День 2/14

Системы линейных уравнений

Уравнение - это равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Наша задача - найти корни уравнения, то есть такие числа, которые при подстановке в уравнение дают верное равенство.

Например, 3 + х = 10. Надо найти такой х, чтобы равенство выполнялось.

х = 7 - это корень уравнения.

А система уравнений - это уже несколько уравнений. И здесь нам нужно найти такой набор значений, который бы удовлетворял каждому из этих уравнений.

Звучит это всё довольно страшно.

Но я знаю, как сделать системы уравнений более привлекательными 😉

Объявляю 19 августа Днём Итальянской Кухни 🇮🇹

Сегодня вы узнаете, из каких “ингредиентов” состоят системы уравнений и убедитесь, что системы уравнений вы решали уже не раз - особенно если вы давно подписаны на мой канал.

Начнём сразу же с первого задания:

Это было несложно, правда?

Тем временем, это была система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

3x = 9

y + 2x = 7

Как видите, систему можно решить, даже не зная ничего о системах 🙂

Обратим внимание на один важный аспект.

Что значит, что уравнения линейные? Это значит, что все переменные - в первой степени (мы с вами уже знаем, что это значит, а если не знаем, то надо срочно заглянуть во вчерашний пост!) и переменные не умножаются друг на друга, только складываются или вычитаются

Пример нелинейной системы - это задача с окрошкой.

В первом уравнении колбаса умножается на яйцо - это сразу создаёт нам дополнительные сложности. Но можно применить некоторую хитрость, а именно - вынести колбасу за скобку.

Получится выражение вида: колбаса х (что-то) = 55.

То есть число 55 представлено в виде произведения двух множителей.

Уравнения у нас простые, они решаются в натуральных числах. Поэтому число 55 можно представить в виде произведения только как 5 х 11. Так что колбаса - это либо 5, либо 11.

Но 11 - это слишком много. У нас во втором уравнении сумма трех слагаемых с участием колбасы - всего лишь 12. Поэтому колбаса - это 5.

Отсюда несложно найти, что яйцо - это 10.

А что делать дальше - станет понятно чуть попозже, из следующих постов.

Для начала посмотрим на новый рецепт 😊 То есть систему уравнений:

Опять вы справились без проблем!

Но на примере этой системы давайте поговорим о том, что можно делать с уравнениями.

Во-первых, можно умножать или делить уравнения на какое-нибудь ненулевое число. Например, если помидорка и базилик в сумме дают 10, то две помидорки и два базилика в сумме дадут 20. (Я умножила каждое слагаемое в уравнении на 2.)

Во-вторых, уравнения можно складывать между собой: левую часть с левой, а правую - с правой.

Смотрите, как удачно получается, если сложить первое уравнение и третье. Базилик сократится, потому что в первом уравнении он с плюсом, а во втором - с минусом. И получится, что помидорка плюс моцарелла - это 10+3, то есть 13.

В конкретно этой системе это было совсем необязательно делать, но, возможно, в следующей здорово пригодится.

А вот и последнее задание:

Это было совсем не так просто!

На примере этой системы вспомним, какие есть основные методы решения систем.

Метод подстановки.

Это самый универсальный метод, работает в 101% случаев.

Если вкратце, то состоит он из двух шагов:

1. выразить неизвестную из одного уравнения

2. подставить её в другое уравнение

Выразить переменную - это значит оставить её слева в гордом одиночестве и всё остальное перенести вправо.

Например, кофе из третьего уравнения - это 1 + печенька (вы помните, что когда я переношу слагаемые из одной части уравнения в другую, то их знак меняется не противоположный).

Подставить переменную - это значит, что в четвертом уравнении вместо кофе мы напишем (1 + печенька).

И получится: сыр + 1 + печенька + печенька = 8.

Сыр мы нашли без труда - он равен 3. Значит, печенька равна 2.

А кофе - это 1 + печенька, то есть 3.

Метод подстановки работает абсолютно всегда, но очень часто он совсем не эффективный. Выразить переменные не всегда удобно, выражения получаются страшные, мы умножаем дробь на дробь и зарываемся в вычислениях…

На помощь тогда приходит метод сложения!

Он следует из того, что уравнения можно домножать на числа и складывать между собой.

Взгляните на третье и четвёртое уравнение. Вспомним, что сыр - это 3. Поэтому в четвертом уравнении кофе + печенька = 5.

Итого, мы имеем:

К - П = 1

К + П = 5

Идеальная ситуация для сложения!

К - П + К + П = 6

Печеньки взаимоуничтожились и осталось 2 кофе равные 6. Отсюда кофе - это 3. Ну, а печенька 2.

Есть еще графический метод - но это отдельная история. Сегодня ограничимся методом подстановки и методом сложения.

Ну и напоследок мем моего собственного сочинения. Его цель просто напомнить вам, что если системы уравнения вас пугают, представьте, что х - это колбаса, а у - это печенька, и, возможно, страх отступит 😀

Если хотите, можете решить и эту систему 😃 пишите ответы в комментариях))