Серия «Математика»

В видео разбираем классическую ловушку, которая заставляет терять половину правильных решений в задачах с модулем.

Мы берем громоздкое выражение с корнями четвертой степени и пошагово его упрощаем, фокусируясь на критическом моменте:

1. Раскрытие скобок: Учимся быстро сворачивать квадраты и раскладывать разности, чтобы увидеть, что скрывается под корнем.

2. Узнаём как модуль гарантирует неотрицательный результат.

3. Ветвление решения: Разбираем, как именно появление модуля заставляет задачу разделиться на два разных ответа в зависимости от знака подкоренного выражения.

4. Финальная сборка: Собираем все части воедино, сокращаем дроби и получаем два корректных ответа, один из которых легко пропустить, если не учесть модуль.

Мы думали, что победили коварный модуль в прошлой задаче (https://rutube.ru/video/6d0a47b7f8d590666cd146fba0f17c00/), но оказалось, что за его спиной прятался еще более хитрый противник — Область Допустимых Значений (ОДЗ). Если вы хоть раз получали неверный ответ, потому что забыли проверить, что находится под корнем четной степени или в знаменателе, это видео для вас!

В этом выпуске мы возвращаемся к сложной задаче с корнями четвертой степени и детально разбираем, как ОДЗ не просто «дополняет» решение, а полностью перекраивает рабочие интервалы. Узнайте, как правильно выставлять «красные флажки» на числовой прямой, чтобы избежать корней из отрицательных чисел и деления на ноль (даже скрытого!).

Что вы узнаете из этого видео:

• Почему $\sqrt[4]{x^4} = |x|$, и как модуль влияет на ветвление ответа.
  

• Три критические точки, где скрывается ОДЗ: корни четной степени, явное деление на ноль и скрытое деление на ноль.
  

• Как правильно объединить ограничения от Модуля и ОДЗ, чтобы получить финальный, корректный ответ для каждого интервала.
  
  Код анимации (если кому интересно) смотрите здесь - https://gitverse.ru/Nikas/NeuralNet.2025/content/master/mani...
  
  Прошлый разбор этой задачи:

Утоп в собственных мыслях и не добрался до решения.

Пока смотрел дробь с корнями в корнях — то запустил режим «калейдоскопа вариантов поиска решений»:
— Может, замена? А какая?
— Или возвести в квадрат?
— А вдруг разность кубов?
— А если домножить на сопряжённое?

За пять минут у меня было семь стратегий, ни одна из которых не была доведена до конца. Прыгал с одной на другую, как белка в колесе, убеждая себя, что ищу «элегантное решение», а на деле просто боялся ошибиться.

В какой-то момент я сделал то, что должен был сделать с самого начала:

Взял и возвёл в квадрат.

И всё начало складываться — чётко, логично, красиво.
Но… я тут же испугался, что «слишком просто», и снова ушёл в дебри замен: ввёл x = √3, получил два выражения, которые выглядели по-разному — и решил, что сломал всё.

На самом деле они были одинаковыми. Просто я не заметил, что при x = √3 обе функции совпадают.
Но вместо того чтобы подставить число и проверить — я начал сомневаться в реальности, в задаче, в себе.

В итоге устал и спросил у нейросети:

«Эй, что я тут наворотил, почему не сходится?»

Она ответила:

«Да эти значения же равны. Ты просто не подставил.»

И всё встало на места.

Вывод?
Хаос в голове — не всегда от глупости. Он от лишней тревожности… и страха выбрать не ту дорогу.
Иногда достаточно остановиться, сделать один простой шаг — и довериться ему, даже если он кажется «тупым».

А у вас бывало, что вы сами себе мешали решить простую задачу и как это преодолевали?

Песня по мотивам разбора задачи

Записал видеоурок по одной коварной задаче — рациональному уравнению, где в числителе зверствует выражение четвёртой степени, а в знаменателе корень, который непонятно было как сократить. Сделал по разбору этой задачи анимацию.

