Слушай сюда, юный падаван. Чтобы доказать утверждение 2+2=4, нам придется отказаться от интуитивного понимания чисел и спуститься на уровень аксиоматики Пеано и теоретико-множественного построения натуральных чисел по фон Нейману. То, что ты называешь "два", на самом деле является кардинальным числом множества, содержащего два элемента. Но что такое число? В системе Цермело-Френкеля мы определяем ноль как пустое множество. Единицу мы определяем как множество, содержащее пустое множество. Двойку -- как множество, содержащее ноль и единицу.
Теперь введем понятие функции следования, обозначим ее как S(x). Эта функция ставит в соответствие каждому числу x следующее за ним число x + 1. Таким образом, мы постулируем, что 1 = S(0), 2 = S(1), 3 = S(2) и 4 = S(3). Это база. Без нее мы никуда не сдвинемся.
Далее нам нужно строго определить операцию бинарного сложения (+) на множестве натуральных чисел. Сложение определяется рекурсивно через два фундаментальных условия. Первое: для любого числа x справедливо, что x + 0 = x. Это нейтральный элемент. Второе: для любых чисел x и y справедливо, что x + S(y) = S(x + y). Это шаг индукции.
Теперь, когда у нас есть инструментарий, приступаем к доказательству. Нам нужно вычислить сумму 2 + 2. Разложим второе слагаемое, используя определение функции следования. Мы знаем, что 2 -- это S(1). Значит, наше выражение принимает вид 2 + S(1). Используем второе правило сложения: x + S(y) = S(x + y). Выносим оператор следования за скобки. Получаем S(2 + 1). Теперь нам нужно разобраться с тем, что внутри скобок, то есть с 1. Мы знаем, что 1 -- это S(0). Подставляем это внутрь. Наше выражение превращается в S(2 + S(0)). Снова применяем второе правило сложения для внутренней части. Выносим еще один оператор S наружу. Теперь у нас получается конструкция вида S(S(2 + 0)). Здесь вступает в игру первое правило сложения: x + 0 = x. Значит, 2 + 0 равно просто 2. Упрощаем выражение и получаем S(S(2)).
Осталось только интерпретировать результат, разворачивая определения обратно. Мы знаем, что S(2) -- это следующее число за двойкой, то есть 3. Наше выражение превращается в S(3). А S(3), согласно определению функции следования, есть число, следующее за тройкой. То есть 4.
Опираясь на аксиомы индукции и рекурсивное определение арифметических операций, мы неопровержимо доказали изоморфизм между операцией объединения двух множеств мощности два и множеством мощности четыре.
Возможно, я не совсем корректно выразил свой посыл в шапке поста, в виду некоторой эмоциональной подоплеки.
Меня не столь волнует математический аспект решения тривиальной задачи, он очевиден взрослому человеку, как в контексте неверной постановки задачи, так и вне контекста.
Теперь, зная, что авторы учебника исправили в новой редакции условие задачи, становится очевидным тот факт, что в старом издании была ошибка, приводящая к двум возможным вариантам решениям. И учитель, дав это задание на дом, должен был принять оба варианта решения, как правильные. Подчеркну: в этой конкретной ситуации.
И да, я понимаю, что у кого-то ребенок вместе со всем остальным классом решили эту задачу по старому учебнику и ответ был 36.
Эта ситуация лишь показывает, что если дать ребенку инструкцию на этот счет и указать, как действовать в этой конкретной ситуации, то он даст правильный для вас ответ. Например. Если в задаче есть какое-либо число, его обязательно нужно использовать в решении задания. Правильный ли это подход? Спорный вопрос. Для меня, математика это тот самый предмет, где точность формулировок является обязательной.
Теперь к ситуации. Что вижу я.
