Сегодня закончил читать книгу «Лобачевский», автор Джавад Тарджеманов.
Если честно, впечатления самые лучшие!
Нет, ну конечно, я не из тех людей, кто совсем игнорирует чтение, даже наоборот – люблю почитать. Но в последнее время всё чаще открываешь очередное приложение вместо того, чтобы просто потрогать настоящую книгу руками.
А тут взял в руки этот самый печатный экземпляр… Ощущение такое приятное, как будто вернулся в детство. Да ещё и сюжет интересный: история о нашем гениальном математике Николае Ивановиче Лобачевском, который перевернул представление о геометрии (кто бы мог подумать, что параллельные линии могут пересекаться?!)
В общем, всем советую эту книгу, особенно тем, кто уже подзабыл, каково это – листать страницы настоящей бумажной книги. Правда найти эту книгу сложно будет, т.к. издана она была в 1976, хотя, может быть, современные переиздания были. Но книгу очень рекомендую!
Пусть смартфоны подождут, иногда стоит отвлечься от экрана!
В матане можно и нужно. И параллельные прямые пересекаются в геометрии Лобачевского. Просто на уровне среднего образования это бессмысленно объяснять
Предмет, в рамках которого в физтехе нам объясняли принцип и применение деления на ноль, назывался математический анализ.
Надеюсь, он клевещет на МФТИ. Вероятно, его отчислили после первой сессии за неуспеваемость по матану и за невежество в вопросах школьной программы, парень даже не успел привыкнуть к выражению "на Физтехе" и пишет "в физтехе".
Не мог Физтех так низко пасть. Комментатор просто не понял и не запомнил, чему его учили.
Параллельные прямые не пересекаются ни в какой геометрии по определению. Причем в геометрии Евклида для данной прямой есть одна параллельная, проходящая через заданную точку вне ее. В геометрии Лобачевского таких параллельных бесконечное (континуальное) множество, иногда параллельными называют только две из них - крайние. Наконец, в геометриях типа сферической параллельных нет вовсе.
Н. И. Лобачевский, Геометрические исследования по теории параллельных линий. В геометрии Лобачевского для любой прямой BC и точки A вне неё есть целый класс проходящих через A и не пересекающих BC прямых, две из которых Лобачевский назвал параллельными.
Нет параллельных и в проективной геометрии, про которую иногда говорят, что в ней параллельные пересекаются в бесконечно удаленной точке: в нестрогом смысле так и есть, но бесконечная точка для того и введена, чтобы можно было работать как бы в Евклидовой геометрии, но объявив, что параллельных прямых в ней нет.
В быту можно говорить, что параллельные прямые пересекаются в проективной геометрии, но формально это неверно, там все прямые объявлены непараллельными. В геометрии же Лобачевского параллельные прямые есть и они не пересекаются - по определению.
Это студент Физтеха должен был узнать еще из школы. В обычных школах неевклидовы геометрии не проходят (хотя в учебнике Атанасяна в конце про них немного говорится), но определение параллельных даётся в любом учебнике, и из него понятно, что параллельные не могут пересекаться ни в какой геометрии, если не придумать для слова "параллельный" какое-то нестандартное определение.
Перейдем к навету на Физтех, будто там на матанализе учат делить на ноль.
На ноль в математическом анализе не делят.
Изучают сходимость отношения двух функций или последовательностей, вторая из которых бесконечно малая. И получают ответ: если первая не бесконечно малая, то оно (отношение) - бесконечно большое, в противном случае общего правила нет и можно раскрыть неопределенность, например, методом Лопиталя. На ноль при этом никто не делит.
В обычных школах этому не учат: пропустив тему пределов, сразу переходят к производным. Но если бы @cSharpminor успешно закончил первый семестр на Физтехе, его бы этому научили. Вот скан из физтеховского учебника по матану:
Кудрявцев, Курс математического анализа, т. 1.
Можно ли делить на ноль где-то еще, не в математическом анализе? В принципе можно, рассматриваются алгебраические структуры, для которых это допустимо. Так как такие структуры не обладают полезными свойствами (они не поля, не кольца, даже не полуполя), их редко изучают в вузах.
Предвижу типичные комментарии и сразу на них отвечу.
