Пять четырёхзначных чисел и одна странная сумма
Пять различных четырёхзначных чисел, начинающихся с одной и той же цифры, обладают тем свойством, что их сумма делится на четыре из них без остатка. Найдите эти числа, если их сумма наименьшая возможная.
Пусть эти числа начинаются с цифры k, тогда каждое из них принадлежит промежутку [1000k; 1000(k+1)), их сумма принадлежит промежутку (5000k; 5000(k+1)), частное их суммы и любого из них на единицу больше частного суммы остальных четырёх чисел и делителя-пятого, а то частное больше 4000k/1000(k+1) и меньше 4000(k+1)/1000k, то есть принадлежит промежутку (4k/(k+1); 4(k+1)/k). Поскольку k не меньше 1 как ненулевая цифра, из этого следует, что 4k/(k+1) >= 4*1/2=2 и 4(k+1)/k <= 4*2/1=8. Таким образом, частное суммы всех пяти чисел и любого из них принадлежит промежутку (3; 9).
Поскольку все числа по условию различны, то все пять частных их суммы и одного из них также различны, а четыре из этих частных по условию целые и при этом отличаются менее чем в 2 раза, так как любые два из исходных чисел отличаются менее чем в 1000(k+1)/1000k = (k+1)/k раз, а (k+1)/k<=2 при k>=1. Итак, четвёрка целых частных является четвёркой различных целых чисел на промежутке (3; 9), отличающихся попарно менее чем в 2 раза. Единственно возможные варианты - 4, 5, 6, 7 и 5, 6, 7, 8.
В первом случае сумма пяти чисел кратна НОК(4,5,6,7) = 4*3*5*7 = 420, то есть равна 420n для натурального n; четверо из них равны соответственно 420n/4, 420n/5, 420n/6, 420n/7, то есть 105n, 84n, 70n, 60n, а пятое равно 420n - (105n+84n+70n+60n) = 101n. Числа 105n, 101n, 84n, 70n, 60n четырёхзначны и начинаются с одинаковой цифры при n=17, 18, 19 (при n<=16 60n<=960<1000, при 20<=n<=22 105n>105*20=2100, 60n<=60*22=1320<2000, при n>=23 105n-60n=45n>=45*23=1035).
Во втором случае сумма пяти чисел кратна НОК(5,6,7,8)=8*3*5*7=840, то есть равна 840n для натурального n; четверо из них равны соответственно 840n/5, 840n/6, 840n/7, 840n/8, то есть 168n, 140n, 120n, 105n, а пятое равно 840n - (168n+140n+120n+105n) = 307n и больше 105n в два с лишним раза, поэтому такой вариант не проходит.
Таким образом, всего существуют три пятёрки чисел, удовлетворяющих условию: наименьшую сумму среди них имеет пятёрка (1785, 1717, 1428, 1190, 1020), кроме неё также есть пятёрки (1890, 1818, 1512, 1260, 1080) и (1995, 1919, 1596, 1330, 1140).