Но для лучшего запоминания и восприятия не хватает лирики. Поэтому написал об этом песню. (спасибо Gemini и Suno)

Это история про момент, когда решение уже почти найдено — но хаотичный ум заставляет пойти другим путем и там упирается в ошибку.

Вот стихи:

[Куплет 1]
Томим душевной жаждой знаний,
Я грыз гранит больших задач.
Среди корней и начертаний
Я слышал свой беззвучный плач.
Взгляни: в числителе — химера!
Четвертой степени оскал,
Там минус, плюс… пропала вера,
И дрогнул мой потенциал.
Я мыслил: «Как же снять оковы?
Как этот ужас упростить?»
И глас раздался: «Будь суровым!
В квадрат всё надобно - возвысь!»

[Припев]
О, мой Квадрат! Спаситель верный!
Срывай же панцирь с этих чисел!
Пусть дрогнет радикал скверный,
В нем скрыт великий, тайный смысл.
Дели числитель — он удвоен!
На знаменатель — он один!
В итоге дроби — корень двое,
И ты над ними властелин!

[Куплет 2]
Но бес сомнения лукавый
Мне шепот в ухо запустил.
Я, жаждая минутной славы,
Переменил, что было сил.
Взял Икс как корень,
И записал в тетрадь свою:
«Тут куб и икс, и плюс, и вечно
Я эту функцию пою…»
Гляжу: вот кубик, вот прямая,
Меж ними пропасть, бездна, тьма!
«Они не ровня!» — восклицая,
Я чуть не выжил из ума.

[Припев]
О, мой Квадрат! Спаситель верный!
Срывай же панцирь с этих чисел!
Пусть дрогнет радикал скверный,
В нем скрыт великий, тайный смысл.
Дели числитель — он удвоен!
На знаменатель — он один!
В итоге дроби — корень двое,
И ты над ними властелин!

[Бридж]
Но слушай правду, друг упрямый,
О том, как графики сошлись.
В той точке, узкой или тесной,
Они в объятиях сплелись.
Ведь корень с тройки, возведенный
В могучий и священный куб,
Стал утроением! Смиренный,
Он стал линейным, душегуб!

[Финал]
Итак, запомни сей урок:
Не верь глазам — верь вычисленью.
В той точке рок нажал курок,
Предав кубичность искупленью.
Ты был лишь в шаге, очень близко!
Но страх тебя остановил.
Теперь же кланяюсь я низко —
Ты корень двойки победил!

Gemini / 01.12.2025

Признайтесь честно: сколько раз вы ловили себя на том, что решаете задачу, как заевшая пластинка? Вам дали инструкцию — вы её выполнили. Вам дали формулу — вы её подставили. Это режим калькулятора, и он не всегда хорош.

Сегодня мы поговорим об Инициативном Подходе. Это когда ты смотришь на задачу и говоришь:

«Подождите-ка, а можно я не буду делать это так, как все?»

Вы отказываетесь быть тупым исполнителем.

Вместо того, чтобы слепо следовать алгоритму (который, скорее всего, придумал кто-то, кто тоже не хотел напрягаться), вы начинаете задавать вопросы:

1. «А можно ли это сделать иначе?»

2. «Где тут симметрия, которую я могу использовать?» (Привет, любители геометрии!)

3. «Могу ли я обобщить это частное решение?» (Переход от «посчитать 1000» к «найти формулу»)

4. Это не про лень. Это про экономию когнитивных ресурсов. Зачем тратить энергию на то, что можно автоматизировать мыслью?

Зачем нам это — кроме как для победы в олимпиадах?

Потому что инициативный подход — это мышление, а не рефлекс.

• Снижение нагрузки: вы не запоминаете миллион частных случаев, а ищете общее правило.

• Устойчивость: при встрече с новой, незнакомой задачей вы не паникуете, а начинаете искать структуру — потому что уже натренированы это делать.

• Критическое мышление: вы начинаете сомневаться в «очевидном» решении. А это основа любого прогресса.

Как прокачать этот навык?