"В матанализе делят не на ноль, а на бесконечно малое число" - нет, в традиционном матанализе нет понятия бесконечно малого числа. Единственное число, которое так можно было бы назвать, это ноль. И в матанализе не учат делить ни на какое число. Вы путаете деление на число с нахождением предела отношения двух функций, одна из которых стремится к числу.
"В матанализе делят не на ноль, а на число, стремящееся к нулю" - число никуда не стремится, стремятся функции и последовательности.
"Делить можно, получается бесконечно большое число" - бесконечно большого числа не существует, кроме как в некоторых экзотических расширениях. Причем в том расширении, которое используется чаще - аффинном - на ноль все равно делить нельзя, потому что непонятно, какое из двух бесконечных чисел взять. В обычных же определениях, как и в быту, числа "бесконечность" нет. В матане его тоже нет: значок ∞ используется как сокращенная запись того, что функция или последовательность неограниченно возрастает.
"Параллельные прямые пересекаются в бесконечности" - не совсем, см. объяснение выше. Это евклидовы параллельные прямые, не пересекаясь в евклидовом пространстве, могут считаться условно пересекающимися на некой бесконечно удаленной прямой. Польза от такого определения только в том, что пропадает понятие параллельности, а евклидовы аксиомы меняются так, что допускается двойственность: можно назвать точки прямыми, а прямым точками, и все старые утверждения останутся верными.
"Что ещё, если ни способность нашего ума переживать в качестве действительных фактов абстрактные понятия, свидетельствует — столь ясно и определенно — мнимость существования всех прочих известных переживаний мира и, в конечном счёте, самого человеческого ума как такового?"
Что, если где-то на планете существует человек, который способен обыграть рулетку, потому что будучи учителем математики получил травму черепа и ему открылась "Формула удачи"?
Я тут задумался, вот если мы берем евклидово пространство, то это просто-напросто линейное пространство со скалярным произведением с определенными свойствами. Свойства этого пространства описываются аксиомами евклидовой геометрии.
А можно ли так сделать с абсолютной геометрией или геометрией Лобачевского? Ну, то-есть положить в основу то же самое линейное пространство и как-то отождествить точки с векторами, чтобы аксиомы линейного пространства выполнялись и мы получили нечто похожее на евклидово пространство, но без скалярного произведения, в случае абсолютной геометрии, или с каким-то специальным, может, через метрический тензор, в случае геометрии Лобачевского?
Проблема связана с тем, что возник вопрос - вот пространство геометрии Лобачевского - оно линейное, или нет? Если там все кривое, это еще не значит, что пространство нелинейное. Вон пространство Минковского вроде бы вполне себе линейное, только скалярным произведением от евклидова отличается.
В конце жизни Н.И. Лобачевский надиктовал «Пангеометрию», где рассказал о результатах, полученных им ранее…
«Понятия, на которых основывают начала геометрии, недостаточны, чтоб отсюда вывести доказательство теоремы: сумма трёх углов прямолинейного треугольника равна двум прямым; теорема, в справедливости которой никто до сих пор не сомневался, потому что не встречают никакого противоречия в заключениях, которые отсюда выводятся, и потому что измерение углов в прямолинейных треугольниках согласуется в пределах ошибок самых точных измерений с этой теоремой. Недостаточность начальных понятий для доказательства приведённой теоремы принудила геометров допускать прямо или косвенно вспомогательные положения, которые как ни просты кажутся, тем не менее произвольны и следовательно допущены быть не могут.
Так, например, принимают: что круг с бесконечно великим полупоперечником переходит в прямую линию, а сфера с бесконечно великим полупоперечником - в плоскость; что углы прямолинейного треугольника зависят только от содержания (отношения) боков, но не от самых боков, или наконец, как это обыкновенно принимают в началах геометрии, что из данной точки в плоскости не можно провести более одной прямой параллельной с данной прямою в той же плоскости, тогда как все другие прямые, проведенные из той же точки и в той же плоскости, должны необходимо по достаточном продолжении пересекать данную прямую. Под линиею параллельной другой разумеют прямую линию, которая сколько бы не продолжалась в обе стороны, никогда не встречает ту, с которой она параллельна. Это определение само по себе недостаточно, потому что оно не указывает на единственную линию.
