Фракталы — пример визуальной красоты математики

Чему нас учат в школе

Глубоко вдохните и вспомните, как проходили уроки математики. Нам показывали какое-нибудь новое понятие, называли его страшным словом и давали кучу задач «на закрепление». Есть такая штука, как квадратные уравнения, а теперь решайте их до конца года. Ещё бывают производные, их ищут вот так, решаем задачи. А вы слышали про логарифмы?

Но для чего это всё нужно?! Кто вообще придумал эти термины и зачем? В 2000 году (более новые данные найти не удалось) математику усваивало 20% школьников. Геометрию — всего 1%!

На самом деле, так преподавать — это всё равно, что заставлять музыканта заучивать ноты, ни разу не дав ему услышать музыку. В школе нас учат языку математики. Функции, переменные и логарифмы — это те буквы и слова, на которых общаются между собой математики. Но о чём они говорят? Есть ли смысл заставлять ребёнка учить алфавит, но никогда с ним не разговаривать?

Что такое математика

Математика — это полёт мысли, попытка придумать что-нибудь красивое или исследовать что-то уже знакомое. Здесь нет единственного верного решения! В настоящей математике иногда непонятно, есть ли решение вообще. Сможет ли его найти тот, кого учили запоминать, как решать уравнения одинаковым образом? На это способен только человек, мыслящий творчески

Вот пример уже упомянутого выше Пола Локхарда. Представьте треугольник, вписанный в прямоугольник. Какую часть прямоугольника он занимает? Похоже, где-то 2/3. А сколько именно? Постарайтесь догадаться сами, ответ будет в конце статьи

Разве это не круто, что для любого треугольника сумма всех углов равна 180 градусам? Точно также как для развёрнутого угла! Суть настоящей математики — доказать, что это так для любого треугольника, какой только можно придумать! И делается это крайне изящным образом: достаточно провести всего одну параллельную линию

Одинаковые цвета — одинаковые углы. Видно, что какие угодно углы в треугольнике в сумме дадут развёрнутый!

Именно страшные доказательства, которых мы боялись на уроках геометрии, и составляют суть этой дисциплины. Каждое утверждение строго доказывается. В одной из статей мы говорили, что в науке не может быть окончательной теории: то, что считалось верным десятки и сотни лет может оказаться неправильным. В математике это не так! Доказательство в математике окончательно и однозначно — опровергнуть его не получится. Первым докажите теорему и она будет носить ваше имя навеки

Но самое чудесное в математике — это отсутствие границ. Она не привязана к реальному миру, как, например, физика. Математики задают ряд правил (как аксиомы в геометрии), а далее вольны исследовать их, как угодно! Представьте, у вас есть лист бумаги, карандаш, линейка и циркуль. С их помощью можно обнаружить теорему Пифагора, все школьные теоремы и даже открыть что-то новое! Разве это не творчество?

С этим набором художник может сделать рисунок, а математик — доказать теорему

Будучи максимально абстрактной, математика тем не менее встречается повсеместно и в реальном мире! Открытие её законов и применение их в физике позволило человеку предсказать движение планет и полететь в космос. Обнаружение её законов эволюционно позволило папоротнику поглощать больше солнечного света, занимая меньше места, а пчёлам — наиболее эффективно строить соты. Листья этого растения расположены, согласно золотому сечению

Ставить вопросы и искать на них ответы, исследовать неизведанное и строго доказывать утверждения так, чтобы они были верны навечно. Вот что такое математика! И для того, чтобы к ней прикоснуться, достаточно задуматься, какую часть прямоугольника занимает вписанный треугольник. Вот ответ на задачу в начале статьи:

Достаточно только опустить перпендикуляр, чтобы понять — ровно половину! За этим скрывается формула, которую мы зубрили в школе: S = ½ah. Но увидеть такое самому — это то же, что сделать первый в жизни рисунок. А сможете ли вы теперь найти такой вписанный треугольник, для которого бы это свойство не выполнялось?