Начните задавать вопросы. После того как вы решили задачу, потратьте 5 минут и спросите себя:

«А как бы это решил Эйнштейн? Или как бы это решил программист, которому лень?»

• Ищите симметрию.

• Ищите крайние случаи (что будет, если `n = 1` или `n = 0`?).

• Сравнивайте свои решения с чужими.

• Инициативный подход — это не врождённый талант. Это привычка, которую нужно нарабатывать. Каждая задача, которую вы решаете, — это шанс не просто получить ответ, а переосмыслить сам процесс.

Хватит быть роботом, который ждёт команды. Станьте тем, кто придумывает команду!

Источником информации об этой теме явилась книга (предисловие) Туманов С.И. Элементарная алгебра https://vk.com/wall-94378522_41571

Читал статью про определения и вспомнил про безразмерность точек и прямых. Поэтому такая анимация.

Как прямая может проходить через точку, если ни у точки, ни у прямой нет размера?

В бытовом смысле понятно как, но в быту нет безразмерных предметов. Поэтому в детском саду, когда объясняют, что такое точка и прямая факт безразмерности интуитивно осознается как материальная точка, то есть на самом деле размеры есть, но для задачи с точками они не важны и тогда определение понятно и даже есть некоторая злость на то, что заостряются на таких понятных вещах. Воспринимается точка по аналогии с точкой, которую можно нарисовать на бумаге. Но осознание приходит позже, что точка и прямая безразмерны. Ну то есть совсем безразмерны, а не просто очень маленькие.

По мотивам прошлого видео о разборе задачи

[Куплет 1]
Привет мой друг, я зрел твои скрижали!
В них мысль кипит, как магма в жерле гор.
Но если б только боги увида́ли,
Какой в черновике царит терро́р!
Ответ вернейший — минус единица,
Ты интуицией пронзил гранита слой!
Но как потом в записках не убиться?
Там хаос пляшет пьяной, злой гурьбой.
Ты в «оперативке» держишь чисел тонны,
Считаешь в голове, не глядя на тетрадь...
Опасно это! Даже Ньютоны
Умели, черт возьми, расписывать и ждать!

[Припев]
Не верь уму — он плут и провокатор!
Бумагу не жалей, пиши, пиши, пиши!
Когда дробит мозги иррационатор,
Спасенье есть для страждущей души.
Замена переменных — вот он выход!
Пусть а и бэ придут, как два крыла!
И формула, что раньше была многоэтажной,
Вдруг станет грациозна и мила!

[Куплет 2]
Взгляни направо: корень, дробь и двойка.
Ты полный там квадрат узрел в момент!
Твоя догадка — бешеная тройка,
Летит сквозь тьму, презрев эксперимент.
Где справа формула — сияет чисто,
Но слева монстр расправил сто голов.
И радикалов заросли тернисты,
А кто не спрятался — тот, в общем-то, готов.
Ты сумму там кубов искал наощупь,
Сквозь лес корней четвёртых степеней...
А нужно проще! Слышишь? Нужно проще!
Зови на помощь буквы поскорей!

[Припев]
Не верь уму — он плут и провокатор!
Бумагу не жалей, пиши, пиши, пиши!
Когда дробит мозги иррационатор,
Спасенье есть для страждущей души.
Замена переменных — вот он выход!
Пусть а и бэ придут, как два крыла!
Введи: а равным корню из пяти, запомнив ныне,
А бэ пусть - корень четвертый из числа!

[Бридж]
И вот, когда введен был этот код,
Рассеялся туман над полем мысли.
Числитель оказался - о, чудо неземное!:
а бэ на кубов сумму —
И знаменатель пал, сраженный наповал,
Сокращено и а плюс бэ, как лишняя преграда.

Ты вычел дроби и торжествовал.

[Финал]
Всё сократилось! Чистое плато.
Осталась пустота и звон в ушах.
Мы делим "то" на точно копию "его",
Но с минусом, застывшим на скрижалях.
Пусть был тернист и страшен этот путь,
Пусть ты страдал, слагая в голове,
Запомни истину, и в этом — результат:
Ответ - минус один. Конец главе!