Это выражение выглядит как заклинание из книги мёртвых. Но оно решается без магии — только логикой, если следовать практикам мышления, на которых не часто заостряются при изучении. В школе подразумевается умение логично думать и разбивать задачу на части. Нередко предлагается догадаться как это делать из примеров. И действительно, если решать много задач, то вырабатывается навык декомпозиции сложных задач на части и появляется способность их решать. При этом не каждый может объяснить как он это делает - просто "очевидно" и все. На развитие такого навыка даже не называя его способны не все. Поэтому иногда смотришь на формулу и думаешь: «Нет, это не для меня. Это для стобальников ЕГЭ с IQ 200. Но если долго и пристально вглядываться в задачу, то однажды понимаешь, что задача тоже вглядывается в тебя и решение возникает иногда как озарение, а иногда как исправление ошибок наделанных в прошлых попытках.

Берешь выражение пострашнее и крутишь его так и сяк. Разбираешь по винтикам и находишь зацепки и связи одних частей с другими как в детективе.

Оказывается — всё не так страшно. На самом деле, за этой «магией символов» скрывается простая арифметика, пара знакомых формул и умение не сдаваться если сразу не получается.

Здесь я изначально не хотел делать «хитрую замену переменных» (типа: «Пусть это будет u...»), потому что это похоже на фокус: сначала ничего не понятно, а потом — бац! — ответ. Но в итоге замена получилась сама собой просто из формы исходного выражения z, которое состоит из 2х слагаемых и того, что его надо как-то возвести в куб.

👉 Мораль: самая страшная формула — это тигр, состоящий из набора элементов, которые боятся света. Включаем логику — и они превращаются в котят.

P.S. Попробуйте порешать эту задачу хотя бы сутки-двое (можно с перерывами) не досматривая решение до конца. Изложение идей решения портит изначальную задумку задачи - найти путь в лабиринте без указателей. А если вдруг стало понятно одно решение, то всегда можно попытаться найти другие. Удачи!

Пока решал задачи на упрощение выражений из Сканави, то заметил, что там первые примерно 400 штук из них так или иначе задействуют формулы сокращенного умножения (с квадратами и кубами) Но даже после первой сотни решенных все-равно периодически путаешься со знаками. Где плюс, где минус? А если ошибаешься в знаке — всё решение неправильно.

В школе нам вдалбливали: «Выучи! Просто запомни!».
Но зубрёжка — это как строить дом на песке: кажется, что всё держится, пока не подует ветер. Или не придётся решать задачу под давлением времени на экзамене или… через 25 лет после школы.

Запоминание этих формул как аксиомы просто не работает. Они будут вылетать из памяти в самый неподходящий момент из-за слишком малого количества зацепок при визуальном запоминании. Чтобы прочно запомнить надо углубиться в их структуру.

Поэтому одна простая идея, которая избавит от вечной путаницы:

Не заучивай — выводи.

Все эти «формулы сокращённого умножения» — просто результат умножения скобок и всё.

Например, «квадрат суммы» — это (a + b) × (a + b). Перемножаем вручную:

• a × a = a²

• a × b = ab

• b × a = ab

• b × b = b²

Складываем: a² + 2ab + b².
Двойка посередине — два одинаковых ab!

То же с «квадратом разности»: там просто один из b отрицательный, и при перемножении ab и –ab дают минус. Всё логично.

А «разность квадратов» (a – b)(a + b)?
Там ab и –ab взаимно уничтожаются, и остаются только края: a² – b². Как в дзен-буддизме: середина исчезает, истина остаётся.

С кубами чуть сложнее, но и там нет магии:

• Куб суммы — это (a + b) в третьей степени. Можно умножить квадрат суммы на (a + b) ещё раз — и получить a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

• Сумма кубов — это совсем другое: a³ + b³. И чтобы её разложить, нужно умножить «короткую» скобку (a + b) на «длинную» (a² – ab + b²). Почему? Потому что все промежуточные слагаемые съедают друг друга, как в разности квадратов.

Запомнить просто:

• Знак в кубах → такой же в первой скобке.

• Во второй скобке — всегда противоположный.

А ещё интересный факт:
Формулы «суммы квадратов» нет.
Почему?
Потому что нет таких скобок из действительных чисел, которые при умножении дадут a² + b² и при этом уберут середину. (Хотя в комплексных числах — да, но это уже другой раздел задачника.)

Вывод

Математика — это не список заклинаний, которые надо выучить наизусть.
Это логика, которую можно восстановить в любой момент, даже если память не работает.

Нужно всего три вещи:

1. Уметь умножать многочлены (это база).

2. Не бояться раскрыть скобки на черновике.

3. Понимать, почему формула устроена так, а не иначе.

После пары таких «выводов» формулы запоминаются сами — потому что вы их не заучиваете, а переживаете.

Для тех кто знает как решать эту задачу все просто. Взял формулу и подставил значения. Но математика в том откуда формула взялась. Поэтому мы пойдем кругами. Представьте: вам говорят, что два числа в сумме дают 11, а их произведение — 21. И просят найти сумму их кубов. Что вы делаете?

Я сначала попробовал найти эти самые числа. Составил систему, нашел дискриминант... и получилось... выражение с коренем из 37?!

Эти числа — иррациональные монстры, и возводить их в куб — это как пытаться уложить в чемодан всю свою жизнь - очень трудно.

Но есть другая дорога. Отдельный вопрос как на нее выйти, когда не знаешь где она... будем искать лазейку. Вспоминаем старую добрую формулу куба суммы. Там, среди всего этого алгебраического великолепия, спрятана маленькая хитрость: часть выражения можно вынести за скобки, и в ней окажется... сумма чисел и произведение!

Смотрите анимацию и там будет понятнее. Но сначала попробуйте подумать над этой задачей хотя бы 5 минут. Интереснее догадаться самим, чем узнать решение (даже посмотрев анимацию)

Это задача из задачника Сканави. Кому интересно, попробуйте порешать и другие задачи оттуда - их там хватит на всех.