Выводим уравнений Максвелла из четырёхполярности L4 и вихря L2–L3–L4 (часть 2)
Продолжение статьи
ниже
Глава 3. Дуальность *_{pi_fix}, рождение вихря как оператора и корневые уравнения dF=0, dG=J
1. Задача главы: превратить “вихрь” в протокольный оператор
После главы 2 у нас есть минимальная локальность: цепной комплекс (C0,C1,C2,(C3)), оператор границы d и закон d o d = 0, а также типизация M/R и ветвевой закон rev(pi_fix) => m_sign := -m_sign.
Однако уравнения Максвелла не появляются из d в одиночку. Между “границей” и “вихрем” стоит дуальность: она связывает “обход по контуру” с “потоком через площадку”. В классической непрерывной геометрии это Hodge-star *. В нашей дисциплине это должно быть:
явно определено как оператор на носителе,
зависеть от ветви pi_fix,
менять знак строго по m_sign при rev(pi_fix),
согласовываться с типизацией M/R,
быть проверяемым гейтами (включая * o *).
И только после этого мы имеем право сказать: “вихрь — это * o d” и дальше получить корневые уравнения Максвелла в форме dF=0, dG=J.
2. Дуальность на носителе: оператор *_{pi_fix}
2.1. Размерность носителя и ранги
Для дискретной электродинамической картины удобно считать, что носитель локальности имеет “пространственную” размерность 3 (то есть C0..C3). Тогда дуальность переводит ранги:
*_{pi_fix}: Ck -> C(3-k).
Если работать в 2D-носителе, было бы Ck -> C(2-k), но канон Максвелла естественно проявляется в 3D+времени, поэтому здесь мы фиксируем 3.
Важно: это не “физическое пространство”, а минимальный ранг, на котором можно разместить полный набор (потоки, циркуляции, источники) и получить четыре уравнения в L2-проекции.
2.2. Определение дуальности
Вводим оператор дуальности на цепях:
*_{pi_fix}: Ck -> C(3-k).
В непрерывной теории * зависит от метрики; у нас роль “метрики” играет выбранная реализация дуальности как часть структуры канона. Но мы не обсуждаем здесь физическую метрику; нас интересует только то, какие свойства дуальности необходимы, чтобы:
вихрь был определён однозначно,
знак был контролируем,
преобразования представления не меняли L2-канон.
2.3. Ветвевой знак дуальности
Это прямое воплощение A0 на уровне дуальности.
A16 (ветвевой знак дуальности): *_{rev(pi_fix)} = m_sign(pi_fix) *_{pi_fix}.
Где m_sign(pi_fix) ∈ {+1,-1} и по A0: rev(pi_fix) => m_sign := -m_sign.
Тем самым мы запрещаем неявное соглашение о “правой руке”: смена ветви всегда имеет наблюдаемое следствие — смену знака в тех операторах, где участвует *.
2.4. Квадрат дуальности
Без свойства * o * невозможно строго контролировать многие эквивалентности, а также формально определить дивергенцию как * d * без появления скрытых неопределённостей.
A17 (квадрат дуальности): на каждом ранге k существует sigma_k ∈ {+1,-1}, такое что
*_{pi_fix} o *_{pi_fix} = sigma_k * Id на Ck.
В классике sigma_k зависит от размерности и сигнатуры. В нашей аксиоматике это фиксируется как часть спецификации канона (и проверяется гейтом). Важно, что sigma_k не может “плавать” от ситуации к ситуации: иначе это будет скрытая подгонка.
2.5. Совместимость * с Sym4 и типизацией M/R
Дуальность должна быть согласована с симметриями янтры и с типизацией.
A18 (Sym4-коммутирование): для g ∈ Sym4 g· o *_{pi_fix} = *_{pi_fix} o g·.
A19 (типовая согласованность M/R): дуальность *_{pi_fix} должна реализовывать (или быть согласованной с) оператором Dual: M <-> R из главы 1. Формально это означает: если объект имеет тип R, то его *-образ имеет тип M (или наоборот) согласно принятой схеме канона.
В компактном виде:
Type(*_{pi_fix} x) = Dual(Type(x)).
Это исключает неявное смешение секторов.
