Несложная двухходовая миниатюра советского шахматного композитора Алексея Матвеевича Петрусенко (род. 1945), получившая в 1975 году третий приз турнира памяти другого советского композитора Миклоша Локкера (1935 - 1974).

Всегда ли прибавление знаменателя к числителю и к знаменателю заменяет дробь средним арифметическим между ней самой и единицей?

В третьем номере журнала «Квант» за 1983 год, в рубрике «Квант для младших школьников», была предложена такая задача:

Лёня и Коля пошли в гости к Боре, но забыли номер его квартиры. Коля помнил, что если прибавить к этому номеру 10, то получится точный куб, а Лёня помнил, что если вычесть из номера квартиры число 10, то получится точный квадрат. В какой квартире живёт Боря?

Если предположить, что в доме не больше 1000 квартир, то можно просто перебрать кубы первых 10 натуральных чисел. Тогда быстро находится ответ: Боря живет в квартире 206.

Но возникает вопрос: как строго доказать единственность этого решения?

Пожалуйста, помогите разобраться!

Целое положительное число делится на 36, а сумма его цифр делится на 37. Найдите наименьшее такое число!

Не очень сложная четырёхходовая (несмотря на большое преимущество быстрее не получится) композиция немецкого шахматного композитора Хайнца Курта (Heinz Curth, 1928 - 2017) из газеты "Deutsche Schachzeitung" за 1974 год.

Настя взяла число 271 и приписала к нему слева и справа по M цифр так, чтобы полученное число делилось на 271.

Найдите наименьшее возможное значение M.

M — натуральное число.

Уточнение: слева первая приписанная цифра не может быть нулём, а справа нули разрешены. Например, справа можно приписать 084 — это считается тремя цифрами.