Горячее
Лучшее
Свежее
Подписки
Сообщества
Блоги
Курсы
Войти
Войти
Забыли пароль?
Создать аккаунт
Создавая аккаунт, я соглашаюсь с правилами Пикабу и даю согласие на обработку персональных данных.
Восстановление пароля
Восстановление пароля
Получить код в Telegram
или продолжите с
Google VK Facebook Twitter
Создать сообщество

Комментарий дня

ТОП 50
Еда с плесенью от lvl kitchen
Плесень - это грибы. Доплатите за грибы!
+1925
 
Аватар пользователя ProfiGRuS ProfiGRuS
20 часов назад

Топ прошлой недели

Топ авторов

  • Deathman Deathman 58 постов
  • arzayakina arzayakina 8 постов
  • Mr.jolly Mr.jolly 18 постов

Топ комментаторов

  • PannonopT PannonopT 348 комментариев
  • WOWCHES WOWCHES 102 комментария
  • Raven34rus Raven34rus 9 комментариев
Посмотреть весь топ

Рекомендуемое сообщество

Корея
123 поста • 1 095 подписчиков

Сообщество для тех, кому интересна культура, история и мифология, жизнь и быт Кореи. Делимся статьями, фотографиями, фактами и личным опытом, связанным с Кореей.

Пикабу в мессенджерах

  • Пикабу в Telegram
    266K подписчиков
    @pikabu
  • Развлекательный канал
    54K подписчиков
    @pikabu_fun
  • Пикабу в Viber
    244K подписчиков
    Вступить

Активные сообщества

все
Аватар сообщества "Будь как дома, Путник"
Будь как дома, Путник
Аватар сообщества "Чёрный юмор"
Чёрный юмор
Аватар сообщества "Видеохостинг на Пикабу"
Видеохостинг на Пикабу 1
Аватар сообщества "Юмор для всех и каждого"
Юмор для всех и каждого 1
Аватар сообщества "Специфический юмор"
Специфический юмор 1
Аватар сообщества "Спроси Пикабу"
Спроси Пикабу
Аватар сообщества "Тёмное Пространство"
Тёмное Пространство 1
Аватар сообщества "Турция"
Турция 1
Аватар сообщества "Интересное в сети"
Интересное в сети
Аватар сообщества "Рожденные в СССР"
Рожденные в СССР
Создать сообщество

Тенденции

теги
Турция 34Землетрясение 32Олдфаги 22Жаба 12Советчики 7
Объединить теги
Новости Пикабу Помощь Кодекс Пикабу Реклама
Верификации Награды Контакты О проекте
Промокоды Скидки
Курсы Блоги
Android iOS

Геометрия

Теги
С этим тегом используют:
Математика Школа Алгебра Задача Юмор Фотография Учеба
Все теги
Рейтинг
Автор
Сообщество
Тип постов
любые текстовые картинка видео [мое] NSFW
Период времени
за все время неделя месяц интервал
506 постов сначала свежее
490
oseledich
oseledich
21 день назад
Специфический юмор

Это аксиома⁠⁠

Феминистки не ходят на урок геометрии, потому что не могут ничего доказать.

Юмор Короткопост Геометрия Текст Феминистки
9
Поддержать
Эмоции
155
LiveEnglish
LiveEnglish
21 день назад
Специфический юмор

Шутка для знатоков⁠⁠

Шутка для знатоков Английский язык, Юмор, Геометрия, Пифагор

Перевод:
«Тьфу! Вон идет этот убл*док Пифагор»

Взято из Telegram-канала "Английский для жизни"

Показать полностью 1
Английский язык Юмор Геометрия Пифагор
24
Поддержать
Эмоции
236
Noobmannatur
Noobmannatur
21 день назад
Котомафия

Мхмхмххм⁠⁠

Мхмхмххм Мемы, Картинка с текстом, Star Wars, Геометрия, Школа, Дарт Мол

Берите пример учители🙃

Показать полностью 1
Мемы Картинка с текстом Star Wars Геометрия Школа Дарт Мол
30
Эмоции
153
inkt
inkt
26 дней назад
Наука | Научпоп

Точно-точно параллельные? (нет)⁠⁠

(Ответ на посты раз и два)

Сразу оговорюсь: @AlexBitner там все совершенно правильно рассказывает про линейную перспективу и про то, что кажущееся расхождение лучей под большими углами - это просто чисто геометрический эффект или оптическая иллюзия. А на самом деле лучи солнечного света практически параллельны.

