[Вопрос] Метод комплексных амплитуд⁠⁠

Приветствую. Помогите разобраться. В гугле в основном попадаются стати по применению метода, а вот выводов и обоснования я так прям просто не нашел. Вопрос, собственно, вот в чем - каково строгое математическое обоснование этого метода? Нельзя же просто так взять, и заменить действительную функцию комплексной. А потом, после решения в комплексных числах, комплексную - действительной. Нужно ведь доказать, почему после этих трансформаций мы получили решение исходной задачи а не хз чего. Я так предполагаю, что это обоснование делается при помощи выражения косинуса через полусумму комплексных экспонент, но не уверен...

P.S. Для любителей пошутить про ЕГЭ и домашку - я учебу закончил 10 лет назад.