3. Рождение операторов “curl/div” как композиций
Теперь, имея d и *_{pi_fix}, мы можем определить ключевые операторы не как “словари координат”, а как композиции на носителе.
3.1. Вихрь как протокольный оператор Gamma_{pi_fix}
Определяем вихрь:
Gamma_{pi_fix} := *_{pi_fix} o d.
Это не метафора. Это определение оператора, который:
зависит от локальности через d,
зависит от ветви через *_{pi_fix},
имеет управляемый знак при rev(pi_fix) (см. ниже).
В терминах нашей линии L2–L3–L4:
L3 даёт d (минимальная локальность),
L4 даёт ветвевую дуальность *_{pi_fix},
композиция даёт “вихрь” как фундаментальный оператор многополярной спирали/вихря симметрий.
3.2. Дивергенция как дуальная композиция
Определяем дивергенцию:
Div_{pi_fix} := *_{pi_fix} o d o *_{pi_fix}
(на тех рангах, где композиция типово определена).
Эта формула — дискретный аналог стандартного “codifferential” в языке форм. Для нас важно: она тоже ветвезависима и поэтому не может быть определена без дисциплины pi_fix.
3.3. Управляемость знака при смене ветви
Из A16 немедленно следует поведение вихря:
Gamma_{rev(pi_fix)} = *_{rev(pi_fix)} o d = m_sign(pi_fix) *_{pi_fix} o d = m_sign(pi_fix) Gamma_{pi_fix}.
А поскольку по A0 m_sign меняет знак при rev(pi_fix), мы получаем:
L1 (ветвевой закон вихря): при rev(pi_fix) оператор Gamma меняет знак контролируемо.
Это и есть строгая замена “правила правой руки”: не “принято так”, а “ветвевой закон обязует так”.
4. Полевые объекты F, G, J: типы, ранги, смысл
Чтобы вывести Максвелл, нам нужны три объекта:
F — полевой объект (замкнутая структура, дающая гомогенную половину),
G — дуальный объект (через *_{pi_fix} и/или Dual),
J — источник (ток/заряд в дискретной форме).
4.1. Поле F
Фиксируем:
F ∈ C2^{R}
то есть F — 2-цепь (поток через грани) типа R (в принятой типовой схеме). Эта схема соответствует интуиции: магнитная/потоковая компонента естественно живёт на 2-клетках.
Возможны и другие схемы, но тогда нужно изменить типовую карту и показать, что L2-проекция сохраняется. В рамках канона мы фиксируем одну схему и объявляем её частью спецификации.
4.2. Дуальное поле G
Определяем:
G := *_{pi_fix}(F).
Тогда G ∈ C1^{M} по A19 (типовая согласованность: Dual(R)=M в этой схеме). Это естественно: дуальный объект к потоковому живёт на рёбрах и соответствует “циркуляционным” величинам.
При желании можно вставить промежуточный Dual как типовой функтор, но в каноне достаточно считать, что *_{pi_fix} уже согласовано с Dual.
4.3. Источник J
Источники (заряд/ток) удобно представлять как 3-цепь:
J ∈ C3^{M}
или, при 3+1 разложении, как комбинацию “пространственного тока + плотности”. На дискретном 3D-носителе тип M удобен, но здесь ключевое не “какой тип”, а то, что тип должен быть согласован с уравнением источников ниже.
5. Корневые уравнения Максвелла и их происхождение
Теперь мы готовы к основным формулам.
5.1. Гомогенная половина: dF = 0 как структурное тождество
Ключевой вопрос: является ли dF = 0 постулатом? В нашем подходе — нет, это либо:
тождество типа Бьянки (если F задан как F = dA), либо
условие согласованности “полевого объекта” с тем, что вихрь определён через d и d^2=0.
Чтобы не прятаться за “локально существует потенциал”, мы фиксируем минимально:
A20 (поле как допустимый объект вихря): F выбирается из класса полей, совместимых с локальной структурой комплекса, то есть F является замкнутым элементом относительно d.
Тогда формула
dF = 0
становится не “физическим законом”, а определяющим структурным условием того, что F — корректный полевой объект на данном носителе.
Почему это разумно? Потому что иначе вихрь Gamma = * d не даёт замкнутой онтологии: если “полевой объект” не удовлетворяет dF=0, то возникнут “границы границ”, что противоречит A9 (d^2=0) при попытке построить потенциалы и калибровки (глава 4).
В дальнейшем (глава 4) мы покажем, что dF=0 эквивалентно существованию потенциала A локально: F = dA, и что калибровка становится следствием d^2=0.
5.2. Негомогенная половина: dG = J как минимальная аксиома источников
В отличие от dF=0, уравнение источников — это минимальная содержательная аксиома: оно фиксирует, что “то, что мы называем источником”, является границей дуального поля.
A21 (уравнение источников): dG = J, где G := *_{pi_fix}(F).
Это единственный “содержательный” ввод: мы тем самым определяем смысл J как правой части.
5.3. Закон сохранения: dJ = 0 как автоматическое следствие
Теперь главное преимущество структуры комплекса:
dJ = d(dG) = (d o d) G = 0
по A9 (d o d = 0).
T1 (закон сохранения источника): из A9 и A21 следует dJ = 0.
Это и есть дискретный закон непрерывности. В L2-проекции он станет:
d(rho)/dt + div(J_vec) = 0.
Принципиально: сохранение не добавлено “вручную”; оно логически неизбежно в любом комплексе, где источники — границы дуального поля.
6. Где в этой главе “четырёхполярность” работает как причина Максвелла
Можно ошибиться, решив, что мы “просто взяли дифференциальные формы” и получили Максвелл. Но в нашей дисциплине ключевое другое: четырёхполярность L4 задаёт именно те элементы, которые в классике прячутся как “естественный выбор”:
ветвь pi_fix и закон знака A0 (исключают произвольность ориентации);
дуальность *_{pi_fix} как ветвезависимую операцию (A16);
типизацию M/R и запрет смешения (A19);
симметрийную инвариантность Sym4 (A18) — “саморазвитие” симметрий на построенные отношения.
Без L4 вы не можете объяснить, почему * должен менять знак при смене ветви и почему знаки в “curl” не являются произвольным соглашением. В классической записи это спрятано в “правиле правой руки”. В нашей аксиоматике это фиксируется в A0 и A16 и затем проверяется гейтом.
7. Гейты главы 3: что именно проверяется (чтобы вывод был жёстким)
Эта глава добавляет к гейтам главы 2 несколько критических проверок.
GATE-6: Ветвевой знак дуальности
Проверяет A16:
*_{rev(pi_fix)} = m_sign *_{pi_fix}
и следствие для вихря:
Gamma_{rev(pi_fix)} = m_sign * Gamma_{pi_fix}.
GATE-7: Квадрат дуальности
Проверяет A17:
* o * = sigma_k * Id на каждом ранге k в каноне.
GATE-8: Sym4-коммутирование
Проверяет A18:
g· o * = * o g·.
GATE-9: Типовая согласованность * и полей
Проверяет A19 и размещение:
F ∈ C2^R, G = *F ∈ C1^M, J ∈ C3^M (в выбранной схеме).
GATE-10: Корневые уравнения и сохранение
Проверяет:
dF = 0,
dG = J,
dJ = 0 как следствие.
8. Итог главы 3: мы получили “Максвелл в корне”, ещё до L2
К концу главы 3 построена центральная конструкция:
ветвезависимая дуальность *_{pi_fix} с контролируемым знаком (A16) и свойством *^2 (A17);
вихрь как протокольный оператор:
Gamma_{pi_fix} := *_{pi_fix} o d;
полевые объекты F, G := *F, источник J;
корневые уравнения:
dF = 0, dG = J,
и автоматическое следствие:
dJ = 0.
Это уже “Максвелл”, но в структурной форме, независимой от координат, “правой руки” и скрытых соглашений. Остаётся два шага:
показать, как из корневых уравнений получается четыре привычных L2-уравнения (через 3+1 разложение, оператор проекции и явное появление E,B,D,H,rho,J_vec);
показать “жёсткость” (единственность) и допустимую группу преобразований представления G_repr(pi_fix) как формальный смысл “эквивалентности канону”.
9. Что будет в главе 4
В главе 4 мы сделаем L2-проекцию строго:
1. введём оператор Proj_L2^{(e,pi_fix)} и 3+1 разложение по оси e;
2. распишем F и G в компоненты:
F = E ^ e + B, G = H ^ e + D, J = J_vec ^ e + rho;
(где ^ — wedge; мы зададим минимальную аксиоматику для него и правило Лейбница);
3. получим четыре уравнения:
div B = 0, curl E + dB/dt = 0, div D = rho, curl H - dD/dt = J_vec;
4. отдельно покажем, что потенциалы и калибровка возникают как следствие dF=0 и d^2=0.
Глава 4. L2-проекция: 3+1 разложение, четыре уравнения Максвелла, потенциалы и калибровка как следствие d^2=0
1. Зачем нужна L2-проекция и почему это отдельный шаг (а не “часть аксиоматики”)
В главах 1–3 мы получили “Максвелл в корне” как структуру на носителе локальности:
dF = 0, dG = J, G := *_{pi_fix}(F), и следствие dJ = 0.
Это уже полноценная теория в “форменном/цепном” языке. Но классический физический язык говорит на уровне измерительных величин:
E, B, D, H, rho, J_vec,
а также использует операторы curl/div и производную по времени.
Переход от корня к измерительному языку не должен быть магией. Он обязан быть:
формально определён как оператор проекции,
согласован с ветвью pi_fix (иначе знаки станут соглашением),
совместим с допустимыми преобразованиями представления (иначе “эквивалентность канону” будет пустым словом).
Поэтому мы вводим оператор L2-проекции как первоклассный объект аксиоматики.
2. Ось V2 и 3+1 разложение: фиксируем канал “измеримости”
2.1. Ось e как формальный выбор канала разложения
Вводим элемент e (наша “ось V2” в измерительном смысле):
e — это фиксированный “канал разложения” (в терминах форм: выделенная 1-форма; в терминах дискретных цепей: выделенная направленность/фолиация носителя по стадиям).
Важно: e не обязана быть “временем” как физическим субстратом. Это операторная ось, по которой мы отделяем “продольные” компоненты от “поперечных”. Только после этого появляются привычные ∂/∂t и “пространственные” div/curl.
2.2. Оператор L2-проекции
Определяем:
Proj_L2^{(e, pi_fix)}: (F, G, J) -> (E, B, D, H, rho, J_vec).
И фиксируем базовое требование:
A22 (инвариантность L2-проекции относительно допустимых смен представления): для любого T ∈ G_repr(pi_fix) (будет строго в главе 5):
Proj_L2^{(e, pi_fix)}(T·F, T·G, T·J) = Proj_L2^{(e, pi_fix)}(F, G, J).
Это важнее, чем может показаться: без A22 вы не можете строго утверждать, что две “эквивалентные” записи действительно дают одну и ту же физику на L2.
3. Минимальная алгебра разложения: wedge, степени и правило Лейбница
Чтобы записывать разложения вида F = E ^ e + B, нам нужен минимальный набор алгебраических правил.
3.1. Операция ^ (wedge)
Вводим бинарную операцию ^ (внешнее произведение) на объектах подходящих рангов:
если a имеет степень deg(a)=p, b имеет степень q, то a ^ b имеет степень p+q.
Мы не обязаны здесь выводить полную алгебру дифференциальных форм; достаточно минимальной структурной совместимости.
3.2. Правило Лейбница для d
Фиксируем:
A23 (Лейбниц): d(a ^ b) = (d a) ^ b + (-1)^{deg(a)} a ^ (d b).
Это нужно, чтобы корректно разложить dF на компоненты “вдоль e” и “поперёк e”.
4. Разложение F, G, J и рождение четырёх уравнений
Теперь мы делаем ключевой шаг: показываем, что четыре классических уравнения появляются как компонентная форма корневых уравнений.
4.1. Разложение полей
Фиксируем каноническое 3+1 разложение относительно оси e:
F = E ^ e + B G = H ^ e + D J = J_vec ^ e + rho
Где:
E — объект степени 1 на “пространственном” слое (1-форма / 1-цепной аналог),
B — объект степени 2 на пространственном слое,
H — объект степени 1,
D — объект степени 2,
J_vec — объект степени 2 или 1 в зависимости от конвенции; в 3D-форменном каноне удобно считать его 2-формой, но на L2 мы интерпретируем его как вектор тока,
rho — объект степени 3 (плотность источника).