Создание ненужного стресса для ребенка, когда за верное (в данном контексте) решение, красной ручкой чирикают в тетради и ставят низкую оценку. Я считаю это крайне не педагогичным подходом. Лично я вижу здесь проблему, которая может привести в будущем нормального ребенка к девиантному поведению, которое будет выражаться в ложной необходимости поиска подвоха в формулировках, т.к. уже была получена отрицательная мотивация в подобной ситуации. Если целью данного урока было убить желание учиться, то подход верный.
И да, еще раз. Если по предлогу "по" было бы понятно, что речь идед о "каждом", то никто не стал бы менять формулировку в новом издании. Считаю, что авторы учебника признали ошибку и этим закрыли вопрос, какое же решение правильное.
Пятый класс, урок математики. Учительница молодая, только после института такая: так детки. До этого у вас была математика, теперь будем изучать логику. Пример простейшей логической задачи Летят две стаи крокодилов - одна зелёные, другие налево. Посчитайте сколько мне лет. Вовочка руку тянет: 12 -Молодец, Вовочка, а как ты посчитал? - Просто . Мне 12, а меня все полудурков называют
Ответ N°1 (отвечающий на вопрос задачи) - "Установить, сколько машин они отремонтировали, не представляется возможным".
Ответ N°2 (основывающийся на условии задачи, но не отвечающий на поставленный вопрос) - "За 6 дней они ремонтируют по 18 машин".
Объяснение. Из условия задачи не ясно, каждый ли механик по 3 машины ремонтировал или они вместе (на двоих) ремонтировали каждый день по 3 машины. Кроме того, за 6 дней они могли ремонтировать сколь угодно много машин, но отремонтировать ни одну из них не смогли.
В условиях математических задачах не допускается (не должно быть) расплывчатых формулировок, способных повлиять на конечный результат. Это МАТЕМАТИКА, а не юриспруденция!
Здравствуйте, у меня к автору поста вопрос. А вы как рассуждали, когда вам сказали про двух механиков? Вы сразу упустили момент, что эта информация может пригодиться в задании или пришли к этому через некоторое время? Важно уметь работать с информацией, конечно, когда формулировка задания не понятна, это не повод опускать руки. Стоит рассуждать логически, и можно прийти к результату - поставьте себя на место составителя, что он имел ввиду, какая цель и какой результат хотел видеть. Не за чем всё перекладывать на автора задания, у каждого своя голова на плечах, и многие люди часто вообще ей не пользуются, они просто воспринимают информацию так как она есть, без обработки. Из-за этого многие новостные каналы этим пользуются, чтобы вы, как пользователь, заинтересовались заголовком. Если вы не думая всё делаете по жизни, то боюсь представить к чему это всё привело. Просто нужно уметь рассуждать там, где это требуется, и включать мозг, когда информация сложная или нужная. Спасибо за ваше время.
В свое время мне довелось много зубрить в школе: от стихов, английских слов до некоторых теорем и формул. Не было толковых советов и интернета, чтобы получить разное/доступное объяснение материала или способы легкого запоминания (пригодились бы со стихами, которые мне были "по барабану"). Довольно часто сначала материал выучивался, а потом уже самостоятельно понимался. Поскольку меня зубрежка каждый раз доканывала, теперь я категорически против любых повторений без понимания смысла.
Итак, на повестке встал вопрос изучения счета. Я уже много времени об этом думал, отсюда много букв.
Изучение счета – процесс не новый для человечества и должен быть уже отточен и должна уже быть отработанная эффективная методология. В конце концов, должна уже быть игровая форма для детей. Всем известно, что изучение чего-то в процессе игры – это хорошо, это должно обеспечить интерес, легкость понимания и закрепления материала.
Посмотрел я некоторое количество игр для детей (компьютерных и настольных), которые призваны помочь научиться считать. Если с физическими играми дела обстоят лучше (причем для меня карты, домино, кубики/кости и т.п. эффективнее и интереснее специальных игр), то в компьютерных я увидел тупо школьные примеры с теми же числами, только с руками, внутри ягодок/яблок, с кошечками, зайками, пингвинами и т.п. То есть вместо того, чтобы как-то помочь уложить в голове ребенка суть счета, разработчики игр просто подкладывают детям веселые картинки и продолжают требовать от детей знания математики. По сути они работают с формой и тупо продолжают тему повторов и зубрежки.
