Продолжение поста «Мальчики, девочки и статистика»2
Вместо продолжения будет работа над ошибками. Попробуем ещё раз.
Предположим, что в каждой семье двое детей. Вероятность рождения мальчика и девочки одинакова, а полы детей независимы. И возможны четыре равновероятных варианта:
Теперь рассмотрим два разных вопроса.
Вопрос 1. Мы знаем, что старший ребёнок — мальчик. Какова вероятность, что младший — девочка?
3-й и 4-й варианты здесь невозможны, остаются только два варианта и они равновероятны. Ответ: 1/2.
Вопрос 2. Мы случайно выбрали семью и узнали, что хотя бы один ребёнок в ней — мальчик. Какова вероятность, что второй ребёнок — девочка?
Теперь исключаем только одну семью — ту, в которой оба ребёнка девочки. Остаются три варианта, в двух из которых есть девочка. Ответ: 2/3.
Почему результаты разные? Потому что условия задачи разные. В первом случае мы знаем пол конкретного ребёнка. Во втором — только то, что в семье есть хотя бы один мальчик.
Вопрос 3. Мы случайно выбрали семью, затем случайно выбрали одного из двух детей и выяснили, что это мальчик. Какова вероятность, что второй ребёнок — девочка?
И тут вы меня порадовали, ибо целых 77% ответили правильно!
Но я прекрасно знаю, что многие здесь воспользовались логикой из анекдота:
либо мальчик, либо девочка
Ведь здесь важно учесть механизм отбора: в семье с двумя мальчиками случайно выбранный ребёнок обязательно окажется мальчиком, а в смешанной семье вероятность выбрать мальчика составляет только 1/2.
То есть в данной задаче все варианты возможны: Мм, Мд, Дм, Дд. Однако порядок, старшинство здесь значения не имеет, поэтому мы получаем, что Мд и Дм — это подгруппы смешанных семей.
Если мы возьмём 100 семей, то у нас получится, что 25 семей с двумя мальчиками дают 50 мальчиков, 25 семей с двумя девочками дают 50 девочек, а 50 смешанных семей дают по 50 мальчиков и девочек.
Среди всех 100 мальчиков, которых можно было бы случайно выбрать, 50 имеют сестру, а 50 — брата. Поэтому ответ: 1/2.
Дело не в том, что "либо мальчик, либо девочка", а в том, что в данном случае эти варианты равновероятны.
Вот мы и добрались до важного методологического момента: нельзя решать вероятностную задачу, просто подсчитав варианты, не выяснив, равновероятны ли они после получения условия.
Вероятность Мд — 25%, вероятность Дм — 25%, а вероятность того, что в семье будут разнополые дети — 50%. И вот у нас уже неравновероятные варианты, у них веса разные.
Один из детей — мальчик, рождённый во вторник
В посте из тредса эта вариация является наиболее интересной. Это весьма известная задача, которая сразу показывает, умеет человек обращаться со статистикой и вероятностями или нет.
"День недели не влияет на пол" — скажет средний гражданин. И только человек, который плакал над учёбой скажет, что:
Предположим:
мальчики и девочки рождаются с одинаковой вероятностью;
каждый день недели одинаково вероятен;
пол и день рождения независимы;
мы случайно выбираем семью из семей с двумя детьми, в которых хотя бы один ребёнок — мальчик, родившийся во вторник.
Тогда у каждого ребёнка теперь 14 равновероятных характеристик: два варианта пола и семь дней недели. Тогда у двух детей получается 196 упорядоченных комбинаций. А комбинаций, в которых нет мальчика, родившегося во вторник: 13 * 13 = 169.
Следовательно, условию "хотя бы один мальчик, родившийся во вторник", соответствуют:
196 – 169 = 27
Первый ребёнок может быть мальчиком, родившимся во вторник, а второй — девочкой в любой день недели. Это 7 вариантов. И наоборот: первый — девочка в любой день недели, второй — мальчик, родившийся во вторник. Ещё 7 вариантов. Итого 14 комбинаций.
14/27 = 51,85%
ЧТО ПРОИСХОДИТ?
Вероятность. Но не простая, а условная вероятность. Она отвечает на вопрос: какова вероятность события A при условии, что событие B уже произошло?
В данном случае дело в том, что существуют в данной модели семьи с двумя мальчиками, в которых оба мальчика родились во вторник. И это важно.
Вообще, когда мы отбираем наблюдения по определённому признаку, исходное распределение может измениться. Это называется эффектом отбора, а в исследованиях оно часто обсуждается в контексте систематической ошибки отбора.
Это всё настолько потрясно, а мы даже до моих любимых парадокса Берксона и парадокса Монти Холла не добрались. Объяснение первого парадокса в художественных фильмах я не видел, а вот второй:
