Геометрия

В школе моим любимым предметом была геометрия - самая древняя наука на земле. Она зародилась в Древнем Египте, где многие люди занимались земледелием на очень плодородных берегах разливающейся реки Нил, и каждый раз после каждого разлива нужно было делить и размечать землю на участки. Там и появились первые открытия, такие, например, как прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5. В Древней Греции многие философы увлекались геометрией (среди них даже есть такие знаменитости, как Пифагор и Фалес). Основная часть теорем, на которых строится вся геометрия, были открыты египтянами и древнегреческими философами. У них был знаменитый сад "Ликей" - в честь которого позже стали называть учебные заведения (я сам учился в лицее). В этом саду они чертили на песке - очень удобно, всегда можно стереть и чертить заного. Самая удивительная из всех простых фигур - это окружность - для ее черчения нужен циркуль - карандаш, соединенный с опорой. Что меня больше всего поражало в окружности - это то, что если после ее черчения начинать делить ее радиусом циркуля, то этот радиус разделит окружность ровно на 6 частей. Я даже не знаю, можно ли это как-то доказать (а для аксиомы это не совсем очевидный феномен). Еще одна не совсем очевидная вещь - если провести диаметр окружности, и соединить его края с любой точкой на окружности - получится прямоугольный треугольник. Однажды учительница спросила у нас на уроке: "Как с помощью циркуля и линейки определить, является ли треугольник прямоугольным?" Тогда я с великим удовольствием рассказал, что нужно найти середину гипотенузы, провести окружность с центром в этой середине и радиусом в половину гипотенузы, и если все вершины треугольника будут лежать на получившейся окружности - значит он прямоугольный. Учительница тогда очень удивилась, так как готовилась показать нам другой способ (я уже не помню, какой именно). Позже, в старших классах, я стал читать научно-популярную литературу, среди которой был автор Мартин Гарднер - математик-популяризатор, он писал очень интересные книги, в которых рассматривал множество очень занимательных задач, и также писал даже рассказы, совмещающие в себе математику и фантастику. В одной из его книг я прочитал теорему, которая стала моей любимой, и больше всего меня поражала даже не сама теорема, а доказательство, которое было описано в книге. Это "Теорема о трех окружностях" - суть ее в том, что если начертить любые три окружности, и провести к каждой паре окружностей две общие касательные и найти точку их пересечения, то полученые три точки (всего три пары окружностей) будут располагаться на одной прямой. Не совсем очевидная вещь, но с тем доказательством, что было предложено в книге, она становится более-менее очевидна и ясна. Представим, что это не окружности на плоскости, а сферы в пространстве. Тогда каждая пара касательных для каждой пары окружностей - это конуса, в которые эти пары сфер "затолкали". Теперь представим, что мы опускаем воображаемую плоскость на эти конуса и сферы. Эта плоскость ляжет как на каждую сферу, так и на каждый конус. Точки пересечения касательных - это вершины конусов, а так как плоскость легла на каждый конус, то все вершины конусов оказываются на этой плоскости. То есть все три вершины конусов лежат одновременно на двух плоскостях - на той плоскости, на которой мы начертили окружности, и на той плоскости, которую мы опустили на сферы и конуса. Пересечение двух плоскостей - это прямая, значит все три вершины конусов лежат на одной прямой.