PoDBoT

PoDBoT

пикабушник
пол: мужской
поставил 1433 плюса и 120 минусов
отредактировал 0 постов
проголосовал за 0 редактирований
7480 рейтинг 6 подписчиков 3122 комментария 5 постов 0 в "горячем"
1 награда
5 лет на Пикабу
9

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников.

Ну вот, наконец настало время запилить первый свой познавательный пост.


Все в школе решали квадратные уравнения, там вам рассказывали про дискриминант, что два корня, и все такое, причем, скорее всего, в подробности не вдаваясь. Мне в какой-то момент стало интересно, а почему все так, а не иначе, откуда взялись эти дискриминанты, почему корней два, а не три или сколько-то еще. Вообще, я люблю представлять себя математиком древности, который открывает что-нибудь. Типа, вот раньше чего-то не было, а он взял и вывел. Как это могло происходить?

Конечно, я буду использовать современные достижения математики, которые, возможно, не были известны первооткрывателям тех же квадратных уравнений, но строгости это не уменьшает, поэтому такой подход меня устраивает.


Итак, что же такое квадратное уравнение? Это уравнение вида:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Наверно, можно сказать, что многие уравнения призваны решить вопрос - в каких точках пересекаются графики некоторых функций. Пересечение графиков функций - наглядная интерпретация того, что же представляет собой решение уравнения. В нашем случае у нас две функции - в левой части квадратничная функция, в правой - константа 0.


У нас тут общий случай, то-есть неизвестны конкретные значения констант, поэтому честно нарисовать график квадратичной функции сразу мы не можем. Сперва я хотел исследовать функцию всеми доступными методами(дабы аргументированно рисовать график), но потом решил, что, раз для нахождения решения нам нам хватит чисто арифметических действий, лучше не усложнять и не лезть в производные. Поэтому я решил нарисовать несколько графиков, неподходящие из которых мы будем отсеивать по мере продвижения к решению.

Итак, допустим, наша функция будет представлять собой один из графиков, пока мы не знаем, какой.

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Теперь, попробуем как-нибудь изменить исходную функцию, чтобы она стала проще, но сохранила свойства исходной. У нас три константы, а это многовато, давайте попробуем избавиться от как можно большего их количества. Для начала, мы можем поделить все уравнение на a. а заведомо не равна нулю, так как если бы была равна, наше уравнение превратилось бы в простое линейное, которое, будем считать, уже всем известно, как решать. Тогда у нас получится новое уравнение:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Чтобы не тащить возможное нагромождение дробей, мы назовем для краткости константы новыми именами, а уравнение преобразуется к виду:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

А что там с графиком стало от такого преобразования? По сути, на правую часть уравнения это никак не повлияло, а функция слева сжалась(или растянулась, в зависимости от того, больше модуль а, чем единица, или меньше) пропорционально коэффициенту a к осиX, а если а было отрицательным, то еще и перевернулась вверх ногами. Самое важное здесь для нас то, что пересечение графиков с осью X вообще никак не изменилось, значит, искомое решение уравнения осталось тем же самым. Кроме того, теперь мы можем быть точно уверены, что у новой функции "рога" направлены вверх, ведь х в квадрате теперь с положительным коэффициентом, а значит, при больших по модулю значениях х, как не трудно догадаться, этот член будет положительным и будет расти быстрее, чем оставшиеся два члена.

Теперь наши графики буду выглядеть как-то так, мы убрали из них все те, что рогами вниз:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

А что же делать дальше? А дальше у нас есть еще одно преобразование, которое называется замена переменной. Сделаем замену x = t + k, где t будет новой переменной, а k - какой-то константой, мы потом решим, какой. Подставим нашу замену в исходное уравнение, приведем подобные, получим:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Все внимание на коэффициент перед t в первой степени. Благодаря тому, что мы можем k выбрать произвольно, мы можем сделать так, чтобы этот коэффициент стал равным нулю, а значит, t в первой степени исчезнет из уравнения, и оно еще упростится!