Проблема только, что попытку сделать маленькое уточнение он воспринимает крайне болезненно и вообще не внемлет аргументам. Разговор примерно такой получается (это придуманная аналогия для очевидности):

AlexBitner в ролике: некоторым, глядя вокруг, кажется, что Земля плоская. А на самом деле она имеет форму шара (приводит совершенно справедливые аргументы и доводы).

Я: все верно, но если еще точнее, то не совсем форму шара - это эллипсоид вращения, чуть сплюснутый с полюсов за счет центробежных сил. А еще точнее этот эллипсоид имеет слегка неправильную и нерегулярную форму из-за неоднородности плотности - см. работу потсдамской группы, например. Это все без учета рельефа местности.

AlexBitner: что за чушь вы несете, глупые плоскоземельщики. Земля не плоская, а имеет форму идеального шара.

Так вот, давайте уже закроем тему с параллельностью.

Сначала определимся с терминами. Слово "параллельный" имеет несколько значений, но мы говорим не о параллельном импорте и не о параллельном подключении электронных компонентов. Мы говорим о геометрии. Строго говоря, термин "параллельный" применяется в планиметрии и относится к прямым, лежащим в одной плоскости. Две прямые параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются (т.е. не имеют общих точек). Иногда еще говорят о параллельных плоскостях (по аналогии: две плоскости одного трехмерного пространства, не имеющие общих точек) или о параллельности прямой и плоскости. Но у нас речь идет именно о параллельности прямых (или, точнее, о частях параллельных прямых - лучах и отрезках).

Вторая оговорка: мы сейчас игнорируем любые волновые проявления свойств света, не говорим о дифракции или интерференции, а также пренебрегаем преломлением света в атмосфере и тем более гравитационным искажением пространства. Мы говорим строго в рамках чисто геометрической оптики, и считаем, что свет распространяется строго по прямой.

Ну и третье уточнение: любая точка поверхности Солнца излучает свет во всех направлениях. Этот момент совершенно правильно раскрыт в исходных роликах.

Так вот: что, собственно, означают слова "параллельный свет" или "поток параллельного света" или "параллельный поток света"? Да очень просто: это такой световой поток, все лучи в котором параллельны. В оптике такой пучок света называют "коллимированным". И если вы зайдете в гугл, он вам немедленно ответит, что свет звезд является коллимированным, кроме Солнца. Давайте разберемся, почему.

Берем Солнце, ставим перед собой непрозрачный экран и делаем в нем крохотную дырочку (булавочный прокол, или пинхол). Теперь мы можем рассмотреть все возможные траектории лучей света от Солнца, которые пройдут через наш булавочный прокол:

Точно-точно параллельные? (нет) Солнце, Оптика, Геометрия, Параллельные, Ответ, Длиннопост

Как вы видите, крайние лучи (показанные красным) этого потока света образуют конус. Лучи в котором, очевидно, НЕ параллельны. Угол при вершине этого конуса составляет примерно 0,5 градуса. Это немного, но достаточно заметно. Если вы поставите экран на расстоянии метра от нашей ширмы, то вместо световой точки на этом экране вы увидите световой кружок диаметром примерно 9 мм. Слышу, как кто-то из читателей кричит: "да у вас же пинхол-камера получилась!". Да, именно она. Она же камера-обскура. А световой кружок - это просто перевернутое изображение Солнца. А вот если вы направите такую камеру-обскуру на далекую звезду, то на вашем изображении получится не кружок, а все равно точка. Именно поэтому свет далеких звезд (собственно, всех звезд кроме Солнца) считается параллельным (коллимированным). Что тут еще важно? Обратите внимание на главный (центральный) луч, показанный синим. Этот луч является осью нашего конуса и направлен строго в центр солнечного диска, т.е. строго в центр Солнца. Эту расходимость солнечного света можно легко наблюдать воочию по краям тени в солнечный день: чем ближе предмет к земле, тем более резкие у тени края. Хотел сделать наглядную демонстрацию, но последние две недели нифига солнца у нас не было и еще неизвестно когда будет :(

