Серия «Математика»

Пока решал задачи на упрощение выражений из Сканави, то заметил, что там первые примерно 400 штук из них так или иначе задействуют формулы сокращенного умножения (с квадратами и кубами) Но даже после первой сотни решенных все-равно периодически путаешься со знаками. Где плюс, где минус? А если ошибаешься в знаке — всё решение неправильно.

В школе нам вдалбливали: «Выучи! Просто запомни!».
Но зубрёжка — это как строить дом на песке: кажется, что всё держится, пока не подует ветер. Или не придётся решать задачу под давлением времени на экзамене или… через 25 лет после школы.

Запоминание этих формул как аксиомы просто не работает. Они будут вылетать из памяти в самый неподходящий момент из-за слишком малого количества зацепок при визуальном запоминании. Чтобы прочно запомнить надо углубиться в их структуру.

Поэтому одна простая идея, которая избавит от вечной путаницы:

Не заучивай — выводи.

Все эти «формулы сокращённого умножения» — просто результат умножения скобок и всё.

Например, «квадрат суммы» — это (a + b) × (a + b). Перемножаем вручную:

• a × a = a²

• a × b = ab

• b × a = ab

• b × b = b²

Складываем: a² + 2ab + b².
Двойка посередине — два одинаковых ab!

То же с «квадратом разности»: там просто один из b отрицательный, и при перемножении ab и –ab дают минус. Всё логично.

А «разность квадратов» (a – b)(a + b)?
Там ab и –ab взаимно уничтожаются, и остаются только края: a² – b². Как в дзен-буддизме: середина исчезает, истина остаётся.

С кубами чуть сложнее, но и там нет магии:

• Куб суммы — это (a + b) в третьей степени. Можно умножить квадрат суммы на (a + b) ещё раз — и получить a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

• Сумма кубов — это совсем другое: a³ + b³. И чтобы её разложить, нужно умножить «короткую» скобку (a + b) на «длинную» (a² – ab + b²). Почему? Потому что все промежуточные слагаемые съедают друг друга, как в разности квадратов.

Запомнить просто:

• Знак в кубах → такой же в первой скобке.

• Во второй скобке — всегда противоположный.

А ещё интересный факт:
Формулы «суммы квадратов» нет.
Почему?
Потому что нет таких скобок из действительных чисел, которые при умножении дадут a² + b² и при этом уберут середину. (Хотя в комплексных числах — да, но это уже другой раздел задачника.)

Вывод

Математика — это не список заклинаний, которые надо выучить наизусть.
Это логика, которую можно восстановить в любой момент, даже если память не работает.

Нужно всего три вещи:

1. Уметь умножать многочлены (это база).

2. Не бояться раскрыть скобки на черновике.

3. Понимать, почему формула устроена так, а не иначе.

После пары таких «выводов» формулы запоминаются сами — потому что вы их не заучиваете, а переживаете.

Для тех кто знает как решать эту задачу все просто. Взял формулу и подставил значения. Но математика в том откуда формула взялась. Поэтому мы пойдем кругами. Представьте: вам говорят, что два числа в сумме дают 11, а их произведение — 21. И просят найти сумму их кубов. Что вы делаете?

Я сначала попробовал найти эти самые числа. Составил систему, нашел дискриминант... и получилось... выражение с коренем из 37?!

Эти числа — иррациональные монстры, и возводить их в куб — это как пытаться уложить в чемодан всю свою жизнь - очень трудно.

Но есть другая дорога. Отдельный вопрос как на нее выйти, когда не знаешь где она... будем искать лазейку. Вспоминаем старую добрую формулу куба суммы. Там, среди всего этого алгебраического великолепия, спрятана маленькая хитрость: часть выражения можно вынести за скобки, и в ней окажется... сумма чисел и произведение!

Смотрите анимацию и там будет понятнее. Но сначала попробуйте подумать над этой задачей хотя бы 5 минут. Интереснее догадаться самим, чем узнать решение (даже посмотрев анимацию)

Это задача из задачника Сканави. Кому интересно, попробуйте порешать и другие задачи оттуда - их там хватит на всех.

В школьной алгебре встречаются примеры, которые выглядят сложными. И так оно и есть - они сложные, но надо понимать, что сложностью всегда можно управлять и разбить сложное на простые составные части. Сегодня на нашем операционном столе — легендарный задачник Сканави, пример 1.131.

Здесь: дроби, иррациональность в знаменателях, вложенные корни.... Видя такое, легко можно совершить ошибку — пойти в лобовую атаку.

Почему нельзя решать «в лоб»?

Первое желание — просто взять и возвести всё в квадрат, как написано в условии. Но если пойти этим путем, вы мгновенно попадете в «математическое болото». Числа станут гигантскими, корни никуда не денутся, а шанс ошибиться в арифметике приблизится к 100%.