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Подставим найденное k в предыдущее выражение, упростим, получим:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Как видно, переменная t осталась только в виде квадрата без коэффициентов, все остальное ушло в одну константу. Но что вообще это преобразование делает с графиком? Оно просто-напросто сдвигает график влево на расстояние k(если k положительное, и в вправо в противном случае). Стало быть, если у нас было пересечение с нулем, то оно и останется, но сдвинется в какую-то сторону, а если не было, то его и не появится. Можно заметить, что если мы поменяем t на -t, то ничего не изменится(квадрат аннигилирует минус), значит, функция стала четной, отражение графика функции от оси Y ничего не меняет, следовательно, преобразование, которое мы сделали, превращает график в симметричный относительно оси Y, причем все линии одинаковые, за исключением того, что находятся на разной высоте.

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Рассмотрим повнимательнее последнее выражение, его можно переписать в виде:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Очевидно, что так как t в квадрате может быть только неотрицательным, то минимум функции достигается при t=0. Следовательно, если второе слагаемое(а можно считать, что только его числитель) положительно, то функция до нуля не достанет и решений уравнения, стало быть, нет. Это случай синей кривой на графике. Если нам так повезло, что что слагаемое равно нулю, то очевидным единственным решением будет 0, это зеленая кривая. Если же слагаемое отрицательно, то существуют какие-то решения, это оранжевая кривая. Это три случая, имеют принципиальную разницу, все остальное многообразие возможных уравнений сводится к этим трем. Теперь разберемся, сколько же там корней. Выразим t из последнего выражения(будем считать, что обратную функцию для квадрата мы знаем):

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Здесь мы наконец-то узнаем, почему корней двое. Извлечение алгебраического корня из числа - неоднозначная операция. Что есть алгебраический квадратный корень из числа A? Это такое число B, что A = B*B. Но если мы B заменим на -B, то минусы друг об друга при умножении аннигилируют, и получится то же самое число А: -B * -B = (-1)*B * (-1)*B =(-1*-1)*B*B = B*B = A, так что нам придется признать, если для числа А число B является алгебраическим корнем, то и -B так же является корнем. Однако, это обычно учитывается при решении уравнений, но есть еще понятие арифметического корня - это когда нам надо просто и без выпендрежа извлечь корень из положительного числа - тогда берется просто положительная "половина", чтобы все было однозначно. Именно арифметический корень здесть подразумевается в виде записи со значком корня.

Так вот, так как корней два, с плюсом и с минусом, решения тоже два - с плюсом и с минусом. Чтобы два раза одно и то же не писать с разницей в один символ, этот факт мы просто обозначим специальным значком ±.

Думаю, уже ясно, что ранее рассмотренное разделение на три отдельных случая как раз и связано с тем, извлекается ли корень в последнем выражении, иными словами, положительно ли подкоренное выражение. Интересно так же, что случай, когда решение уравнения одно - это на самом деле тот же случай, что и когда их два, с той лишь разницей, что они совпадают, так как что +0, что -0 - одно и то же.


Но мы нашли какое-то t, а нам ведь надо найти х. Для этого, выполним все преобразования, которые мы сделали над уравнением, теперь уже над его решением в обратном порядке, а именно просто подставим все то, что мы назаменяли:

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Ой, а что это у нас тут под корнем такое знакомое??? Да это же дискриминант!

Квадратные уравнения для гуманитариев и школьников. Квадратные, Уравнения, Математика, Алгебра, Длиннопост

Ну вот, собственно, и все, решение получено. Хотел еще про правила Виета написать, но, думаю не стоит, пост и так большой, а правила эти весьма просты.


P.S. Если пост наберет хотя бы несколько десятков плюсов, напишу про более интересные уравнения(типа кубического), или про константы, вроде Пи.

Показать полностью 12
-9

Как зарядить конденсаторы?