Грубо говоря, были числа в клеточках тетради - стали те же числа внутри яблок. Писали ручкой - стали нажимать кнопки. Или тупо делают тренажеры, где считают ошибки, ставят таймеры - как-будто детям в школе оценок и контроля не хватает. Вообще не понятно, в чем методика обучения и где реальная помощь компьютерных технологий.
А упор должен быть, по-моему на понимании:
того, что одно вытекает из другого: того, что из разных чисел (или чего-то вообще) можно сложить и получить новое число (или что-то) + любое число, в свою очередь, можно разбить на разные другие числа. И вообще, числами можно манипулировать по-разному, а не строго по таблицам и примерам из учебника, и не надо много запоминать;
принципа равенства (очень поможет при решении уравнений).
Быстрота счета (в школе любят делать упор на запоминание, а не на понимание и логику) принципиально не важна. В конце концов есть калькулятор и компьютер и соревноваться с ними бессмысленно.
ПОНЯВ эти два момента, ребенок сможет преобразовывать выражения, решать уравнения, понимать формулы. Это не правильно, но я часто в школе решал многие задачи по физике чисто формально, просто находя неизвестное через ряд формул (многие даже до этого не доходят и мучаются с тройками/двойками).
Если понять эту базу, то вся школьная математика будет ИГРОЙ, чем она и является. Я четко помню, что мне нравилось упрощать всякие сложные выражения, когда в конце вся груда "превращалась" в единицу или какое-нибудь "ровное" число. Сокращения же числителя и знаменателя (в т.ч. в дробях) на какое-то число было равносильно "сгоранию" клеточек в тетрисе или всяких современных играх. Даже если это для кого-то неинтересная/скучная игра, все равно это ИГРА и каждое задание можно и нужно воспринимать как загадку, а не наказание.
И взрослые вместо того, чтобы дать ребенку БАЗУ и понимание ИГРЫ (некоторые правила), вместе сидят до ночи и что-то там решают - делают из ИГРЫ каторжный труд.
Часто ребенок не может считать и разбивать числа, но от него требуют понимание дробей, решение и понимание задач и т.п. И чем дальше, тем более замысловаты для понимания формы, в которые "преобразуются" простые вычисления. А БАЗА - это главное. В школе 10-11 лет и этого вполне всем хватит, чтобы и догнать и перегнать учебный план.
Что делал я при изучении чисел и счета:
Вначале мы играли с деталями типа лего и строили из разных комбинаций блоков числа.
Использовал блоки типа таких, как на этом рисунке.
Дело в том, что сами числа есть абстракция, которая используется для описания количества чего-либо. И понять детям эту абстракцию вначале не так и легко. И поэтому ребенку не понятно, что из двух яблок/котят не будет построена новая единица, которая в свою очередь может дальше использоваться как строительный материал. А вот блоки можно соединять и "разбивать"/ломать. И это очень хорошо откладывается в мозгу детей. Тем более, что еще недавно они сами из этих же блоков играли-строили всякие конструкции.
Это интересно, но я встречал детей-школьников, которые вроде и умеют считать, но как разбивать числа и представлять их в виде различных комбинаций блоков не умеют. Может они механически выучивают/запоминают счет (тут надо бы с ними еще поболтать на эту тему).
2. Я сделал игру и уже на экране мы вместе думали и находили разные способы, которыми можно составлять числа (в игре можно ткнуть на ячейку и таким образом "задать свое число"). Потом была игра, где надо было сравнивать два числа и находить разницу (можно выбирать любое число, которое хочется "дотянуть" до другого).
