Вот этим пресловутым: "Порядком действий в алгебре" плотно и займемся сейчас.

...........................................................

Однако, здесь совершенно необходимо сделать некоторые важные пояснения, поэтому начнем не сразу, а чуток издалека.

Нынешнее поколение школьников ( и не только школьников) уже не знакомы с конкретной исторической трудностью с какой столкнулись, в далеком прошлом, математики, тогда, когда им приходилось одновременно писать в своих примерах и знаки "двоеточие", и знаки "умножить". Чтобы однозначно задать определенный порядок выполнения мат. операций в примере, математики прибегали к написанию разных скобок! И чем сложнее становились примеры, тем больше приходилось придумывать новых скобок разной конфигурации и приоритета. А порядок выполнения операций над числами дополнительно обозначали еще и стрелками. Например, если в конкретном выражении: "6:2=?;" требовалось "6" разделить на "2", тогда над "двоеточием рисовали маленькую стрелочку, направленную вправо, а если требовалось разделить: "2" на "6", тогда стрелку рисовали своим острием влево. Это было чрезвычайно затратно по времени и неудобно при решении. Поэтому, от написания большинства скобок и стрелок пришлось отказаться, и придумали иной порядок решения примеров, который стал опираться на строгие (обязательные к исполнению) Правила. Например, пускай дано такое выражение:

216 : 3 ∙ 6 : 3 ∙ 2 = ? ;

Сразу договорились, что отныне и навсегда, - читать и решать все мат. выражения будут только строго в одном направлении: Слева, направо! Далее, в примерах знаки разделить ":" (двоеточие) и умножить "∙" (точка) - могут быть разбросаны достаточно хаотично. И стало понятно желание математиков привнести в примеры некую предварительную упорядоченность еще до того, как начинать их решать, опираясь на базовый порядок чтения и решения.( О каком уже было сказано, то есть: слева, направо). Так нашли применение в мире сразу два основных Стандарта решения подобных примеров.

• Первый Стандарт • решения этого примера.

Если, предварительно, выполнить все обозначенные действия Деления с числами строго: слева, направо и избавиться от знаков "разделить", тогда в примере останутся только знаки "умножить".( Это, так называемый, условный Приоритет Деления над умножением), тогда получают:

216 : 3 ∙ 6 : 3 ∙ 2 = (216 : 3) ∙ (6 : 3) ∙ 2 = 72 ∙ 2 ∙ 2 = 288; *

Однако, тот же результат решения примера получают и другим способом, когда он решается сразу Последовательно: слева, направо, - в порядке написания чисел. То есть:

216 : 3 ∙ 6 : 3 ∙ 2 = 72 ∙ 6 : 3 ∙ 2 = 432 : 3 · 2 = 144 · 2 = 288; *

Именно последний способ и стал основным, получив наибольшее признание и применение в практике решения примеров по Первому Стандарту !!

• Второй Стандарт • решения этого примера.

Если, предварительно, выполнить все обозначенные действия Умножения с числами и избавиться от знаков "умножить", тогда в нем останутся лишь знаки "разделить" с которыми и выполняют операцию деления чисел уже строго: слева, направо. (Это, так называемый, условный Приоритет Умножения над делением), тогда получают:

216 : 3 ∙ 6 : 3 ∙ 2 = 216 : (3 ∙ 6) : (3 ∙ 2) = 216 : 18 : 6 = 12 : 6 = 2; **

Важно помнить и не забывать о таком важном факте, что именно эти два, выше названные мною Стандарта, до сих пор широко применяются в Мире при решении примеров со знаком деления в виде "Двоеточие". Первый Стандарт нашел наибольшее признание в мире и его, в строго обязательном порядке, обязаны придерживаться ученики в большинстве стран мира (В том числе и в Р.Ф.). А Второй Стандарт - получил намного меньшее признание, и его используют лишь в отдельных немногочисленных странах.

_____________________________

Теперь я покажу на нескольких примерах очевидное преимущество, ( КАК НИ СТРАННО !!) именно менее распространенного Второго Стандарта над наиболее распространенным в мире, Первым Стандартом , - при решении примеров со знаком деления (Двоеточие).

......................................

• №1. Умножение (или сокращение) делимого и делителя на одно и то же число. (То есть, на одинаковый коэффициент).

Пускай дано выражение: "а : а=1"; Умножим делимое и делитель этого выражения на единицу. Опираясь на "здравый смысл", мы готовы предположить, что значение выражения останется прежним. Однако, правильное решение приводит к несколько "неожиданным" результатам.

Давайте решение по Первому Стандарту,- обозначим одной звездочкой (*), а уже решение по Второму Стандарту, - обозначим двумя звездочками (**). Тогда решение по заявленному Первому Стандарту, будет выглядеть таким образом:

а). а : а → 1а:1а = ( 1· а :1)· а =(а)· а =a²; * - походит на какую -то "нелепость". ( Вот именно так и думают очень многие!).