Это пост с просьбой совета, от всех, кто шарит в электронике.

Задумал я сделать регулируемую конденсаторную сварку, суть токова: нужно забацать устройство, заряжающее мощную конденсаторную батарею(порядка 0.1 фарада) от сети 220 вольт до напряжения порядка 0-60 вольт(напряжение регулируется). Идея такая: схема заряжает батарею и поддерживает заряд, пока, условно, отжата некоторая кнопочка. В это же время цепь электродов должна быть разомкнута, чтобы можно было их замкнуть, и это не приводило бы к разряду. После полного заряда И изменения состояния кнопочки цепь заряда должна размыкаться и замыкаться цепь разряда, через которую конденсаторы разряжаются и что-то варят. При новом отжимании размыкается цепь разряда и замыкается цепь заряда, конденсаторы заряжаются по-новой.


В чем сложность? Бери схемы из интернета и клепай - возможно, скажет кто-то. Однако, просто повторить схему мне показалось не интересно. Да и не так просто найти схему, чтобы она все делала, как я хочу. Самое главное, мне не хотелось использовать всякие дорогие и/или сложные и/или крупногабаритные и тяжелые приблуды вроде трансформаторов, выпрямителей, импульсных источников, инверторов и т.д. У меня такая идея была:

В розетке напряжение более-менее синусоидальное. Что, если сделать некое устройство(возможно, на микроконтроллере), которое будет следить за напряжением, и пока напряжение на батарее кондесаторов меньше мгновенного сетевого на несколько вольт(чтобы не было большого тока, выбивающего автоматы), оно открывает некий электронный ключ и конденсаторы заряжаются. Когда напряжение возрастает слишком сильно, ключ закрывается, и вся схема ждет, когда пройдет период или полпериода и напряжение опять станет подходящим. Так происходит до тех пор, пока напряжение на конденсаторах не станет больше или равно некоторому опорному, до которого мы собираемся конденсаторы заряжать. После этого ключ не включается, пока напряжение на конденсаторах снова не упадет. Дальше мы через какой-то ключ и управляющую им кнопочку просто разряжаем конденсаторы через нагрузку, заодно эта же кнопочка запрещает заряжать конденсаторы, пока они, собственно разряжаются.

-4

Вопрос о метрике и неравенстве треугольника.

Сначала небольшая кулстори, пацаны!

Тусовался я как-то в одной группе в ВК, где, знаете, прорывные технологии, передовая, но не признанная косным сообществом наука, Эйнштейн - жидомасон, ученые все нам врут, а сами ничего не понимают ну и так далее. Думаю, вы понели. Ну, группа не очень фимозная, поэтому меня там еще не забанили, хотя я там постоянно топлю за всякие квантовые механики, теории относительности и общую алгебру. И зашла речь о пространство теории относительности и вообще о гравитации. Ну, местный контингент, конечно, начал говорить, что, дескать, кривые пространства - это бред сумасшедшего, вот же, посмотрите, кругом все прямое. А я решил, что неплохо бы показать этим товарищам, что кривизну не так-то легко заметить, а с чего начать? А надо как-то определить кривизну, чтобы получить какие-то объективные критерии.


И я подумал, а вот интересно, какой нужен минимальный набор аксиом на произвольном множестве, чтобы на этом множестве можно было определить кривизну, ну такую, чтобы была похожа на кривизну в ОТО? Желательно, не используя координат и понятия размерности, ну чтобы меньше можно было к чему докопаться, и чтобы было больше похоже на афинное, а не векторное пространство.