Задумка с игрой была в следующем: счет до 10 можно и с кубиками отработать, но с компьютерной игрой я немного отрываю ребенка от физического материала к абстрактному/не осязаемому понятию числа. Плюс с числами более 10 удобнее и быстрее уже на экране работать. Первый вариант игры был, конечно, гораздо "беднее": счет до 10, до 100 и сравнение двух чисел.
Пока вроде бы нормально "дружим" с математикой. Приходится только доходчиво объяснять понятия/слова, определения и сами тексты задач.
Самое главное правило для взрослых - никогда не заставляйте изучать новый материал долго (в т.ч. на "уставшую голову") и имейте терпение, чтобы не требовать сиюминутных результатов. Исключение – проявление ребенком интереса, когда он сам сидит и делает что-то "в охотку". Если вы что-то изучали новое сами (изучение иностранного языка или новой сферы деятельности вполне может быть аналогией), то должны понимать, что для усвоения нового материала/терминологии (построения новых нейронных связей) нужно время. И каждому надо свое время (возраст, генетика и условия развития у каждого разные). Не обязательно даже заставлять изучать материал каждый день и по часу. Это все просто бред, который навязывают продажники от обучения. Достаточно поработать вдумчиво 5-10 минут и даже не каждый день. НИКУДА наработанные связи в мозгу и знания не денутся даже через долгий период времени. НЕ БОЙТЕСЬ. Мозг легко "поднимает" качественно уложенный ранее материал. А вот, если материал зубрился, то все вылетит в трубу в любом случае - 11 лет школьного обучения и остаточные знания этому пример.
Если ребенок понял суть вычислений и вы это видите, то не надо его мучать дополнительными заданиями, тренажерами и играми (включая мою игру, которая объективно не "залипательна"). У детей и так хватает материала тренироваться на школьных примерах. Лучше поиграть в игры на развитие логики – они интереснее. Плюс в магазине и на даче всегда можно "поиграть" с числами (вычислениями и измерениями).
В игре я остановился на счете и думаю дальше уже смысла нет что-то мудрить и мучать детей. Так, например, зубрить таблицу умножения я не вижу смыла (может квадратам еще имеет смысл уделить отдельное внимание, т.к. они помогают облегчать счет). Я просто объясняю, что, если не помнишь, то всегда можно разбить числа и найти необходимый результат, еще и разными способами. Я например, сам не помню сходу 8*7. Я вообще такие числа в жизни не использую, как и вычисления с трехзначными числами или умножения двухзначных чисел. Но, зная, что 7 * 7=49 и, добавив еще одну 7, я получу 56. Или через 8 * 8 - 8 = 56.
Также думаю, что не стоит превращать игру с числами в какую-нибудь игру, где вычисления являются необходимым этапом для какого-то шага или где имеются яркие анимационные персонажи – теряется фокус на самих числах. Поэтому и этап с рисунком я "зарезал". Ребенок, по-моему, должен понять прикол – что числа можно "гонять" туда и сюда и получать необходимый результат разными способами. Манипуляция с числами интересна сама по себе.
Сама игра не есть форма школьных задачек и правильных решений. Этого и в школе предостаточно. Также нет строгих ограничений по способам достижения результата (если перебрал, то можно вычесть), нет таймеров и рекордов. Многие этапы по сути одно и тоже, только в другой обложке.
Игру разбил на две для удобства: Блоки 10 (счет до 10) и Блоки 100 (счет до 100).
Не забываем про крутую бесплатную игрушку, которую мало используют – круглые часы со стрелками. Там вообще много что можно выучить и уложить в голове, да еще динамика присутствует.
P.S. Я заметил, что люди по-разному представляют шкалу чисел у себя в голове при счете. У меня, например, числа выстроены по вертикали (может от школьных вычислений в столбик), а вот у моего знакомого числа выстроены по горизонтали. Причем считает он быстрее меня. А как у вас выстроена шкала в голове при счете?