Метод «Разделяй и властвуй»

В видео показано, как превратить этот хаос в элегантное решение, используя простую логику, а не грубую вычислительную силу. Мы не будем сражаться со всем монстром целиком. Мы проведем хирургическую операцию в три этапа:

1. Упрощение «по частям»: Сначала разберемся с каждой дробью отдельно. В математике корень в знаменателе считается дурным тоном. Я покажу классический трюк с «сопряженным выражением», который за пару секунд превращает страшную дробь в обычное, красивое число.

2. Безопасное возведение в квадрат: Когда дроби упрощены, возводить их в степень — одно удовольствие. Вместо трехэтажных конструкций мы получаем чистый и короткий результат.

3. Взлом правой части: Самое интересное — это огромный корень в конце уравнения. Мы не будем его вычислять «в лоб», а применим дедукцию, чтобы понять, какое число там спрятано на самом деле.

Итог

Если вы хотите перестать бояться громоздких формул и научиться видеть структуру за нагромождением цифр — рассмотрите предложенный пример. Попробуйте его порешать и, когда все станет понятно, поупражняйтесь на похожих. Вот ссылка на задачник.

Пугали ли вас примеры из «Сканави» в школе, или вы щелкали их как орешки? Может быть вы сразу увидите более простое решение? - напишите в комментариях.

Здесь таблица умножения поёт, светится, показывает простые множители для каждого произведения и отбрасывается симметричная часть таблицы, чтобы использовать внутреннюю структуру числа и свойства памяти для запоминания.

Зачем это нужно?

Заучивал таблицу умножения, лет в 5 или 6 может, почти механически: «дважды два — четыре», «семью восемь — пятьдесят шесть». Да, конечно, понимал почему так получается на уровне, если взять пять восьмерок и все их сложить, то получится 40. Но часть таблицы "выпала" из памяти и приходится подсчитывать заново некоторые пары. Например: 9х4 - это 9x2=18 | x2 = 36. При этом результат почему-то не запоминается и в другой раз приходится снова повторять эти же действия. А ведь умножение имеет еще дополнительные свойства, которые можно использовать для запоминания.

Это система, основанная на простых числах, и она обладает симметрией, которую не все замечают. Хотя, в этом году, осенью забрел в книжный и впервые увидел школьные тетради, на обложке которых таблица умножения треугольная.

Моя задача — экспериментирование с форматом визуализации, чтобы найти лучший способ знакомства с цифрами, пока на примере таблицы умножения.

Как это сделано?

Каждому простому числу сопоставлен чистый цвет:

• 2 → Красный

• 3 → Золотой

• 5 → Зелёный

• 7 → Электрик-синий

Когда числа умножаются, их цвета смешиваются пропорционально количеству простых множителей. Например:

• 6 = 2 × 3 → смесь красного и золотого → оранжевый оттенок

• 12 = 2² × 3 → удвоенный «вес» двойки → красный сильнее влияет на итоговый цвет

Так в каждой клетке таблицы появляется визуальный портрет его разложения.

Анимация

С помощью библиотеки Manim (той самой, что использовалась на математическом канале 3Blue1Brown), анимировал:

1. Построение сетки.

2. Появление множителей → их распад на простые → смешение цветов → рождение результата.

3. Симметрию: подсвечивается диагональ, и зритель видит, что 3×5 и 5×3 — это одна и та же клетка как в зеркале.

4. Оптимизацию: нижний треугольник исчезает — ведь он дублирует верхний! Это не просто экономия места, а демонстрация закона коммутативности как естественного свойства умножения.

И всё под ритм песни, где каждая строфа объясняет следующий слой идеи: от построения — к факторизации — к симметрии — к упрощению. Стихи, музыка и вокал написаны автоматически в Gemini и producer.ai (Текст песни есть на рутуб под видео)

Это промежуточный результат поиска формы для лучшего запоминания умножения и может быть дальше лучше будет отказаться от таблицы и опираться на свойства чисел и визуализацию умножения как сложения последовательно для разных пар - знакомство с каждым числом наедине, а не всеми сразу в таблице.

Но пока это просто медитация над вопросом:

Как сделать так, чтобы таблица умножения «прилипла» к сознанию навсегда — не через зубрёжку, а через понимание свойств чисел и эйдетику?

Слова песни:

[Куплет 1: Постановка Задачи]
Начнем, друзья, наш репортаж,
Возьмем-ка наш анимационный карандаш.
Докажем древний постулат,
Чему был Пифагор так рад!
Про «а-квадрат» и «бэ-квадрат»,
Что в сумме «цэ-квадрат» дарят!

[Куплет 2: Построение]
Пропал эскиз, и вот, как в зал,
Квадрат большущий выбежал!
Его простая сторона —
Из «а» и «бэ» составлена.
На каждой стороне черта,
Делим на «а» и «бэ» (ага!).
Все метки ставим по местам

[Куплет 3: Детализация]
Соединяем точки смело,
Беремся за простое дело:
Глядим – а в центре, посмотри,
Квадрат со стороною цэ!
И по бокам, как лепестки,
Четыре треугольника легли.
(На них мы глянем чуть поздней).