Первым делом, кроме самого множества, я решил, что перво-наперво надо ввести понятие "дистанции" между элементами. Это почти та же самая всем известная метрика на метрическом пространстве с одним исключением - я не использовал неравенство треугольника, вместо него просто постулировал неотрицательность дистанции. Вообще, когда я над этим над всем думал, я как-то и забыл про то, что есть метрические пространства, точнее про то, какие у них аксиомы. Ну я там еще аксиоматически навводил всякие ограничение на дистанцию, чтобы непрерывность получалась, к примеру, чтобы линии можно было определить. И вроде все получалось, пока я не вспомнил про метрические пространства и не полез смотреть у них аксиомы. А там - неравенство треугольника. А я в своих рассуждениях его не использовал, и вроде бы все было не плохо.


И теперь вот у меня ко всем к вам вопрос - а зачем нужно неравенство треугольника в определении метрического пространства? Какую роль оно играет? Это довольно сложное условие, нельзя ли его заменить на что-то более простое, чтобы оно выводилось как теорема?


Вот, для примера, возьмем евклидово пространство, но вместо обычной, стандартной метрики возьмем на нем квадрат от стандартной метрики. Это не будет метрика в смысле нормального определения метрики, так как в треугольнике со сторонами 3, 3, 5, например, неравенство треугольника нарушается. Но чем такая "типа метрика" хуже стандартной метрики, если существует даже дискретная метрика, где расстояние между всеми несовпадающими точками равно 1 и это ок?

-16

Нужно крепление для кулера под AMD

Здравствуйте, пикабушники! Решил я тут на днях обновить себе комп, и выбор пал на новую амдшную платформу на сокете AM4. И все бы хорошо, но мой любимый кулер Zalman cnps9500 Led, вот такой:

Нужно крепление для кулера под AMD Компьютерное железо, Кулер, Компьютерная помощь

был только с креплением под интел. Но кулер очень хороший, и менять я его не хотел. Путем поиска в инете выяснилось ,что его можно посадить на сокет AM4 при помощи клипсы от сокетов AM2 и других амдшных, вот такой:

Нужно крепление для кулера под AMD Компьютерное железо, Кулер, Компьютерная помощь

Она может выглядеть слегка иначе, но главное - она не на болтики крепится, как интеловская, а одевается на защелки.

Так вот, тут-то мне и нужна ваша помощь - вдруг у кого завалялась такая клипса? Обычно она входит в набор запчастей к кулеру среди остальных клипс и прочих креплений. Судя по всему, такие клипсы могли входить в набор ко всем модификациям Zalman cnps9500 и cnps9700 Куплю за бабки, поменяю на набор креплений для кулеров Noctua для AM4, на вентиляторы для компа(есть много разных), в конце-то, концов, приму в дар. На всяких авито никто не хочет отдавать. Нахожусь в Москве. Коммент для минусов есть, но надеяться придется скорее всего все равно на тех, кто смотрит свежее.

Готовы принять вызов и засветиться в рекламе? Тогда поехали!

Готовы принять вызов и засветиться в рекламе? Тогда поехали!

Признайтесь, вы хоть раз, но заходили на Авито. Возможно, продавали старые книги, детские вещи или старинные, но совсем ненужные вам вазы или статуэтки. Когда звезды сходятся, покупка или продажа выходит крайне удачной. Как у наших героев.


1. @MorGott

Почти открыл свой магазин на Авито из детских вещей, из которых вырос его ребенок.


2. @Little.Bit

Привел с Авито третьего в их с женой уютное семейное гнездышко, и теперь они счастливы вместе.


3. @MadTillDead

Собралась с силами и продала на Авито все, что напоминало ей о бывшем.


4. @Real20071

Его жена доказала, что в декрете тоже есть заработок. Причем на любимом деле и Авито.


Своим удачным опытом они поделились в коротких роликах. Теперь ваша очередь!

Снимите видео об успешном опыте продажи, покупки или обмена на Авито, отправьте его нам и получите шанс показать свой ролик всей стране. Представьте, вы можете попасть в рекламу Авито! А еще выиграть один из пяти смартфонов Honor 20 PRO или квадрокоптер. Ну что, готовы принять вызов? Смотрите правила, подробности и ролики для вдохновения тут.

Отличная работа, все прочитано!