То же можно сказать о большей части определений, даваемых в началах геометрии, потому что эти определения не только не указывают на происхождение геометрической величины, которую хотят определить, но даже не доказывают, что такие величины существовать могут. [...]
Вместо того, чтобы начинать геометрию прямой линиею и плоскостью, как это делают обыкновенно, я предпочёл начать сферой и кругом, которых определение не подлежит упрёку в неполноте, потому что в этих определениях заключается способ каким образом эти величины происходят. Потом я определяю плоскость, как поверхность, где пересекаются равные сферы, описанные около двух постоянных точек. Наконец определяю прямую линию, как пересечение равных кругов в плоскости, описанных около двух постоянных точек той же плоскости. Допустив такие определения, вся теория прямых и плоскостей перпендикулярных может быть изложена строго с лёгкостью и краткостью.
Прямую, проведённую из данной точки в плоскости, я называю параллельною к данной прямой в той же плоскости, как скоро она составляет границу между теми прямыми, проведёнными из той же точки в той же плоскости, которые пересекают данную прямую по достаточному продолжению, и тех, которые не пересекают, сколько бы ни продолжались. Ту сторону, в которой пересечение происходит, я называю стороною параллельности. […]
В этом сочинении я изложил доказательства всех предложений, в которых не нужно прибегать к помощи параллельных линий. Между этими предложениями то, которое даёт отношение поверхности сферического треугольника ко всей сфере, особенно достойно замечания. […] Потом я доказываю, что сумма трёх углов в прямолинейном треугольнике не может быть более двух прямых углов, и если эта сумма равна двум прямым углам в каком-нибудь прямолинейном треугольнике, то она должна быть такова во всех прямолинейных треугольниках.
Итак, два только предположения возможны: или сумма трёх углов во всяком прямолинейном треугольнике равна двум прямым углам - это предположение составляет обыкновенную геометрию - или во всяком прямолинейном треугольнике эта сумма менее двух прямых, и это последнее предположение служит основанием особой геометрии, которой я дал название воображаемой геометрии, но которую может быть приличнее назвать Пангеометрией, потому что это название означает геометрию в обширном виде, где обыкновенная геометрия будет частный случай»
Лобачевский Н.И., Пангеометрия / Полное собрание сочинений в 4-х томах, Том 3, М.-Л., «Государственное издательство технико-теоретической литературы», 1951 г., с. 435-437.
В среде людей образованных, и даже более того, учёных, отношение к такому предмету познания мира, как философия, мягко сказать, снисходительное. Никто из них, наукой её не считает.
Поэтому, вызывает очень большое удивление тот факт, что такое чисто философское понятие, как "абсолют" (первоначало всего Сущего, вечное и неизменное, единое, бесконечное, и безначальное), было присвоено части классической геометрии.
Случилось это благодаря логическим обоснованиям того факта, что выполняемость первых четырёх постулатов Евклидовой геометрии, ни коим образом, не обеспечивает истинность пятого. Такой вывод был сделан, нашим математиком, Николаем Ивановичем Лобачевским. Именно он предположил, что по крайней мере две пересекающиеся прямые (а и б) могут не иметь ни одной общей точки с третьей (с), если все они лежат на плоскости с уходящими в абсолют границами.
Проще всего понять, данную аксиому, можно сравнив её, с вычислением длинны окружности через произведение диаметра на постоянную пи.
Поскольку, полное значение бесконечной десятичной дроби пи округлено в меньшую сторону, до 3,14, то значение периметра всегда будет меньше истинного. Наращивание, точности вычисления пи, будет постоянно увеличивать длину окружности, но никогда не приведёт к её искомому значению.
В данном примере, бесконечность вычисления, точного значения пи, как раз и будет тем самым абсолютом, не позволяющим пересечься прямым в аксиоме Лобачевского. Разница заключается лишь в том, что пи это конкретное число, а геометрический абсолют является чисто философской величиной. Но тем не менее, это обстоятельство нисколько не ставит под сомнение состоятельность абсолютной геометрии.
Конечно же, философия не имеет такой доказательной базы, как точные науки, а на голой логике быть достаточно убедительным невероятно сложно, но раз уж есть такой прецедент, когда математики не сочли зазорным опереться на онтологический аргумент, то может быть стоит начать рассматривать её более серьезно?