Чтобы "исправить" ее (эту "нелепость") и чтобы получить искомую единицу, тогда приходится обязательно писать доп. скобки:

а : а = 1а : (1а ) =1; *

А вот как выглядит решение этого же выражения уже по Второму Стандарту:

б). а : а =(1·а) : (1·а) =1; ** - здесь скобками показан лишь порядок решения и их написание, - совершенно излишне. То есть:

а : а =1а : 1а =1; **

Вывод: Решение выражения: а : а →1а : 1а = a²; * - По Первому Стандарту сразу не дает "ожидаемую" единицу и приходится писать доп. скобки, а по Второму Стандарту, - она получается совершенно в "автоматическом" режиме и уже без написания доп. скобок!

Тот же результат получается и с умножением на другие коэффициенты, например:

а). а : а → 2а : 2а = a²; * - и здесь присутствует все та же кажущаяся "нелепость".

б). а : а =2а : 2а = 1; ** - а здесь, эта "нелепость", - отсутствует !

......................................................

• №2. Перемена мест сомножителей в мат. выражении.

Пускай дано выражение: "6:2·3 =?". Тогда для Первого Стандарта получим такое решение:

а). 6 : 2 · 3 = 3 · 3 = 9; * А если поменять сомножители местами, то получим уже:

б). 6 : 3 · 2 = 2 · 2 = 4; *;

Вывод: Для Первого Стандарта менять местами первый и второй сомножители, которые записаны сразу же после знака дел.":" , - совершенно Недопустимо! (Можно менять местами только второй и последующие сомножители, между собой ).

б). Для Второго стандарта уже нет никаких ограничений: можно менять местами Любые сомножителей:

6 : 2 · 3 = 6 : 3 · 2 =1;**

..........................................

• №3. Вынесение общего множителя за скобку.

а). По Первому Стандарту.

6:(2+4) = 6:(6) = 1; *- это, -очевидный правильный ответ!! С ним и будем сравнивать тот ответ, который получим, когда попытаемся вынести за скобку общий множитель по Первому Стандарту.

6:(2+4) → 6:2(1+2) = 6:2·(1+2) = 3·3 = 9;* - ответ,- совершенно другой, а это значит, что выносить общий множитель за скобку, в данном случае, - Нельзя!

б). Ну а по Второму Стандарту :

6:(2+4) = 6:(6) =1; ** - это, - очевидный правильный ответ !!

Вынесем общий множитель за скобку по Второму Стандарту:

6:(2+4) = 6:[2(1+2)] = 6:[2·(1+2)] = 6:[6] =1; ** - квадратные скобки указывают только на порядок решения и их написание - совершенно излишне. То есть:

6:(2+4) = 6:2(1+2) = 6:2·(1+2) = 6:6 =1; ** -здесь общий множитель уже Можно выносить за скобку!

Так же обстоят дела и с обратной операцией, т.е. когда вносят коэффициент внутрь скобок.

а). По Первому Стандарту 6:2(1+2) → 6:(2+4) = 1; * - это, - ошибка, поскольку верное решение будет иное: 6:2(1+2) = 6:2·(1+2) = 6:2·3 = 9; *

б). А по Второму Стандарту коэффициент внести в скобку уже Можно:

6:2(1+2)= 6:2·(1+2) = 6:(2+4) = 1; ** - верное: и преобразование, и решение !!

......................................

• №4. Деление одночленов.

Пускай надо разделить 14 a³ b² : 2a b =?

а). Какими бы словами не оговаривалось условие решения данного примера, мы обязаны придерживаться ТОЛЬКО исполненной его ЗАПИСИ! Тогда решение данного примера по Первому Стандарту будет выглядеть как - то, скажем мягко,- несколько "сомнительно".

14 a³ b² : 2ab = (14 a³ b² : 2)·аb = (7 a³ b² ) · ab = 7a⁴ b³; * - Однако, - это совершенно верное решение !!

Но если мы хотим, чтобы деление выражений соответствовало делению так, как было заявлено: то есть, именно как: "деление названных одночленов", тогда необходимо обязательно писать скобки:

(14 a³ b²) : (2ab) = 14 a³ b² : (2ab) = 7a² b; *

б). А по Второму Стандарту писать скобки, -Не требуется:

14 a³ b² : 2ab = 7a² b; **

____________________________________________

Я, буквально на "пальцах", показал, что выполнение многих основных мат. операций на основе Второго Стандарта имеют неоспоримое преимущество перед Первым Стандартом, то есть: если пожелаешь вынести (или внести) общий множитель за скобки, то делай это и не задумывайся особо, как это сделать. Пожелаешь разделить один одночлен на другой, - тогда и дели их, при этом, нет необходимости обязательно записывать их в скобки! Произвольно меняй местами сомножители, как до, так и после знака разделить: "двоеточие". Умножай (или сокращай) делимое и делитель на одинаковое число, значение выражения, от этого,- не изменится. А Первый Стандарт требует обязательного написания скобок и требует очень много думать и предельно точно оценивать свои действия. Скажем иначе: Второй Стандарт наилучшим образом согласуется с теми действиями или навыками, которые школьники приобретут в очень скором будущем (с 5 -го класса), когда начнут знакомиться с дробями. Именно деление в форме написания дроби,- и является основным приемом в математике, физике и др. прочих точных науках. Есть еще знак деления "/", но он является производным от вертикальной дроби, и более предметно говорить о нем будем позже.

......................................................

Теперь детально рассмотрим реплику из методички Шустефа. Она написана так, как если бы реформа уже состоялась и она напрямую предназначалась в помощь педагогам, чтобы они могли легче сориентироваться в новых условиях. Если перефразировать Шустефа, то его выражение означает следующее:

••• "ДАВАЙТЕ БУДЕМ СЧИТАТЬ, что в Алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. То есть, теперь мы будем, в первую очередь, умножать буквенные сомножители, а только потом делить полученные выражения.Тогда нам без разницы: записана или опущена "точка" между буквенными сомножителями и нет смысла их писать вовсе. Например:

a : b · c = (теперь это выражение полагается всегда решать только так) = a : (b · c ) = ( тогда сохранять написание, и скобок, и точки нет никакого смысла, поскольку их написание - уже бессмысленно) = a : b c ; или проще говоря: " a : b · c = a : b c ; " •••

..................

Вместо того, чтобы сделать понятное всем заявление, что Ученый Совет, в составе таких -то действующих академиков Академии наук СССР, принял решение изменить порядок решения примеров и прочих мат. выражений, записанных со знаком деления в виде "двоеточие". ТОЛЬКО все алгебраические (то есть буквенные) выражения следует выполнять НЕ по Первому Стандарту, а строго По Второму Стандарту ! Данное распоряжение вступает в силу с такого -то числа и конкретного года !!

Тогда встает на повестку дня такой резонный вопрос: Коли алгебраические выражения, - четко оговариваются, а как тогда решать числовые выражения ?!

Если допустить, что: a = 80; b = 20; с = 2; попробуем решить, отдельно, алгебраическое и числовое выражения, записанные с учетом этих данных:

а). a : b · c = a : b c = a : (b c ) = 80 : (20 · 2) = 2; - это, алгебраическое решение (по- новому !!).

б). ). 80 : 20 · 2 = (80 : 20) · 2 = 8; - а это, арифметическое решение (по - старому !!).

Выходит, что Алгебра решает, данное конкретное выражение, с ответом: "2" , а Арифметика с ответом: "8"; -??!!

Чтобы избежать такой очевидной ГЛУПОСТИ, академики Александров и Колмогоров предложили изменить порядок действий и в арифметике. То есть:

в). 80 : 20 · 2 = 80 : (20 ·2) = 2; -вот тогда и арифметика "получит" все ту же ожидаемую двойку, что и алгебра. Никаких разночтений не будет!!

..............................

Получилась эдакая "неудобная" ситуация: академики посчитали, что станет намного целесообразнее (то есть полезнее для школьников) если выполнять подсчет всех мат. выражений, которые записаны со знаком деления "двоеточие",- не с помощью Первого Стандарта, а уже с помощью Второго Стандарта. Ну и чего?! Вырабатывай техническое обоснование такой крутой "реформы", и переходи целиком на Второй Стандарт одновременно, и с числовыми, и с буквенными выражениями, - кто вам мешает так поступить?!

Беда в том, что многим поколениям школьников уже основательно "промыли" мозги таким заявлением, что обе операции умножения и деления чисел имеют Равный Приоритет, а значит необходимо решать подобные примеры строго по порядку: Слева, направо.!! Это, якобы такой обязательный к исполнению Математический Закон и его нарушать никак не допускается. А теперь на этот "фундаментальный" закон предполагается положить огромный "БОЛТ" сверху. И все теперь будут обязаны считать, что приоритет Умножения выше, чем Деления, тогда и операцию Умножения необходимо выполнять в Первую очередь. КАКОВО ?! А как это объяснить школьнику начальных классов: вот только еще вчера его заставляли решать известным способом, а сегодня его, вдруг, разворачивают в другую сторону на 180 градусов.?! Вот тогда- то и ПОРЕШИЛИ: коли в арифметических примерах всегда записывается знак "умножить", то пускай эта традиция сохранится, и пускай школьники решают такие примеры по прежнему, то есть по Первому Стандарту. ( Хотя бы даже для того, чтобы и дедушка с бабушкой, и их ненаглядный внучек, - могли решать пример одинаково). . Учитывая все эти непростые обстоятельства, и приняли столь неожиданное решение: коли Алгебра будет выдавать другое решение, чем Арифметика, то пускай она сама и "отдувается" за свои такие сомнительные делишки, а с нас, эдаких "Непогрешимых", никакого спросу и нет, вовсе. То есть: Мы здесь вообще ни при каких делах, просто так сложились объективные суровые обстоятельства, уважаемые граждане, ученики -школьники!!

Фактически, "Активисты - Академики", одной своей ногой (отвечающей за алгебраические решения) - собирались вступить в новый Второй Стандарт, а другой своей ногой (отвечающей за арифметические решения) - намеревались остаться в прежнем Первом Стандарте. Вот в этой раскоряченной позиции , неожиданно для всех, разошелся шов на их шикарных "академических" бриджах, и все их великолепные "причиндалы" - вывалились наружу на потеху "забугорной" публики. Наверняка "забугорные" коллеги наших незадачливых реформаторов поинтересовались у них на предмет того: какую такую "травку" покуривают последние, коли их многострадальная Алгебра собирается решать примеры по - другому, чем Арифметика?! Реформа просуществовала очень непродолжительное время и была, по тихому, задвинута под ковер. Но оставила, после себя, очень ядовитые метастазы в математике. Какие?!

.....................................

Процитирую еще раз: ••• " В алгебре тот же порядок действий, что и в арифметике, но есть исключение: в алгебре знак умножения связывает компоненты действия сильнее, чем знак деления, поэтому знак умножения опускается. Например: a : b · с = a : (b · с); " •••

Широкая общественность сделала, на основе этой цитаты, такие ложные выводы:

1). В арифметике, которая работает только с числами, при написании сомножителей,- знак умножения надо записывать всегда. Это ЛОЖЬ ! И числовые сомножители можно записать, как с точкой, так и без точки: 6 × 2 = 6 · 2 = 6(2) = (6)2 ; Просто написание сомножителей с точкой, - более популярная практика, чем написание их со скобками.

2). В алгебре знак умножения приоритетнее знака деления, а опускают его лишь для того, чтобы подчеркнуть, что "без точечное" алгебраическое выражение "bc" - надо всегда понимать, как Единое Выражение, и его умножение выполняют всегда раньше деления.

Вот такое ЧРЕЗВЫЧАЙНО ТОКСИЧНОЕ и ЛОЖНОЕ МНЕНИЕ по поводу понимания алгебраических выражений накрепко засело в умах многих поколений растерянных человеков. И число таких несчастных растерянных человеков множится с каждым годом.

Математике совершенно НЕ ВАЖНО, какими символами (числовыми, буквенными, тригонометрическими и прочими) записано мат. выражение, потому, что ни одно основное мат. действие (сложение, вычитание, умножение и деление) НИКАК СПЕЦИАЛЬНО НЕ ОГОВАРИВАЕТ тот факт, в какой конкретной форме следует записывать мат. символы !!

Но Математике ЧРЕЗВЫЧАЙНО ВАЖНО то, каким символом записан ЗНАК ДЕЛЕНИЯ !! Потому, что от этого может кардинально поменяться порядок оценки и решения мат. выражения !

ВНИМАНИЕ !!!

А). Если в выражении записан знак деления в виде "двоеточие", то неважно: записана или опущена точка между сомножителями, КОТОРЫЕ СТОЯТ, И ДО, И СРАЗУ ПОСЛЕ ЗНАКА "двоеточие" (когда их два или больше). Вы можете всегда, по своему желанию, записать опущенные точки в таком выражении, поскольку Правило, по которому решается такое выражение, НИКАК НЕ ОГОВАРИВАЕТ ОБЯЗАТЕЛЬНОЕ НАПИСАНИЕ или НЕ НАПИСАНИЕ ТОЧКИ в составе таких сомножителей !!

Самое проблемное место ("Узкое горлышко") мат. выражения, которое записано со знаком "двоеточие", - это случай, когда деление выполняется на ДВА и БОЛЬШЕ СОМНОЖИТЕЛЕЙ !!

Первый Стандарт выполняет такое деление ТОЛЬКО на ПЕРВЫЙ СОМНОЖИТЕЛЬ (поскольку он "заточен" под требование выполнять действия в примере последовательно: слева, направо, - в порядке написания сомножителей !), а дальше полагается выполнять умножение, полученного результата, на остальные сомножители. Например:

6: abc = (можно писать точки, если захотим) = 6:a·b·c = (делим только на первый сомножитель)=(6:a) и умножаем на остальные "b·c") ; То есть: 6: abc = 6:a·b·c = (6:a)·b·c ;

Второй Стандарт выполняет деление сразу НА ОБЩЕЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВСЕХ СОМНОЖИТЕЛЕЙ (поскольку он "заточен" под требование считать приоритет Умножения выше, чем деления, потому обязательно выполняется умножение - в первую очередь!).Например:

6:abc = (можем писать точки, если захотим) = 6:a ·b·c = (умножаем все сомножители, только после этого, -делим) = 6: (a ·b·c ) ; То есть: 6:abc = 6:a ·b·c = 6: (a ·b·c ) ;

Вывод: когда после знака "двоеточие" стоит только ОДИН множитель, тогда оба Стандарта дают Одинаковый Единственный Ответ. Когда множителей ДВА или БОЛЬШЕ, тогда их решения расходятся и каждый Стандарт получает свой отдельный ответ. Вот по этой причине случаются такие, непонятные для многих, Два Условно Правильных Ответа !!

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

ВНИМАНИЕ !!!

Если в выражении записан знак деления "/ " (косая черта), тогда подход к решению меняется!

••• Все левое выражение (то, которое записано сразу от знака "/" и влево, до ближайшего разделительного знака: "плюс" и "минус"), - делится на правое выражение ( которое записано сразу от знака "/" и вправо, до ближайшего знака: "плюс", "минус" и "разделить" В ТОМ ЧИСЛЕ и ДО ТОЧКИ). Когда желают показать, что такое, разделенное выражение, необходимо считать, как Единое Выражение, тогда его обязательно заключают в общие скобки ••• Например:

А). 6 /a · b · c = ( 6 /a ) · b · c ; = но предпочтительнее писать без скобок = 6 /a · b c ;

Б). 6 /a b · c = ( 6 /a b )· c ; = но предпочтительнее писать без скобок = 6 /a b · c ;

В). 6 /a b c = 6 /(a · b · c) ; = но предпочтительней писать, и без скобок, и без точек !

_______________________________________________________

Не слишком ли я раздухарился, пытаясь дать оценку той несостоявшейся реформе в середине прошлого столетия? На кого я так опрометчиво замахнулся?! Кто я: так, пыль придорожная, а кто они: "Мамонты" от математики! Да нет, не зря. Слишком уж эти "Мамонты" наследили и по- тихому убрались восвояси, не пожелав прибраться за собой как следует!

Решали себе школьники примеры с "двоеточием", как и положено: Слева, направо - в порядке написания чисел и букв в примере, да и горя никакого не знали. А если бы состоялась та реформа, то ученикам пришлось очень не сладко: они б "метались" по всему примеру, выискивая исключительно только действия Умножения, потом выделяли их для того, чтобы случайно" не потерять" ненароком , затем решали их. Далее, вновь переписывали бы пример уже с обновленными данными, и снова решали такой обновленный пример уже строго: Слева, направо - в порядке написания новых выражений. Кому нужна такая сложная канитель?! Именно по этой причине, большинство стран мира и перешли на много проще- Первый Стандарт!

Да и какая такая нужда приспичила что - то менять в отлаженном механизме?! Школьники только до 5-го класса попользуются знаком "двоеточие" и вскоре перейдут на плотное изучение дробей, аж до самого окончания школы. Потому, как знак "двоеточие" предусматривает возможные множественные решения (в зависимости от общего количества знаков ":" и "·" в примере, таких равнозначных решений может оказаться несколько десятков !!). И никак этот "горбатый" знак уже не исправить: таковы состоявшиеся исторические традиции человеков, - которые так и не смогли договориться между собой, как однозначно читать его. Именно по названной причине, математика перешла на более "удобный", во всех отношениях, знак: "горизонтальная черта" и ее вспомогательный вариант: "косая черта" - которые теперь ВСЕГДА ЧИТАЮТСЯ И ПОНИМАЮТСЯ СТРОГО ОДНОЗНАЧНО - все же математики смогли договориться- таки между собой, когда "жареный петух" больно клюнул их в попу !!

Но это еще не проблема. БОЛЬШАЯ ПРОБЛЕМА состоит в том, что огромная масса растерявшегося народа, среди которых: разного возраста школьники, их папы и мамы, а также их дедушки и бабушки, даже многие педагоги, и почий другой народ, искренне поверили "Мамонтам", что алгебраические выражения (в том числе и отдельные числовые выражения), в которых справа от знака "двоеточие" записано два и более сомножителей, с ОПУЩЕННЫМИ ЗНАКАМИ ТОЧКА, - решаются по мнимым "Алгебраическим" правилам, а те же выражения, но записанные СО ЗНАКОМ ТОЧКА,- решаются по мнимым "Арифметическим" правилам. Оттого и решения у них разные. Например:

6:2(1+2)= 6:6=1; - это, якобы, такое "алгебраическое" решение примера, поскольку точка отсутствует, тогда и все выражение: "2(1+2)=6"- считается, как Одно Единое Выражение.

6:2·(1+2)=3·3 =9; - это, якобы, "арифметическое" решение примера, поскольку точка Записана, тогда, и "2" , и "(1+2)" - считаются Отдельными Выражениями.

Так в массовом сознании и застряла эта несостоявшаяся реформа ! Как теперь переть против таких важных академиков. Это все равно, что плевать или писать против ветра (нет, против урагана!). Только свои штанишки намочишь!

Забыли академики, между делом, уточнить, что все эти кривые "народные" понятия, такие как: "стянутые буквенные выражения с опущенной точкой", "склеенные воедино алгебраические выражения", "объединенные алгебраические без точечные выражения" и прочая жуть - все это допустимо применять лишь для нового знака деления, а именно: для "косая черта". Все эти реально жуткие выражения, здесь заменяются более цивильным выражением: "После знака "/" деление выполняется только до БЛИЖАЙШЕГО знака, в том числе и до БЛИЖАЙШЕЙ ТОЧКИ." Это означает следующее:

6/2(1+2) = 6/[2(1+2)] = 6/6 =1; - после знака "/", деление производится на выражение, записанное лишь до ближайшей точки, а ее как раз и нет. Значит деление производят сразу на общее произведение обоих сомножителей. Ответ: "1" - считается единственным правильным ответам. Так полагается это понимать абсолютно всем человекам в мире, независимо от того, в какой стране они проживают !!

6/2 · (1+2) = (6/2) · (1+2) = 3 · 3 = 9; - после знака "/", деление производится только на выражение, записанное до ближайшей точки. То есть, деление выполняется только на сомножитель "2", а потом умножают, полученное выражение, на другой сомножитель - скобку: "(1+2)". Это тоже единственное правильное решение не только для всех жителей планеты "Земля", но также и для всех тех многочисленных "Инопланетянчиков", которые залетают к землянам в гости, без их приглашения !!

А для знака "двоеточие" - нет никакой разницы: с точкой или без нее записано выражение. То есть, всегда:

6:2(1+2) = 6:2 · (1+2) = (6:2)·(1+2) = 9; * - для Первого Стандарта и другое:

6:2(1+2) = 6:2 · (1+2) = 6: [2·(1+2)] = 1; ** - для Второго Стандарта.

НИКАКОГО: Ни мнимого "АРИФМЕТИЧЕСКОГО", Ни мнимого "АЛГЕБРАИЧЕСКОГО" решения здесь НИКОГДА НЕ БЫЛО и в помине, как со времен каменного века, так и до неспокойных наших суматошных дней. БОЛЬШАЯ, ПРЕБОЛЬШАЯ, -ТОЧКА!!

___________________________________________________________

Дорогой мой юный читатель!

Если тебе, "по -барабану", все эти сложные заморочки, по поводу правильного решения примеров со знаками "двоеточие" и "косая черта", тогда пользуйся данной тебе штатной инструкцией годной лишь для примеров с "двоеточием":

••• Сначала выполняют все действия в скобках, затем, в таком порядке: слева, направо, - решается остальная часть примера. •••

Этого должно хватить для решения примера в большинстве случаев. Но с позиции этой инструкции ты не сможешь ответить на многие сопутствующие важные вопросы, такие как: Как можно правильно сократить элементы такого мат. выражения, чтобы облегчить и ускорить себе его решение? Можно или нет внести (или вынести) общий множитель за скобку? Можно ли изменить порядок решения примера, чтобы привести его к более удобному для себя виду? И многие другие вопросы. Поэтому рекомендую тебе прочесть то, как рекомендовали педагоги решать такие примеры своим ученикам еще каких -то полвека назад.

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

РЕКОМЕНДАЦИИ УЧЕНИКУ ПО ВОПРОСАМ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРОВ СО ЗНАКОМ ДЕЛЕНИЯ В ВИДЕ (двоеточие).

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

1). При написании основных мат. знаков действия, любые мат. выражения допускается записывать всеми известными в математике символами - от этого порядок решения никак не изменится.

2). Бегло оцени весь пример и выдели только отдельно стоящие знаки действия: "плюс" и "минус". Они являются "разделяющими" знаками, то есть, такие знаки разделяют все написанное выражение на отдельные независимые, друг от друга, - составные части. Те же части примера, в составе которых записаны знаки действия: "умножить" и "разделить", - объединяют такое выражение в Единое Выражение. Эти знаки, напротив, являются "объединяющими" знаками. Опущенный знак умножить: "точка" означает, что в данном месте может быть записан только знак "умножить", но никакой другой.

3). Очень важно оценить то, в какой форме написания выполнен знак (знаки): "разделить".

Если знак "разделить" выполнен в форме "двоеточие", то следует тебе напомнить, что:

А). Все сомножители, стоящие, как слева от этого знака, так и справа от него, - могут записываться и со знаком умножить "точка", так и без нее. Если знаки умножить "точка" не записаны, то очень рекомендуется их прописать. (Это поможет тебе избежать возможных ошибок, если ты примешь решение заменить строчное выражение на эквивалентное ему - дробное выражение.).

Б). Обрати свое внимание на то, сколько множителей стоит справа от знака "двоеточие". Если множитель один, то решение такого примера будет единственным. Если множителей два и больше, то решений такого примера может быть уже два. Всегда выполняй действия с мат. выражениями, которые записаны в примере , последовательно: слева направо, - в порядке написания выражений в примере.( Всегда помни, что такой порядок решения примеров принят в нашей стране, в других странах порядок решения может быть иной). Если переведешь пример в эквивалентное дробное выражение, тогда тебе будет намного легче выбрать и применить другие нестандартные решения.

В). Та часть выражения, которая заключена в отдельные скобки, -всегда считается Отдельным Единым Самостоятельным Выражением. Если выражение, заключенное в скобки, имеет сложное написание, то его можно временно (для удобного ведения записи) заменить на одиночную букву. В дальнейшем, когда решение примера будет выполнено, тогда следует данную букву заменить на ее эквивалентное значение. Решать выражение в такой скобке немедленно или после выполнения других более важных действий, - выбирай самостоятельно, с учетом общей целесообразности.

___________________________________________________

Тебе может показаться, что рекомендаций очень много, но если их разобрать на нескольких примерах и наработать необходимую практику, то рекомендации окажутся не сложнее таблицы умножения. Давай попробуем их применить к известному примеру.

РЕШИТЬ ПРИМЕР: "6:2(1+2)=?;"

Выполним предварительный анализ примера:

1). В примере нет отдельно стоящих знаков "плюс" или "минус", тогда пример должен считается Единым Выражением. Проверим это по другим знакам: Действительно, в примере написан "объединяющий" знак "двоеточие" и присутствует "пустое" место между числом "2" и скобкой "(1+2)". В таком "пустом" месте допускается написать только знак умножить "точка", а она считается таким же "объединяющим" знаком.

2). В примере записан знак деления "двоеточие". Значит можно в "пустое" место , на вполне Законном основании, записать точку. Учтем этот факт и запишем, опущенную точку, чуть позже.

3). Справа от знака "двоеточие" расположены Два сомножителя (это "2" и "(1+2)"),- значит возможных Равнозначных ответов может быть, тоже Два.

4). В скобках написана сумма двух чисел. "1+2". Конечно мы с тобой понимаем, что она понадобилась автору примера лишь для того, чтобы он мог взять ее в скобки, а перед скобками написать число "2" и не отделять двойку от скобок точкой. Понятно и то, что он приготовил, для нас с тобой, такую маленькую "ловушку". В этой ситуации, ну очень многие человеки, думают так: Коли точки между "2" и скобкой "(1+2)" НЕТ, тогда налицо все признаки, что двойка является типичным коэффициентом при своей скобке. Они возвращают беглую двойку назад в скобку и получают: 6:2(1+2)=6:(2+4)=6:6=1;

Пускай решают так, как хотят, а мы немного погодим. Выслушаем мнение и других знающих человеков. И очень скоро, другие очень многие человеки, объяснят нам ситуацию чуток иначе: Коли точки нет, то это сделано спецом. Так всегда поступают, когда хотят показать, что такое выражение полагается считать "слипшимся" в Единое Выражение. Ничего личного ! Это просто такая алгебраическая форма записи. Если бы точка стояла, тогда такая запись считалась бы уже арифметическим примером. Арифметический пример решается так:

6:2 · (1+2)= 3 · (1+2)=9;

А коли здесь написан арифметический пример в алгебраической форме ( без точки), тогда его надо решать по алгебраическим меркам, то есть двойку умножают на скобку, а потом делят:

6:2(1+2) = 6: (2 · 3) = 1;

ОБЩИЙ ИТОГ:

6:2(1+2) = 1; - это алгебраическое решение.

6: 2 · (1+2) = 9; - это арифметическое решение.

Логика такого решения вполне понятна. Других мнений не поступило. Тогда решаем пример сами.

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

1). Коли деление записано со знаком "двоеточие", то ему "безразлично": с точкой или без точки записаны сомножители, стоящие справа от него. Ставим жирную точку ( просто так, -для пущего форсу).

6:2(1+2) = 6:2•(1+2) ;

Вот мы легко и "расклеили" этих "сиамских близнецов" на отдельные сомножители.

2). Коли мы живем в Р.Ф., то мы обязаны выполнять решение этого примера по Первову Стандарту, как и положено в таких случаях, строго: слева, направо. Но, давайте сначала прочтем наше выражение: слева, направо, а потом, в том же порядке, и решим его:

••• "6" : (разделить на) "2"• (умножить на) "(1+2)"; ••• Прочли, теперь решаем:

6:2•(1+2) = 3 • (1+2) = 3• (3) = 9; * - не забываем поставить Одну звездочку, поскольку это только Первое,- из возможных решений, которое характерно исключительно только для Первого Стандарта !

3). Если есть время и желание, то можем найти и другое возможное решение, которое относится уже ко Второму Стандарту. Для этого, сначала надо перемножить все сомножители (вспоминай, что говорилось об "Узком горлышке").

••• "6" : (разделить на) [2•(1+2)] ••• Прочли, теперь решаем:

6: [2•(1+2)] = 6: [2•3] =6 : [6] = 1; ** - не забываем поставить Две звездочки, поскольку это уже искомое Второе,- из двух возможных решений !!

ОТВЕТ:

6:2(1+2) = 6: 2 · (1+2) = 9; * и 1; **

Где ответы:

•• 9; * - считается правильным в большинстве стран мира (В том числе и в Р.Ф.).

•• 1; ** - считается правильным только лишь в отдельных странах мира. Национальные Комитеты по образованию этих стран все еще ловят "мух" и опасаются переходить на более прогрессивный Первый Стандарт. Похоже на то, что их жестоко напугала, аж до икоты, та славная попытка реформирования мат. записи, предпринятая Научным Советом Академии Наук СССР еще 70 - 80 лет тому назад, и о какой мы так подробно говорили с Вами выше !!

При решении этого примера, ты что - нибудь слышал о каких -либо "алгебраических" или "арифметических" решениях или формах написания этих примеров. Нет! И я ничего не слышал о таких, совершенно неуместных здесь, и малозначимых терминах.

++++++++++++++++

А теперь давай переведем строчную запись примера в эквивалентную ей дробное выражение в полном соответствии с Первым Стандартом. Для этого вновь прочтем пример:

••• "6" : (разделить на) "2"• (умножить на) "(1+2)"; ••• Прочли, теперь проведем горизонтальную черту, далее: первое число "6" и другие числа и выражения, перед которыми записана "точка" - запишем над чертой, а числа и выражения со знаком "двоеточие" - запишем под чертой. Получим такое дробное эквивалентное выражение:

6 · (1+2)

________ = 6:2(1+2) = 6:2·(1+2) ;

2

................................................

Опираясь на это дробное выражение, можно решить пример и в таком нестандартном варианте:

а). 6:2(1+2) = [6 · (1+2)]:2 = (6·3):2 = 18:2 = 9;

б). 6:2(1+2) = [(1+2):2] · 6 = (3:2)· 6 = (3/2) · 6 = 18/2 = 9;

в). 6:2(1+2) = 6:2 · (1+2) = 3 · (1+2) = 3·3 = 9;

Можно сразу сократить "6" и "2", тогда получим:

6:2(1+2) = 3:1 · (1+2) = 3 · (1+2 ) = 3·3 = 9;

Можно сократить "(1+2)" и "2", тогда получим:

6:2(1+2) = 6 · (1+2)/2 = 3 · (1+2) = 9;

6:2(1+2) = 6:1 · [(1+2):2] = 6 ·3/2 = 18/2 = 9;

Можно преобразовать число: "6" , как "6 = (2·3)" , затем сократить все выражение на: "2", получим:

6:2(1+2) = (2·3):2· (1+2) = (1·3):1· (1+2) = (3):1·(3) = 3·3 = 9;

,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

Ученик, которого научили только такой стандартной инструкции: " Сначала - скобки, затем: слева, направо..." , вряд ли поймет природу таких преобразований !!

__________________________________________________________________________

Следующий раз плотно поговорим о делении выражений со знаком "/" (косая черта). Почему всегда необходимо записывать выражение дроби только со скобками, а если этого не сделать, то выражение с чертой надо называть иначе. То есть, дробь, записанная без скобок, - считается, как выражение, которое лишь по своим внешним признакам, ТОЛЬКО ПОХОЖА на ДРОБЬ, но это, по своему мат. назначению, совсем не ДРОБЬ !! И другие "мелкие" вопросы.

А. Андреев. 19.05.2026 г.

Это самый экономный способ соединить рельсами несколько пунктов. Сначала ставите точки, потом нажимаете экономия материалов, потом кликаете на нужные точки и нажимаете галочку. Есть видео (физика транспортного центра) как на блоки повесили грузики и верёвки тоже образовали около узла углы 120 градусов

Любите wrsr?