Но ведь дырка в облаках, через которую проходит солнечный свет, не булавочный прокол, а вполне себе большая дырка (имеет конечный размер). Это что-то меняет? Да, меняет. Внутри этого пучка света получается больше разных возможных траекторий - но этот световой луч все равно ограничен расходящимся конусом примерно с таким же углом в 0,5 градуса при вершине:

Точно-точно параллельные? (нет) Солнце, Оптика, Геометрия, Параллельные, Ответ, Длиннопост

И у такого конуса по-прежнему главный (синий) луч - это ось конуса, и направлен он строго в центр Солнца.

А теперь про два "луча" солнечного света, пробивающихся через две дырки в облаках. На самом деле это два конуса, как показано на втором рисунке. Как мы разобрали в самом начале, двум конусам сам термин "параллельные" неприменим, потому что это не прямые. Но, может быть, оси этих конусов параллельны? Тут я бы сказал, что практически да. Для любого практического применения, использования и построения, их можно считать параллельными. Но тут почему-то Алекс начал настаивать, что они параллельны строго в математическом смысле, и что они никогда не пересекутся даже в бесконечности. Но подождите: мы же только что увидели, что ось любого такого конуса направлена строго в центр Солнца. Поэтому строго в центре Солнца они и пересекутся. А с точки зрения математики не бывает "почти" параллельных прямых. Или прямые пересекаются, или нет. То есть если включать "режим зануды" (математика вместо физика) - то нет, даже оси их не параллельны. И если между двумя разрывами в облаках, расстояние, скажем, 1 км, то угол между осями этих конусов легко посчитать, зная расстояние до Солнца. Этот угол составляет примерно 0,00000039 градуса. Да, угол очень маленький - но не нулевой. Поэтому правильно сказать "практически параллельны", но неправильно сказать "строго параллельны".

На всякий случай повторю еще раз: этот угол настолько мал, что ни увидеть, ни измерить его практически невозможно. И кажущееся расхождение лучей (может быть градусов 60 на глазок, как на этой фотографии из фотостока Adobe FIL#223526111) - это просто перспективное искажение. Про это Алекс все совершенно правильно в своих роликах рассказал.

Точно-точно параллельные? (нет) Солнце, Оптика, Геометрия, Параллельные, Ответ, Длиннопост

При этом, разумеется, внутри любой пары их этих конусов света обязательно найдутся два строго параллельных луча (если только расстояние между дырками в облаках меньше, чем диаметр Солнца). Тут никакого противоречия нет.

А бывает ли вообще параллельный (коллимированный) поток света, кроме как от далеких звезд? Конечно, бывает. Его очень легко получить в лаборатории: для этого надо взять точечный источник света (как на нашей первой картинке), и поставить за ним линзу (или параболическое зеркало) - так чтобы источник был а ее фокусе (картинка из Британики). Такое устройство называется ВНЕЗАПНО - коллиматор. Да, именно это оптическое устройство и называется коллиматором. А прицел для огнестрельного оружия называется "коллиматорный прицел".

Точно-точно параллельные? (нет) Солнце, Оптика, Геометрия, Параллельные, Ответ, Длиннопост

Тут, конечно, физика опять "подгаживает" математике. Для идеально коллимированного пучка нужен точечный (бесконечно малый) источник света, который должен быть точно в фокусе линзы идеальной формы. И с каждым из трех условий возникают сложности. Бесконечно малого источника не бывает. Он всегда какой-то размер, да имеет. А когда щель становится достаточно маленькой, начинается проявляться всякая дрянь типа дифракции света на щели. Форму линзы сейчас умеют делать очень хорошо - лучше, чем дифракционный предел. То есть форму можно считать идеальной. А вот дисперсию никто не отменял - поэтому точное фокусное расстояние линзы зависит от длины волны света. Если поставить линзу так, что зеленый свет будет точно в фокусе (и идеально коллимироваться), то красный свет будет уже чуть-чуть не в фокусе, и поток красного света после линзы будет слегка расходящимся. Тут можно или свет брать монохроматический, или специальные сложные оптические системы городить для устранения так называемых хроматических аберраций. На этой картинке, кстати, нарисована не простая линза, а классический "ахроматический дублет" - склейка из двух линз с разным коэффициентом преломления. В таком дублете для двух длин волн фокус точно совпадает, а в промежутке между ними - более-менее совпадает.

В реальной жизни обычно приходится искать компромисс между степенью коллимированности пучка света и его яркостью. Типичный пример - оптический спектрометр. Чем более параллельный пучок света попадает на дифракционную решетку внутри спектрометра, тем лучше получается разрешение. Но тем меньше света, тем дольше нужна выдержка и тем хуже соотношение сигнал/шум. Поэтому часто входная щель спектрометра регулируется. Ее можно открыть побольше - и тогда сигнал становится сильнее, легче заметить очень слабые пики, но зато все пики становятся шире, и два близких пика могут слиться в один. А можно входную щель сделать поменьше - и тогда пики становятся более узкими, но в то же время и более слабыми. При том что шум детектора остается таким же.

Показать полностью 4
[моё] Солнце Оптика Геометрия Параллельные Ответ Длиннопост
24
Эмоции
93
pogajah
pogajah
27 дней назад
Лига фотографов

Геометрия улиц⁠⁠

Геометрия улиц Город, Архангельск, Туман, Геометрия, Фотография
Показать полностью 1
[моё] Город Архангельск Туман Геометрия Фотография
14
Эмоции
56
berezaol
berezaol
30 дней назад

Геометрия⁠⁠

Геометрия Мобильная фотография, Геометрия
Показать полностью 1
[моё] Мобильная фотография Геометрия
4
Эмоции
2094
ghazan
ghazan
1 месяц назад

Вот и поговорили⁠⁠

Вот и поговорили Мемы, Геометрия, Сечение, Юмор, Картинка с текстом, Математический юмор
Показать полностью 1
Мемы Геометрия Сечение Юмор Картинка с текстом Математический юмор
46
Эмоции
427
Engineer0044
Engineer0044
1 месяц назад
Исследователи космоса

Как выйти на орбиту при помощи пушки⁠⁠

Всем доброго времени суток. Чуть менее года назад мне попался пост про SpinLaunch, где в комментариях речь зашла о том, можно ли выйти на орбиту при помощи пушки и без включения двигателей. Ну и мне захотелось узнать ответ на этот вопрос. Захотелось, но то времени не было, то просто лень было что-то делать. Но вот руки дошли до поста, поэтому прямо сейчас проверим, можно ли выйти при помощи пушки на орбиту? А также в конце затрону вопрос о том, как лучше всего выходить на орбиту с использованием и пушки, и двигателей

На первый взгляд кажется, что выйти на орбиту, придав спутнику импульс на поверхности планеты, невозможно. Если не учитывать сопротивление воздуха, то точка старта будет принадлежать орбите аппарата, а еще там вертикальная скорость будет положительна, из чего следует, что перицентр окажется ниже поверхности. Но вот если добавить атмосферу, то картина изменится. Спутник всегда будет двигаться только вверх в атмосфере (ему все-таки из нее выбраться надо). Поэтому аэродинамическое сопротивление будет толкать спутник вниз. Если вы знакомы с орбитальной механикой и/или играли в Kerbal Space Program, то, я уверен, знаете, что если включить двигатель по направлению к или от небесного тела, то орбита начнет как бы "поворачиваться" относительно положения аппарата. Более понятно это показано на картинке, где орбита будет отчасти похожа на текущую орбиту нашего спутника в какой-то момент времени при движении в атмосфере:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Можно сразу заметить, что при таком "повороте" орбиты перицентр увеличивается. Значит теоретически может быть такой случай, когда спутник сам выйдет на орбиту. Давайте это проверим и попытаемся найти такой случай