В этой статье мы держим традиционный L2-лексикон: J_vec — ток, rho — заряд.
Смысл разложения: E и H — “продольные” компоненты (с участием e), B и D — “поперечные” компоненты.
4.2. Разложение оператора d на “пространственную” и “вдоль e” часть
В 3+1 подходе оператор d раскладывается на:
пространственный дифференциал d_s,
производную вдоль e, которую мы обозначим как d_e.
На L2 это станет ∂/∂t. Формально достаточно принять, что:
d = d_s + e ^ d_e
в смысле действия на разложенные объекты (это стандартная структура; в дискретном варианте d_e соответствует шагу по слоям фолиации).
Мы не обязаны здесь вводить полноценную теорию фолиаций. Мы используем минимальный факт: существует согласованное разнесение компонент по e.
5. Гомогенная половина: из dF=0 получаем два уравнения
5.1. Подстановка разложения в dF=0
Имеем:
dF = d(E ^ e + B) = 0.
По A23 (Лейбниц):
d(E ^ e) = (dE) ^ e + (-1)^{deg(E)} E ^ (de).
Так как deg(E)=1, получаем:
d(E ^ e) = (dE) ^ e - E ^ (de).
В канонической 3+1 постановке de = 0 (ось фиксирована как структурная), и тогда:
d(E ^ e) = (dE) ^ e.
Далее:
dF = (dE) ^ e + dB = 0.
Разносим по компонентам “с e” и “без e”:
часть без e: d_s B = 0,
часть с e: d_s E + d_e B = 0.
(Здесь мы используем стандартное разнесение d на пространственную и продольную части.)
5.2. Перевод в L2-нотацию
На L2-уровне:
d_s B = 0 соответствует div(B) = 0,
d_s E + d_e B = 0 соответствует curl(E) + ∂B/∂t = 0.
Итак, из dF=0 получаем:
(MW1) div(B) = 0 (MW2) curl(E) + dB/dt = 0
Критически: знак во втором уравнении контролируется ветвью pi_fix через то, как определён curl (см. главу 3: curl_{pi_fix} := *_{pi_fix} o d_s).
6. Негомогенная половина: из dG=J получаем два уравнения с источниками
6.1. Подстановка разложения в dG=J
Имеем:
dG = d(H ^ e + D) = J_vec ^ e + rho.
Снова:
d(H ^ e) = (dH) ^ e (при de=0), и значит:
dG = (dH) ^ e + dD.
Разносим компоненты:
без e: d_s D = rho,
с e: d_s H - d_e D = J_vec.
Знак “минус” при d_e D — это стандартный результат компонентного разнесения; в нашей дисциплине он не является соглашением, потому что задаётся ветвью pi_fix и ориентационной структурой дуальности.
6.2. Перевод в L2-нотацию
На L2-уровне:
(MW3) div(D) = rho (MW4) curl(H) - dD/dt = J_vec
И снова: знаки curl и временной части согласованы ветвевым законом (глава 3: смена pi_fix меняет знак *_{pi_fix}, а значит и знак curl).
7. Закон сохранения источника в L2: непрерывность
Из главы 3 мы уже имеем:
dJ = 0.
Разложим:
J = J_vec ^ e + rho.
Тогда dJ = 0 даёт:
d_s rho + d_e J_vec = 0,
что в L2-нотации является:
d rho/dt + div(J_vec) = 0.
Это не дополнительное условие, а структурное следствие d^2=0. Важно: если в какой-то “альтернативе” нарушается непрерывность, это значит, что либо:
нарушено d o d = 0,
либо J не является границей дуального поля (ломается dG=J),
либо где-то скрыт join, создающий нелокальные источники.
8. Потенциалы и калибровка: как они неизбежно возникают из dF=0 и d^2=0
Этот раздел часто воспринимают как “физическую хитрость”. В нашей аксиоматике это чистая структура комплекса.
8.1. Локальное существование потенциала
Если dF=0, то (локально, на “контрактильной” области носителя) существует A, такое что:
F = dA.
Это стандартный факт: замкнутый объект локально является точным (в дискретной версии — при отсутствии топологических препятствий; глобально появляются классы когомологий, что напрямую связано с нашими V3-классами витка).