Если интересны посты про учёбу и науку, заглядывайте ко мне в группу ВК и телеграм-канал

Футбольные мячи сплавлением частей изготовить не получится. Они переносят очень сильные удары и должны быть обшиты прочным материалом. Раньше использовалась кожа, сейчас — синтетика. Части для обшивки всегда вырезают из плоских листов. Какой же формы их вырезать так, чтобы было возможно обшить ими сферу?

Древнегреческий философ Платон предложил пять «идеальных форм», состоящих из одинаковых геометрических фигур

1. Меньше всего компонентов — 4, требуется для пирамиды с треугольным основанием — тетраэдра. Но такой футбольный мяч будет не очень хорошим: у него слишком мало граней. Подойдёт разве что для игры в футболь

2. Из 6 квадратов можно составить куб. Кажется, что это тоже не очень хороший вариант, но он послужил основой первым футбольным мячам. Мяч для самого первого чемпионата мира 1930 года состоял из 12 прямоугольных полосок кожи, сгруппированных в шесть пар и расположенных таким же образом, как при сборке куба. Второй мяч чемпионата состоит из 6 кусков, вырезанных в форме буквы «H» и также основан на кубе

3. Восемь равносторонних треугольников могут быть составлены симметрично, образуя октаэдр. Это два тетраэдра, соединённые основаниями. При правильном соединении невозможно сказать, где был стык

4. Додекаэдр состоит из 12 пятиугольных граней. Видно, что чем больше граней, тем более круглым становится мяч

5. Лучшим приближением к сфере является последнее Платоново тело — икосаэдр, состоящий из 20 правильных треугольников. Более сферической формы из одной геометрической фигуры не составить

Другой древнегреческий учёный, Архимед решил улучшить Платоновы тела. Он не ограничивал себя одной плоской геометрической фигурой, а пытался достичь как можно более сферической формы, используя несколько

Его первой идеей было «срезать» углы у фигур Платона. Так, если отсечь углы у тетраэдра, треугольные грани превратятся в шестиугольные, а на месте разрезов появятся новые треугольники. Такая фигура называется усечённым тетраэдром и который выглядит уже более круглым, чем пирамида

Также Архимед поступил и с другими Платоновыми телами, получив из них 7 новых фигур. Кроме того, геометр дополнил их 6 фигурами собственного изобретения. Все вместе они стали называться Архимедовыми телами

Именно одно из 13 Архимедовых тел послужило основой новому футбольному мячу Teamgeist, представленному на чемпионате мира 2006 года в Германии. Этот мяч, слывущий самым круглым, состоит из 14 фигурных кусков, но структурно он соответствует усеченному октаэдру. Возьмите октаэдр, состоящий из восьми равносторонних треугольников, и обрежьте шесть его вершин. Восемь треугольников становятся шестиугольниками, а на месте шести вершин появляются квадраты

Возможно, будущие чемпионаты мира отличатся более экзотическими Архимедовыми футбольными мячами. Например, плосконосым додекаэдром, состоящим из 92 симметричных компонентов: 12 правильных пятиугольников и 80 равносторонних треугольников

Так даже за развлечениями скрывается интереснейшая наука!

Больше постов о науке, учёбе и IT можно найти в моей группе. Материал поста основан на книге Маркуса дю Сотоя "Тайны чисел"

Если срезать вершины икосаэдра, отступив от вершин так, чтобы оставшиеся части граней были правильными шестиугольниками, то срезы будут правильными пятиугольниками. Это усеченный икосаэдр — один из полуправильных многогранников: все грани — правильные многоугольники нескольких разных типов, все вершины устроены «одинаково», т.е. многогранные углы при вершинах равны.

Итак, классический футбольный мяч — усеченный икосаэдр.

Современность.

Как известно, сферу нельзя согнуть из плоской развертки. Это запрещает сделать математика — теорема о том, что важная характеристика поверхности, называемая гауссовой кривизной, не меняется при изгибании без растяжений.

Гауссова кривизна отражает внутреннюю геометрию поверхности и не меняется при ее изгибании. Например, у плоскости гауссова кривизна равна нулю. У цилиндра и конуса, которые можно свернуть из плоского листа бумаги, — тоже ноль.