Модель спутника

Так как основы никакой нет, то сами выберем, каким будет спутник. В качестве модели я решил взять конус диаметром 1 м, углом раствора 30 градусов и массой 500 кг. Этакий набор кубсатов под бронированным колпаком :)
В полете важную роль будет играть сопротивление воздуха, поэтому вычислим среднее значение коэффициента сопротивления воздуха. Но не совсем того, что нам дает классическая формула F = p * S * c * v^2 / 2, а немного другого. Запишем формулу ускорения от аэродинамического сопротивления: a = p * S * c * v^2 / 2m, заметим, что все, кроме p и v, - это константы. p, то есть плотность среды, мы заменим на p0 * e^(k * H), то есть аппроксимируем плотность от высоты при помощи экспоненты. Перепишем формулу ускорения: a = (p0 * S * c /2m) * v^2 * e^(k * H). Теперь все константы перепишем в одну a = C * v^2 * e^(k * H). Вот эту C мы и найдем
Сама по себе C - это не константа, так как коэффициент сопротивления воздуха для одной и той же формы разный при разных скоростях. Однако на больших скоростях он колеблется незначительно (что мы дальше и увидим), поэтому его можно принять константой (в целом, для более точного решения нужно C найти через интерполяцию его значений при конкретных скоростях, но для этого нужно взять довольно много точек, что делать не особо хочется, да и на точность это сильно не повлияет, зато прибавит лишней работы)
Ну коль надо измерять сопротивление воздуха, то нам понадобится САПР, в моем случае это SolidWorks. Запускаем, создаем модель, заходим во FlowSimulation и создаем проект:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост
Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост
Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост
Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост
Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Скорость -30000 м/с - один из расчетных случаев

Теперь поставим в проекте цель находить силу по оси Oy и по несколько раз запустим расчет, каждый раз меняя значение скорости потока воздуха. Я буду измерять с 8000 м/с до 30000 м/с с шагом в 1000 м/с. Для каждой скорости записываем действующую силу. Дальше, возвращаясь к формуле ускорения, мы избавимся от e^(k * H). Так как в SolidWorks-е воздух имеет такую же плотность, что и воздух у поверхности Земли при н.у., то переменная H становится равна нулю, а экспонента - единице. Ну а чтобы вычислить тот самый коэффициент, мы будем силу делить на массу и на квадрат скорости (сила на массу даст ускорение, а если ускорение поделить на квадрат скорости, то получим только коэффициент, ну и еще экспоненту, но мы от нее избавились). Короче говоря, пишем таблицу в экселе:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

1-ый столбец - скорость, 2-ой - искомый коэффициент, 3-ий - сила, действующая на модель при данной скорости
Осталось найти среднее значение. Но как это сделать? Будем действовать так же, как при нахождении средней скорости: проинтегрируем функцию C(v), полученную интерполяцией табличных значений, а затем разделим на разность пределов интегрирования. В качестве пределов интегрирования будут использованы минимальная и максимальная скорость, что логично. Запускаем Wolfram Mathematica, пишем и выполняем следующий код:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Можно заметить, что сам коэффициент колеблется незначительно, что нам на руку

В целом, это все, что нужно знать про модель. В решении мы пренебрежем уменьшением массы от испарения аблятора, напряжения и деформацию рассматривать не будем (так как первое нам не нужно, а второе будет очень маленьким). Также примем, что наш конус при движении острием вперед устойчив, то есть его ось всегда совпадает с вектором скорости воздуха. На деле так случается не всегда, все зависит от центра масс, но будем считать, что спутник мы сделали устойчивым

Плотность атмосферы

У нас остался неизвестный коэффициент при экспоненте, его тоже надо найти (конечно, можно и плотность интерполировать, но для этого нужно много точек при больших высотах, что, опять же, делать не очень приятно, к тому же приближение через экспоненту работает довольно точно). Находим ГОСТ 4401-81 Атмосфера стандартная и из него берем плотности воздуха при разных высотах, далее записываем их в эксель и строим график. Создаем линию тренда, делаем ее экспоненциальной и выводим уравнение на график

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Тут же сразу замечаем, что у полученной функции в нуле плотность не равна плотности воздуха при нулевой высоте. Поэтому полученный прежде коэффициент для сопротивления воздуха нужно переделать. В нем есть начальная плотность, которая как раз равна 1,225 кг/м^3. А при приближении экспонентой она должна быть равна 1,3611 кг/м^3. Поэтому сам коэффициент разделим на 1,225 и домножим на 1,3611. На картинке он есть, вон в низу красуется)