[Куплет 4: Два Пути Расчета]
Конструкцию подвинем вправо,
А слева текст начнем по праву.
Мы пишем: «Вычислим S (площадь) мы
Двумя путями, как умы!»

[Куплет 5: Путь Первый (Внешний)]
Путь первый: Взять квадрат большой,
Что с «а плюс бэ» стороной.
Возводим в степень, как учили,
И S мы сразу получили:
S равно: «а-квадрат»,
Плюс «два-а-бэ», чему я рад,
И «бэ-квадрат»! (Запомним в уме).

[Куплет 6: Путь Второй (Внутренний)]
Путь второй: Сложить все части,
Чтоб S собрать в одночасье.
Четыре треугольника... (те,
Что спали, словно лепестки!)
Четыре на «пол-а-бэ» —
Да это ж «два-а-бэ»!
И не забыть квадрат внутри,
Что «цэ-квадрат» — вот, посмотри!
И S выходит: «два-а-бэ»
Плюс «цэ-квадрат»! (Вот так!)

[Куплет 7: Финал (Приравнивание)]
Два S мы получили смело,
«Приравняем» их для дела!
Ведь площадь-то одна и та ж,
Кончаем мы наш инструктаж:
«А-квадрат», «два-а-бэ», «бэ-квадрат»...
(Всё, как в Куплете Пять подряд)
...Равняется... (смотри сюда!)
...«Цэ-квадрат» и «два-а-бэ»!

[Куплет 8: Итог (Сокращение)]
«Сократим 2ab!» — и взмах руки!
«Два-а-бэ» черкнем мы тут,
И «два-а-бэ» черкнем мы там.
Они взаимно вычитаются,
И что в итоге остается?

[Припев-Заключение]
«А-Квадрат» плюс «Бэ-Квадрат»
Равняется «Цэ-Квадрат»!
Теорема доказалась,
Прямо в рамке красовалась!

Что и требовалось доказать,
Пора шампанское разливать!

Для тех кто рыщет по задачникам в поисках еще не решенной задачи. Предлагаю немного отдохнуть и послушать песню о старой задаче, которая знакома многим поколениям перерешивателей Сканави.

(Куплет 1)
На старте — дроби и деленье,
(Вид очень сложный, без сомненья!)
Но мы начнём без промедленья!
Шаг Первый — самый главный трюк:
Меняем знак, "перевернём" мы вдруг!
Деленье — в умноженье превращаем,
("Икс-квадрат минус-корень") наверх мы отправляем.

(Куплет 2)
Шаг Два! Взгляни на знаменатель:
("Икс-корень-икс плюс-икс плюс-корень-икс")
Там "Корень-Икс" – общий обитатель.
Мы вынесем его за скобку смело,
Чтоб дальше дело полетело!
Внутри: ("Икс плюс-корень-икс плюс-один"),
Мы первый бастиончик победим!

(Куплет 3)
Шаг Три! Второй наш множитель:
("Икс-квадрат минус-корень-икс") – он ждёт, смотри!
И здесь "Корень-Икс" за скобку просится,
Работа та же – просто выносится!
Внутри: ("Икс-в-три-вторых" минус-один)…
Пока что вид довольно странный,
Но мы к развязке мчимся плавно!

(Бридж)
Смотри: "Корень-Икс" вверху, "Корень-Икс" внизу!
Шаг Четвертый! Сократим их на весу! Ушли!
Но что за ("Икс-в-три-вторых" минус-один)?
Ведь ("Икс-в-три-вторых") – это ("Корень-Икс в кубе")!
А ("Корень-в-кубе" минус "Один-в-C")
– ты должен знать – Пора нам "Разность Кубов" применять!

(Куплет 4)
(Формула: "а-минус-бэ" на "а-квадрат" и так далее...)
Так ("Корень-Икс минус-один") мы в скобку взяли,
И ("Икс плюс-корень-икс плюс-один") мы записали.
Теперь взгляни на выражение снова,
Победа близко, даю слово!
Шаг Пятый! Общий множитель
("Икс плюс-корень-икс плюс-один")
– внизу, вверху. Прощай!

(Финал / Аутро)
Что в сухом остатке? Пара скобок.
("Корень-Икс плюс-один") – он с нами с самого начала,
И ("Корень-Икс минус-один") – от кубов нам прибежало.
Шаг Шесть!
("А-плюс-бэ" на "а-минус-бэ") – знакомый вид!
Нам "Разность Квадратов" говорит:
("Корень-Икс в квадрате") минус ("Один в квадрате")...
Решенье здесь, в финале!
И Получилось: "Икс минус Один"!
Вот так! Пример был сложным, Но стал простым

Gemini 2.5 Pro / 03.11.2025