Мы фиксируем это как:
A24 (локальная точность замкнутого поля): при dF=0 на допустимом локальном домене существует A с F=dA.
8.2. Калибровка как следствие d^2=0
Пусть lambda — объект ранга 0 (0-форма/скаляр на C0).
Определим новое:
A' := A + d lambda.
Тогда:
F' = dA' = d(A + d lambda) = dA + d(d lambda) = dA = F
поскольку d o d = 0.
То есть калибровочная инвариантность — не “выбор физика”, а железное следствие структуры комплекса.
На L2-уровне это даёт привычные формулы (в стандартной интерпретации):
B = curl A_vec,
E = -grad Phi - dA_vec/dt,
A_vec -> A_vec + grad lambda,
Phi -> Phi - d lambda/dt.
И снова: curl/grad у нас — не первичные “координатные” операции, а сокращения для композиций через d_s и *_{pi_fix}.
9. Где в этом шаге проявляется L4-строгость (а не просто “диффформы”)
Ключевые места, которые в традиции скрыты как “естественные”, у нас были вынесены в аксиомы:
Смена ветви pi_fix меняет знак * и тем самым знак curl (глава 3, A16). Это означает: знаки уравнений Максвелла контролируются структурой L4, а не конвенцией учебника.
Типизация M/R запрещает неявное смешение половин (глава 1, A4–A5; глава 2–3, A19). Это устраняет “подмены” вроде “G вдруг стал тем же, что F” без указания дуальности.
Запрет скрытого join (глава 2, A14–A15). Он предотвращает “фальшивые альтернативы”, которые сохраняют вид MW1–MW4 ценой нелокальной склейки.
10. Гейты главы 4: что проверяется на уровне L2-канона
К гейтам глав 2–3 добавляются:
GATE-11: Корректность Proj_L2^{(e,pi_fix)}
Проверяет, что разложение (F,G,J) -> (E,B,D,H,rho,J_vec):
типово согласовано,
детерминировано при фиксированных e и pi_fix,
инвариантно относительно допустимых преобразований представления.
GATE-12: Восстановление MW1–MW4 из корня
Проверяет, что:
dF=0 и dG=J
при L2-проекции действительно дают четыре уравнения с правильными знаками, согласованными с ветвевым законом.
GATE-13: Калибровка
Проверяет, что:
A' = A + d lambda оставляет F неизменным, т.е. d(d lambda)=0 реализовано корректно на носителе.
11. Итог главы 4: классические четыре уравнения получены как L2-следствие корня
Мы сделали то, что обычно является “переходом на координаты”, но в нашей схеме это:
строго определённая L2-проекция,
разложение относительно оси e,
компонентное разнесение корневых уравнений.
В результате получены:
(MW1) div(B) = 0 (MW2) curl(E) + dB/dt = 0 (MW3) div(D) = rho (MW4) curl(H) - dD/dt = J_vec
а также непрерывность:
d rho/dt + div(J_vec) = 0.
Потенциалы и калибровка выводятся из dF=0 и d^2=0.
Остаётся последний шаг: доказать жёсткость/единственность и строго определить, что означает “эквивалентно канону” — то есть описать группу допустимых преобразований представления G_repr(pi_fix) и показать, что любые “альтернативы” либо сводятся к канону через эту группу, либо нарушают гейты (скрытый join, ветвевой знак, типизацию, первый порядок).
12. Что будет в главе 5
В главе 5 мы:
строго введём G_repr(pi_fix) (локальные автоморфизмы комплекса, переориентации, сопряжения дуальности, блочность M/R, локальность радиуса 0/1);
сформулируем и докажем теорему жёсткости: в классе локальных линейных теорий первого порядка с ветвевым знаком и запретом скрытого join, единственный канон — dF=0, dG=J;
добавим технические выводы: гейт эквивалентности представлений и ledger-сертификат repr_change (с join_id, locality_radius, commutes_with_rev, MR_preserved).
Продолжение следует.
Как ЗАПУСТИТЬ архив в новом чате ChatGPT
Вставьте архив и инструкции в первое сообщение нового чата.
Задавайте любые вопросы по теме статьи.