Составление модели полета

Вводные данные есть - значит можем приступать к самой модели полета. Сразу определимся, что в ней будем учитывать, а что не будем. Во-первых, в учет пойдут только сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Остальные силы очень малы, поэтому ими можно пренебречь. Помимо этого не будем учитывать моменты. Мы заранее приняли, что аппарат будет устойчив, поэтому можно не записывать уравнения моментов и не вводить зависимость сопротивления воздуха от ориентации: спутник всегда направлен по движению (a.k.a. по програду). Также по мелочи, не будем учитывать изменение радиуса Земли (и эллиптичность самой Земли в сечении) при разной широте старта
Систему координат возьмем декартову, трехмерную. Нуль координат будет совпадать с центром Земли
Приступим к формулам. Нам надо выразить ускорения по 3 осям
Начнем с силы тяжести. При помощи чертежа находим, как будет зависеть проекция силы на ось от координат тела:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Выражение записано только для оси Ox, однако оно аналогично для и для Oy и Oz
Теперь выражаем F, вернее a, и записываем проекции ускорения от силы тяжести на каждую из осей

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Теперь строим чертеж для силы сопротивления воздуха:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

И также выражаем ускорение от АС, а затем и ускорение в проекциях

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Однако здесь можно сразу заметить один нюанс: мы не все выразили через x, y и z и их производные. Дело в том, что Земля крутится, а вместе с ней и атмосфера. При помощи чертежа определим, как зависит скорость воздуха от координат и перезапишем v-шки через них:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост
Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Перезапишем формулы для сопротивления воздуха:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

И составим сами уравнения модели:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Казалось бы все, модель готова. Но тут есть нюанс. Работать с трехмерной моделью полета не очень удобно, к тому же это более ресурсозатратно (а еще у меня Wolfram может сильно косячить с графиками в 3D). Поэтому сократим количество измерений до 2
Для этого примем, что орбита находится в одной плоскости (на деле она чуть-чуть смещается, как раз из-за вращения атмосферы, но это смещение довольно мало). Плоскость орбиты должна проходить через место старта и нуль системы координат. Из этого следует, что ее наклон к плоскости Oxy равен широте места старта. Теперь для удобства примем, что ось Ox принадлежит этой плоскости (это соответствует случаю, когда x-координата места старта равна нулю). Теперь на этой плоскости проведем систему координат Ox0y0, причем x0 совпадает с x (поэтому вместо x0 будем писать просто x). Построим чертеж и выразим y и z через y0, а также запишем их производные первого и второго порядка:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост
Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Перепишем систему в двух измерениях. y0 выразим из y (выражение через z и y дают разные формулы, которые численно не сильно отличаются. Это как раз из-за того, что на деле орбита не находится в одной плоскости):

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Вот теперь модель готова

Поиск решений для задачи

Теперь надо найти такие комбинации начальных скоростей по обеим осям, чтобы аппарат вышел на орбиту (или убедиться, что их нет). Так как данная модель не имеет аналитического решения, то придется просто перебирать решения (сразу добавлю, что для всех параметров сразу все же можно найти решение, для этого нужно решить систему R(t0) = (6371000 + 180000) м) и R'(t0) = 0 (здесь вводится полярная система координат), однако я не нашел способа сделать это в Wolfram-е, а также для такого решения банально не хватает мощностей моего компьютера). Это не даст стопроцентный ответ на поставленный в начале вопрос, но по самим траекториям можно будет предположить, каков ответ
Как будем перебирать? Я решил выбрать более менее подходящий вариант между точностью и затратами на расчет, поэтому выбрал ограничения для начальных горизонтальной и вертикальной скоростей в 3000 м/с и 8000 м/с соответственно снизу и 30000 м/с сверху (да, стоило в начале посчитать коэффициент вплоть до 30000*Sqrt(2) м/с, но коэффициент ведь считаем постоянным, а поэтому можно использовать и тот, что есть). Шаг для обеих скоростей выберу в 500 м/с. В итоге получим 2475 траекторий, которые надо отсмотреть и проанализировать
Также в решении надо будет ввести ограничение по времени внутри системы (то есть от какого до какого момента моделировать полет). Для этого нижнее (оно же начальное) значение времени будет равно 0, а верхнее я решил принять равным орбитальному периоду для спутника на эллиптической орбите с апогеем ровно на границе сферы тяготения и перигеем в 180 км (число взято не совсем из головы, изначально я предполагал вводить уплощенную модель, которая имеет аналитическое решение, чтобы определить, среди каких скоростей искать решение, и вот там как раз спутник должен был выйти на орбиту с перигеем в 180 км. Но решение этой модели давало вообще неправильные цифры (для примера - чтоб хотя бы просто не упасть на Землю, нужна была горизонтальная скорость в ~150 км/с, что в полной модели давало достижение второй космической), поэтому я от него отказался)
Итак, пишем код, запускаем его и идем пить чай, че еще делать то)

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Через несколько минут приходим назад и мотаем вниз в поиске кучи надписей Null в фигурных скобочках. Если они есть и новых графиков не появляется, значит расчет окончен. Можем приступать к анализу
Но перед этим сразу определим, какие графики мы можем теоретически получить. Их 4 типа:

  1. Прямая с малой кривизной. На координатных осях значения до примерно 1*10^11. Это случай, когда аппарат набрал вторую космическую скорость и покинул сферу тяготения Земли

  2. Прямая с малой кривизной. На координатных осях очень большие значения, больше чем в первом типе. Это случай когда спутник упал на Землю. Из-за экспоненциальности плотности воздуха и учета вращения атмосферы спутник, оказавшись под поверхностью планеты, начинает испытывать очень сильное действие силы сопротивления воздуха, которое не останавливает его, а заставляет двигаться. В купе с этим из-за перехода к 2 измерениям спутник не движется по "орбите" под землей, а очень сильно ускоряется крутящейся атмосферой, из-за чего набирает гигантскую скорость и улетает от Земли на миллионы световых лет

  3. Разомкнутый эллипс. Это тот случай, когда апогей оказался не сильно выше границы сферы тяготения. Так как есть ограничение по времени, заданное максимально высокой орбитой, то при апогее ниже границы, эллипс должен быть замкнутым (или почти замкнутым, но там расстояние между началом и концом кривых должно быть маленьким)

  4. Замкнутый эллипс. Это как раз стабильная орбита. Эллипс может быть чуть-чуть разомкнутым, об этом написал выше

И теперь скроллим все две с половиной тысяч графиков и смотрим на них. Пока прикреплю пару примеров:

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Первый тип траектории

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Второй тип траектории. Видны очень большие значения координат на осях

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Эллипс, который "не шмог" ) Неизвестно, какой у него перигей, но вот апогей оказался выше границы сферы тяготения, поэтому на такую траекторию в реальности все же не выйти. Ах да, это третий тип

Как выйти на орбиту при помощи пушки Космос, Физика, Математика, Техника, Астрофизика, Математическое моделирование, Геометрия, Тригонометрия, Математический анализ, Дифференциальные уравнения, Численное моделирование, Механика, Баллистика, Кинематика, Динамика, САПР, Solidworks, Wolfram, Длиннопост

Еще один довольно причудливый график. Здесь спутник вышел из атмосферы, сделал виток и упал на Землю (об этом говорит последний кусок траектории), после чего полетел далеко-далеко от Земли. Ну и это второй тип траектории

Как вы могли заметить, я не привел пример 4 типа графиков. А все потому что таковых не было. Хоть выборка и довольно грубая (шаг аж в 500 м/с), она дает понять, что скорее всего выйти на орбиту без включения двигателей не получится (на самом деле то довольно много есть итераций, в которых спутник покинул атмосферу, но потом упал на Землю). Что ж, удручающе, хотелось найти какое-нибудь решение. Хоть и такой результат неудивителен

Как все же можно выйти на орбиту?

Но представим, что нам ну очень хочется на орбиту. Мы уже и пушку купили, и спутник. Логичным становится то, что к спутнику нужно приделать ступень. Представили, что приделали, теперь надо узнать, как из пушки нужно выстрелить и сколько надо дельты
Пусть мы хотим выйти на круговую орбиту радиусом R + R0. Если в описанной прежде системе закрепить угол наклона к горизонту и менять только скорость, то можно заметить, что при росте скорости растет апогей (ну то есть высота апогея от скорости - функция монотонная). А значит, для данного угла существует только одно значение скорости, которому соответствует требуемое значение апогея. Тогда общее множество решений для случая, когда апогей равен R, является некоторой кривой (при решении R(t) = R + R0 это будет поверхность t(v0, a), и это будут все траектории, проходящие через R + R0. Так как при увеличении скорости растет апогей, то нам для каждого угла a нужна одна скорость, которая будет минимальна для этого угла a в t(v0, a). А это как раз и получается кривая)
Теперь из этого множества решений нужно взять одно подходящее. И оно соответствует той комбинации угла наклона и начальной скорости, при которой последняя будет минимальна. Это следует из того, что с ростом скорости максимальное значение силы сопротивления воздуха растет квадратично, а скорость в апогее - приблизительно линейно. В данном случае увеличение скорости незначительно понизит нужную дельту (линейно уменьшится), зато сильно повысит массу конструкции спутника и ступени (будет также увеличиваться квадратично). Учитывая сильный рост массы конструкции, чтоб дельты было достаточно, нужно будет также увеличить начальную массу по сравнению со случаем для минимальной скорости (это следует из того, что нужная дельта убывает медленнее, чем растет масса конструкции). В итоге получим большие затраты по топливу, материалам для ступени, большие ограничения на спутник из-за перегрузок и большие энергозатраты на запуск из пушки. А это нам не особо надо. Конечно, могут быть случаи, когда подходящая начальная скорость не равна минимальной. Но тут уже нужно конкретно рассматривать конкретную ступень и спутник.
Если сократить, то получим, что для выхода на орбиту нужно решить один из вариантов модели полета из поста (в идеале - трехмерную, используя плотность и коэффициент сопротивления воздуха как функции, полученные интерполяцией, а также учитывая все все все силы, испарение аблятора, моменты и т.д.) в параметрическом виде, причем в полярных координатах (перейти к ним не сложно: выражаем декартовы координаты через произведения радиуса и синусов/косинусов угла/углов -, так что это не проблема), далее найти функцию t(v0, a), удовлетворяющую условию R(v0, a)(t) = R + R0, затем найти кривую, в которой каждому a соответствует минимальная v0 и среди v0, принадлежащих этой кривой, найти либо минимальную v0 (то есть минимальную v0 для t(v0, a)), либо найти такую v0, которая даст минимум массы спутника со ступенью (в большинстве случаев она совпадает с минимальной). Затем по v0 найти a, решить модель с заданными параметрами и уже по ней определить все остальные требования к спутнику (дельта, прочностные характеристики и т.п.). Замечу, что процесс итерационный, так как коэффициент сопротивления воздуха берется из модели аппарата, а модель из характеристик, которые берутся из решения модели полета, для которой нужен коэффициент сопротивления воздуха...

Ну а на этом пост заканчивается, ведь ответы на все вопросы из его начала получены. Надеюсь, читать было интересно, а содержание было понятным. Если есть какие-либо вопросы или что-то оказалось непонятным - пишите в комментариях, постараюсь более подробно разобрать. Буду рад критике, советам и дополнениям к содержанию поста.

Всем добра и с прошедшим Новым годом)

Показать полностью 25
[моё] Космос Физика Математика Техника Астрофизика Математическое моделирование Геометрия Тригонометрия Математический анализ Дифференциальные уравнения Численное моделирование Механика Баллистика Кинематика Динамика САПР Solidworks Wolfram Длиннопост
197
Поддержать
Эмоции
Посты не найдены
12345664Далее
О Пикабу
О проекте
Контакты
Реклама
Сообщить об ошибке
Отзывы и предложения
Новости Пикабу
RSS
Информация
Помощь
Кодекс Пикабу
Награды
Верификации
Бан-лист
Конфиденциальность
Правила соцсети
Mobile
Android
iOS
Партнёры
Fornex.com
Промокоды