игрока, — задать начальное состояние клеток, а затем просто наблюдать за развитием. В общем, как вы поняли, игра не самая динамичная.

Правила у «Жизни» довольно простые: клетка может быть живой или мертвой, а ее следующее состояние определяется состоянием ее соседей. Однако если запустить игру и дать ей развиваться, можно заметить в ней устойчивые структуры, паттерны и сложные взаимодействия. В каком-то смысле, это действительно похоже на живую среду.

Для фигур, возникающих в игре, есть целая классификация. Например, выделяют:

• устойчивые фигуры, которые никогда не меняются;

• осцилляторы — фигуры, которые колеблются между несколькими состояниями;

• космические корабли — фигуры, перемещающиеся по решетке;

• ружья — фигуры, которые производят космические корабли.

Вокруг игры «Жизнь» со временем образовалось целое сообщество, и некоторые стали целенаправленно конструировать сложные объекты. Например, там можно смоделировать даже компьютер, работающий по той же логике, что и традиционные компьютеры. Было доказано, что игра «Жизнь» является тьюринг-полной, то есть там можно реализовать любую вычислимую функцию, включая моделирование самой себя (см. гиф ниже).

И напомню, что все это работает на основе простых правил, которые занимают буквально несколько строк кода.

Помимо игры «Жизнь» есть множество других клеточных автоматов, и используются они не только ради развлечений, но и в реальных научных целях. С их помощью моделируют различные естественные системы. Например, рост биологических популяций, распространение эпидемий, химические реакции, динамику жидкостей и газов.

Почему вообще клеточные автоматы так эффективны в моделировании естественных систем? И там, и там используется похожий принцип, а именно:

• Система состоит из большого числа простых элементов.

• Каждый элемент подчиняется локальным правилам и взаимодействует с ограниченым количеством других элементов.

• Нет централизированного управления.

• Несмотря на все это возникает сложное и иногда непредсказуемое поведение.

Мы видим этот принцип в самых разных примерах из природы: клетки в организме, муравьиные колонии, рост растений или даже мозг. Сложность не обязательно требует сложных законов. Иногда достаточно простых правил, множества элементов и времени.

Идею о том, что сложность может возникать из простых правил, особенно радикально развил физик-математик Стивен Вольфрам. Он предположил, что, возможно, даже на самом глубоком, фундаментальном уровне Вселенная устроена похожим образом и является дискретной.

То есть Вселенная в каком-то смысле может работать как вычислительный процесс подобно клеточному автомату. Грубо говоря, можно сказать, что пространство состоит из условных «атомов» пространства. Взаимодействие этих атомов на фундаментальном уровне порождает все то, что мы воспринимаем как реальность на нашем уровне.

Подобно тому, как в игре «Жизнь» появляются различные паттерны и есть даже своя «скорость света» (максимальная скорость передачи информации, равная одной клетке в любом направлении), в нашей Вселенной тоже есть устойчивые структуры и закономерности, которые, возможно, мы и принимаем за привычные нам законы физики типа теории относительности и квантовой механики. С этой точки зрения они не являются фундаментом, а выводятся из более глубоких правил системы.

В такой картине время можно понимать как сам процесс вычисления. Система постоянно пересчитывает свое следующее состояние. И то, что мы воспринимаем как течение времени, это последовательность обновлений системы, которое идет шаг за шагом. И это возможно объясняет, почему время движется всегда только вперед.

Кстати, гипотеза Вольфрама могла бы объяснить случайность на квантовом уровне. В традиционной интерпретации квантовая случайность считается истинной, фундаментальной. Но если в основе реальности лежит тот же принцип, что и в клеточных автоматах, то она может иметь детерминированную природу. Во многих клеточных автоматах мы не можем предсказать, каким будет состояние системы, скажем, через тысячу шагов. Чтобы узнать это, нам нужно симулировать процесс шаг за шагом. Возможно, квантовая случайность устроена похожим образом — как проявление глубинных правил, которые мы просто не способны напрямую вычислить.

Для изучения своей гипотезы Вольфрам запустил исследовательскую программу Wolfram Physics Project, которую он сам описывает как попытку найти фундаментальную теорию физики. Многие отнеслись к его гипотезе довольно скептически, тем не менее Вольфрам и его сторонники продолжают активно работать над проектом. На сайте проекта опубликовано множество материалов, где они пытаются объяснить, как пространство, время, гравитация и квантовая механика могут возникать из простых вычислительных правил.

Сможет ли Вольфрам вывести теорию всего? И можно ли описать Вселенную одним простым правилом? Пока что совершенно неясно. Но в любом случае мне кажется, что это любопытная сфера для исследований. А что думаете вы?

Если вам интересны подобные темы, другие разборы — на канале: https://www.youtube.com/@raven.explores

Если в симуляцию добавить границы, то цвета будут устойчиво занимать географические ниши. Как и в жизни.

Со временем, цветов становится всё меньше, а их борьба затягивается. Это похоже на сокращение числа живых языков в мире. В итоге, в симуляции останется только 1 цвет. Может, и в будущем, весь мир заговорит одинаково?

Клеточный автомат простой, но мне хотелось поделиться результатом. Если у вас есть идеи для экспериментов, пишите в комменты. Буду рад!