А вот у сферы гауссова кривизна положительна. Значит, сделать сферу из плоских панелей (развертки) — невозможно. И наоборот, развернуть сферу на плоскость без искажений тоже нельзя, и все плоские карты Земли — неточны.

Поэтому какую модель мяча ни взять, ее необходимо «раздувать». А можно ли придумать модель мяча, состоящую из плоских панелей, но изначально более близкую к сфере, чем классическая? (Понятно, что можно взять многогранник с большим числом граней и вершин, но тогда усложнится процесс изготовления.)

После 2002 года начались эксперименты, и в 2014 году на чемпионате мира в Бразилии состоялась премьера нового официального мяча, получившего название Brazuca.

Модель этого мяча действительно более «сфероподобна», чем классическая. Но при этом Brazuca — это куб!

Как и куб, она собирается из шести одинаковых плоских панелей, имеющих по четыре угла. У нее восемь вершин, в каждой из которых сходится по три панели.

Придуманные фирмой Adidas панели действительно можно склеить в выпуклую поверхность. Успех гарантирует выполнение условий теоремы российского академика (и автора школьного учебника по геометрии) Александра Даниловича Александрова: сумма углов панелей в вершинах не превосходит 360 градусов, длины «сторон» панелей между углами совпадают, а сумма кривизн границ в точках склейки неотрицательна.

В модели классического мяча вся кривизна сосредоточена в конечном числе «выступающих» вершин. Все четыре угла панели Brazuca равны 120 градусам. Соответственно, когда в вершинах модели встречаются три угла, сумма углов вокруг вершины равна 360 градусам: поверхность мяча вокруг вершины будет «плоской».

Но куда же делась кривизна? Ведь сфера является поверхностью постоянно положительной кривизны и кривизна должна быть! В модели бразуки кривизна «размазана» по длинным ребрам — из-за этого модель становится существенно более близкой к сфере, чем модель классического мяча.

Официальный мяч нашего чемпионата 2018 года — тоже куб. В описанном смысле. Только, в отличие от предыдущей модели, панели имеют не кривые границы, а являются одинаковыми плоскими многоугольниками.

(Сначала я хотел убрать синюю точку, но потом решил что без неё не только лишь все смогут понять в каком именно месте соединяются отрезки.)

Итак, у нас есть два отрезка и угол в  1° между ними. Логично, что если мы достроим ко второму отрезку третий, тоже под углом в один градус, то угол между первым и третьим будет равен уже двум градусам. Таким образом, достроив один за другим 360 отрезков равной длины, мы получим замкнутую геометрическую фигуру -- трёхсотшестидесятиугольник.

Вот его-то (трёхсотшестидесятиугольник) я и использую в качестве экватора своей макетной планеты. Для простоты, планета будет не сферической, а цилиндрической (эффект искривления поверхности тот же, а моделировать проще), так что поверхность планеты будет состоять из 360 абсолютно плоских металлических плит, с углом в один градус в местах их стыковки.

Но какого размера должны быть эти плиты? Погуглим.

В нашем случае, общая длина экватора будет равномерно распределена между длинами всех плит, коих, напоминаю, у нас 360. То есть длина отдельной плиты составит 40075/360, или, примерно 111км.

Сто одинадцать километров -- это много?

Я хожу с максимальной скоростью в шесть километров в час. Да, я замерял по карте.

Предположим, что некий Анонимус ходит с вдвое меньшей скоростью -- 3 км/ч. Чтобы пройти 111 километров, ему понадобится всего-то 37 часов безостановочной ходьбы.

Теперь отправим нашего Анонимуса в пешую экскурсию по экватору нашей макетной планеты, с целью обнаружения искривления её поверхности.

Первые сутки пути Анонимус будет удивляться тому, что поверхность нашей планеты идеально ровная, плоская как заркало. Ему даже начнёт казаться что мы его обманули и отправили на плоскую планету. Но затем, на вторые сутки, спустя больше 30 часов после начала путешествия,

он вдруг обнаружит, что поверхность планеты действительно имеет  изгиб.

Вот такой: