А у меня вот прикладная задачка по геометрии. Неоднократно сталкивался на практике, так и не придумал, как точно на аналитически найти ответ. Программы умеют это делать, а вот как посчитать - хз.
Подозреваю, что способ решения может быть связан с пределами или интегралами, геометрически или тригонометрически посчитать не сумел.
Дано...
Ну, чтоб было понятно, откуда у задачки ноги растут, покажу наглядно:
Имеем некий "ящичек" с заданными внутренними габаритами А х В. И имеем необходимость расположить в нём по диагонали плашку заданной толщины так, чтобы она всеми углами касалась внутренних стенок ящика (то есть "впритык"). Нужно рассчитать длину этой плашки.
Геометрически задача сводится следующей картинке:
Один прямоугольник вписан во второй. Значения A, B и a - известны, найти значение b.
Башкой понимаю, что решение есть, и ответ абсолютно однозначный. А вот как его найти - хз.
....Бог един, всеведущ и всемогущ! - Изрек благообразный попутчик, глядя с чувством превосходства на двух молодых специалистов. За окном купе что-то проплывало, хрен знает - в сумерках не разглядишь. Початая бутылка водки звякала на столике. Поезд набирал ход после очередной станции. Молодые люди скривились - не ну блин, нормально же сидели и вот зрасьте. Тот который в очках вздохнул и спросил - сам-то понял что выдал? Ты только что назавл бога всемогущим и сразу ограничил его могущество. Бог един, типа сиди себе в одном экэемпляре и не рыпайся. Он же всемогущий, блин. Может себе позволить стать двумя сущностями, если хочется в шахматы поиграть? Про троицу я молчу. И вообще почему только три? Я вот не склонен ограничивать всемогущество бога. Хоть сто пиццом мульенов. Он может.
Второй инженер глянул на своего коллегу.
- А почему ты ограничился только натуральными числами? Ну вот есть дробные числа. Думаешь не смогёт?
- Эээ...наверное смогет. Всемогущий же вот только как и зачем?
- А ты не парься. Сказано же - неисповедимы пути господни, для чего нить и дробное количество божественных сущностей сойдёт и сделать сообразит как. Есть кстати ноль. Тоже должно прокатить. Бога нет, но он есть. Всемогущий же. как Шрёдингер.
- Ну раз пошла такая пьянка, добавляй иррациональные числа. Корень из двух божеств!
- А божественность из под знака корня выносится?
- Должна. Иначе где твое всемогущество. Мнимые числа не забудь. Комплексный иррациональный бог это гораздо больше похоже на истину. О! и кватернионы!!
- Кстати почему мы оперируем только скалярами?.. Давай посмотрим на векторное представление всевышнего. размерность вектора бесконечная - это ясно...
....
Лицо духовного звания тихонько пятилось к двери купе, подальше от столика, где два новоиспеченных богослова обсуждали проблему разложения бога по ортонормированному божественному базису...
Многие дети (да и взрослые тоже) считают арифметику скучной. Ну что интересного в том, чтобы складывать и вычитать числа?
Но знаете ли вы, сколько в арифметике загадочных и совершенно необъяснимых вещей?
Для начала возьмём так называемую «задачу Эйлера», она же «задача о тридцати шести офицерах», которую, согласно легенде, предложила знаменитому математику Леонарду Эйлеру императрица Екатерина Великая.
София Августа Фредерика Ангальт-Цербстская, более известная как Екатерина II Алексеевна (1729–1796) и Леонард Эйлер (1707–1793)
Чтобы не утомлять вас старинными воинскими званиями, переведём её на простой современный школьный язык.
Итак, пусть у нас есть 36 ребят, поровну учеников первого, второго, третьего, четвёртого, пятого и шестого класса. (По шесть человек получается, верно?) Все они посещают разные кружки и секции. Пускай шестеро из них (кто из какого класса – мы не знаем!) занимаются музыкой, шестеро – танцами, шестеро – рисованием, шестеро – футболом, шестеро – плаванием и шестеро – компьютерами.
Итак, задача: нужно расставить наших ребят в квадрат шесть на шесть так, чтобы в любом ряду – как по горизонтали, так и по вертикали! – были представлены, не повторяясь, ученики всех классов (один первоклассник, один второклассник и так далее до шестиклассника) и всех увлечений (то есть один музыкант, один танцор, один художник, один футболист, один пловец и один юный программист).
Ещё раз подчёркиваем: повторы комбинаций недопустимы, то есть у нас не может быть, скажем двух первоклассников-музыкантов или второклассников-художников.
Попробуйте придумать такую расстановку.
Однако скажем сразу: академик Эйлер бился с этой задачей несколько месяцев – но так и не смог отыскать её решения! Расставить детей в указанном порядке не получится, хоть ты лопни.
Может, эта задача вообще не решается? Вовсе нет. Если мы возьмём эту же задачу для 16 детей (то есть с первого класса по четвёртый, и чтобы увлечений было всего четыре, «от музыканта до футболиста»), то она решается очень просто:
Академик Эйлер сумел решить эту задачу и для 25 ребят (с первого по пятый класс и от музыканта до пловца). В дальнейшем этой задачей занимались тысячи (!) математиков, и в 1959 году было доказано, что эта задача решается для любых квадратных чисел с корнем больше трёх. Любых, кроме тридцати шести!
Как такое может быть? Наша интуиция, наш здравый смысл подсказывает – если задача решается в случае 3 х 3, 4 х 4, 5 х 5, 10 х 10, да хоть 22 х 22 – то она ну просто всенепременно должна решаться для всех чисел n x n! Но нет – для квадрата «шесть на шесть» задача Эйлера неразрешима... Впрочем, как и для квадрата «два на два» (попробуйте сами).
Что же особенного в числах 2 и 6? Почему именно 2 и 6? Почему эта задача не решается именно для этих двух чисел и никаких других? А никто не знает...
А вот другая удивительная задача, сформулированная в 1949 году индийским математиком Даттарая Капрекаром.
Даттарая Рамчандра Капрекар (1905–1986)
Возьмите любое четырёхзначное число, в котором не все цифры одинаковые. То есть 1111, 2222 или 9999 – нельзя. А любые другие – можно. Пусть у нас будет число 2023. Теперь внимание! Переставим цифры этого числа так, чтобы получить самое меньшее возможное число. Нетрудно догадаться, что это будет число 0223, так? А теперь переставим цифры так, чтобы получить самое большое число. Понятно, что это будет 3220, ага? Вычтем меньшее число из большего:
1) 3220 – 0223 = 2997
Сделаем с числом 2997, которое у нас получилось, то же самое: переставим цифры, найдём наименьшее возможное число (2799) и наибольшее (9972). Снова вычтем:
2) 9972 – 2799 = 7173
Продолжаем, повторяем всё то же самое:
3) 7731 – 1377 = 6354
4) 6543 – 3456 = 3087
5) 8730 – 0378 = 8352
6) 8532 – 2358 = 6174
А дальше (глубоко выдохнули) начинается то самое, удивительное!
7) 7641 – 1467 = 6174
8) 7641 – 1467 = 6174...
Всё, наши расчёты навсегда бесконечно «зациклились» на одном-единственном числе 6174!
Можно подумать, что это просто совпадение, случай. Однако нет, не случай. Возьмите совершенно любое четырёхзначное число с не повторяющимися цифрами – хоть 1234, хоть 9876, проделайте те же самые действия – и в итоге всё равно получите всё то же самое «упрямое» число 6174, как говорят математики – «неподвижную точку преобразования».
И снова, как с задачей Эйлера, вопрос: почему?! Как?! Почему все четырёхзначные числа в преобразовании Капрекара «сходятся» к числу 6174? Что в нём такого особенного?
Кстати, можете проверить сами: все трёхзначные числа с неповторяющимися цифрами точно также «сходятся», «сбегаются» к волшебному числу 495. А вот с двухзначными или пятизначными числами у вас этот фокус, как ни бейтесь, не получится. В этом случае «неподвижной точки преобразования» нет!
Дальнейшие проверки на компьютере показали, что для шестизначных чисел таких вот «точек Капрекара» существует две: это числа 549945 и 631764 (если вы узник замка Иф, возьмите карандаш и проверьте сами). А для семизначных чисел «точек Капрекара», «волшебных чисел Капрекара» снова не существует...
Ну как, вы всё ещё считаете, что в математике нет ничего загадочного, да?
P.S. Кстати, задача Эйлера для числа 36 имеет решение с точки зрения квантовой механики – если ученики или их свойства будут находиться в «суперпозиции», то есть, например, если кто-то из учеников окажется одновременно учащимся и первого, и второго класса. Но такое возможно только в микромире, а в макромире нет! А ведь ученики, классы, кружки – это явления макромира, правда?
Утро Анечки началось с трещины в голове. Вчера она слишком доверилась подруге Ирке и её идеям «пятница же, надо выпить». Теперь — суббота, но в школе никто отмены занятий не объявлял.
Она встала, как будто у неё под ногами плавал корабль: пол то качнулся вправо, то влево. Зеркало в ванной показало глаза с красными прожилками и лицо, которое словно кричало: «Зачем ты это сделала?» Она умылась ледяной водой, бросила в кружку растворимый кофе и, прихлёбывая горький напиток, собирала сумку.
По дороге в школу воздух был прозрачным, дети шумели и бросали друг в друга каштанами. Анечка пыталась улыбнуться, но улыбка получалась кривая, как нарисованная дрожащей рукой.
На первом уроке — математика. Класс семиклассников сидел шумный, но ещё сонный. Анечка поправила очки, достала журнал и сказала хрипловатым голосом:
— К доске пойдёт… Настя.
Настя вышла, глядя исподлобья: то ли боялась, то ли просто не выспалась.
— Решим одну задачу, — сказала Анечка, — послушай внимательно.
И, опершись рукой о кафедру, чуть прищурившись, она прочитала слово в слово:
«У Гриши есть 5000 рублей. В магазине продаются шоколадные зайцы по цене 45 рублей за штуку. Чтобы отнести зайцев домой, Грише придется купить ещё несколько сумок по 30 рублей за штуку. В одну сумку помещается не более 30 шоколадных зайцев. Гриша купил наибольшее возможное количество зайцев и достаточное количество сумок, чтобы донести в них всех зайцев. Сколько денег осталось у Гриши?»
Класс зашумел. Кто-то засмеялся: «Зайцы, сумки, Гриша!» — но Анечка строго посмотрела, и смех стих.
Настя стала писать мелом на доске, а Анечка наблюдала и думала: вот как странно устроена жизнь. Ещё вчера ты сидишь в баре, споришь про любовь и стихи, а сегодня стоишь тут, пахнущая кофейной горечью, и смотришь, как девочка решает задачу про шоколадных зайцев.
Мел скрипел. Цифры ложились на чёрную доску: 5000, 45, 30, 30… Класс внимательно следил.
И в этот момент Анечка вдруг почувствовала — голова отпускает. Похмельный туман рассеивается. Она даже улыбнулась, тихо, про себя: в мире всё ещё есть порядок, он выражается в задачах с числами и рублями, в правильных сумках и зайцах, которые всегда влезают в ровные тридцатки.
