Горизонт плоской Земли⁠⁠

Всем привет. Представляю вашему вниманию очередной развлекательно-расчётный пост. "Развлекательно" - поскольку про плоскую Землю. Но в остальном я надеюсь, что нигде в расчётах не ошибся.

Месяц назад я рассказал о своём исследовании атмосферной рефракции с помощью наблюдений за высотными объектами, расположенными в 30-44 км от точки наблюдения. Моделирование пригоризонтальных лучей света напомнило мне о вопросе, который прозвучал год-два назад где-то в комментариях под одним из моих постов на Пикабу: а как выглядел бы горизонт Земли, будь она плоской? Тогда я ответил, исходя из предпосылки, которая заключается в следующем: если луч направлен параллельно линии раздела оптических сред, то он не изгибается. Эта интуитивная предпосылка оказалась НЕВЕРНА, поэтому давайте рассмотрим её подробнее, а затем ответим на поставленный вопрос.

Следующая пара-тройка абзацев может кому-то показаться сложной, однако я приложил все усилия, чтобы объяснить явление максимально просто.

Искривление луча как мера градиента показателя преломления

Показатель преломления (ПП) среды - это во сколько раз скорость света в данной среде меньше, чем скорость света в вакууме. В частности, ПП воздуха на уровне моря примерно равен 1.0003. Градиент - это изменение заданной величины на единицу длины. В частности, если мы рассматриваем тот же ПП атмосферы, то при увеличении высоты на 1 метр (вблизи уровня моря) ПП уменьшается на 2.68*10^-8. Это и будет величина градиента ПП (обратите на неё внимание, мы её используем чуть ниже).

К чему это приводит? Давайте рассмотрим пучок света (луч) шириной d, который стартует в атмосфере строго горизонтально:

Пусть показатель преломления верхнего края луча = n₁, а ПП нижнего края луча = n₂, причём второй ПП больше первого (поскольку ниже атмосфера становится плотнее). Скорость света в вакууме обозначим как c, тогда скорость света для верхнего края луча составит c/n₁, нижнего = c/n₂. Заметим, что скорость распространения нижнего края луча МЕНЬШЕ скорости верхнего. Через малое время t после старта свет верхнего края луча пройдёт расстояние t*c/n₁, нижнего = t*c/n₂. Верхнее расстояние больше нижнего, и как видно из рисунка, это приведёт к тому, что луч (точнее, волновой фронт луча) повернётся на некоторый угол α. Заметим, что луч света загибается в сторону более оптически плотной среды. Следует отметить, что ровно так же будет искривлена траектория даже единичного фотона, несмотря на то, что у него формально нет размера. Тут проявляется то самое страшно звучащее свойство фотонов: корпускулярно-волновой дуализм (то есть фотон одновременно и частица, и волна).

Если аккуратно посчитать величину изгиба луча, то мы получаем очень простую зависимость: радиус искривления луча равен обратной величине от поперечного лучу градиента ПП. То есть для случая горизонтального луча в нижних слоях атмосферы мы получаем радиус = 1/(2.68*10^-8) = 37 тысяч км.

Это означает, что даже горизонтальный луч света на уровне моря будет распространяться НЕ ПРЯМОЛИНЕЙНО, а будет загибаться вниз с радиусом искривления = 37 тысяч км. Если бы градиент ПП на уровне моря был бы в 5.8 раз больше (благодаря более плотному воздуху и/или бОльшему ускорению свободного падения), то радиус искривления совпал бы с радиусом нашей планеты 6371 км, при этом оптически планета бы "распрямилась" для наблюдателя на её поверхности. Если бы радиус искривления был МЕНЬШЕ радиуса планеты, то мы бы оптически ощущали себя в чаше (это случай например Венеры).

Как я отметил в самом начале, искривление луча противоречит упрощённому интуитивному ощущению, которое проистекает в основном из невозможности применить Закон Снеллиуса в рамках геометрической оптики для луча, который распространяется параллельно линиям раздела сред. Чтобы развеять сомнения в правомерности такого искривления, приведу опыт, в котором вы можете в явном виде пронаблюдать явление: Искривление луча в неоднородной среде

Как видно, луч продолжает искривляться даже в самой верхней точке траектории - там где он идёт параллельно границам раздела сред.

Горизонт плоской Земли

А теперь (в основном хохмы ради, но и для упражнения в оптике и программировании) давайте смоделируем визуальный горизонт плоской Земли. Отметим, что в данном случае один в один применима фраза двумя абзацами выше: "Если бы радиус искривления был МЕНЬШЕ радиуса планеты, то мы бы оптически ощущали себя в чаше." Ведь радиус плоской поверхности равен бесконечности, и разумеется радиус искривления луча 37 тысяч км будет в этом случае меньше радиуса планеты.

В качестве модели возьмём карту из статьи Мир (Земля) и свернём её в любимую плоскоземельцами северную азимутальную проекцию:

За радиус картинки берём 20 тысяч км.

Затем идём на фликр и ищем там подходящую панораму в эквидистантной проекции, да ещё и такую, чтобы автору не жалко было, что её утащат и обработают (авторские права типа Some rights reserved). Остановился на этой немецкой панораме, сделанной вблизи города Дингольфинг. На ней более-менее просматривается видимый горизонт, у него нормальная ровная геометрия (средняя линия эквидистантной фотографии), а значит и добавить задуманную нами "чашу плоской Земли" будет достаточно просто.

Далее нам нужно рассчитать зависимость дальности распространения луча от угла выше математического горизонта, под которым этот луч стартует от наблюдателя. Представьте себе пушку, которая стреляет снарядами. Сначала вы стреляете горизонтально, снаряд падает вблизи. Затем стреляете чуть повыше - засекаете новое расстояние падения. Вот всё то же самое, только вместо траектории полёта снаряда - траектория луча. Причём пока луч не выходит в разреженные слои атмосферы, каждая такая траектория близка по форме к дуге радиусом 37 тысяч км. Но чем выше мы "стреляем", тем выше забирается луч, градиент ПП там существенно уменьшается, траектория на этих высотах "выплащивается" (становится всё большего радиуса), и луч добивает существенно дальше. Именно этим вызван изгиб графика в правой его части:

По горизонтальной оси - начальный угол выше математического горизонта, градусов. Оранжевая кривая - дальность луча, км. Синяя кривая - максимальная высота "баллистической" траектории, м. Обращаю внимание - вертикальный масштаб двух линий отличается в 1000 раз (метры и километры).

При расчёте использовались данные по плотности воздуха в соответствии с ГОСТ 4401-81 "Атмосфера стандартная". То есть подразумевается распределение атмосферы по высоте, схожее с реальным распределением на нашей планете.

Из представленного графика видно, что наиболее качественно (подробно) мы бы видели расстояния до, скажем, 5 тысяч км (при этом объекты на расстоянии 5 тысяч км нам бы виделись под углом около 1.3 градуса выше математического горизонта). А все объекты, расположенные дальше, сжимаются в узкую полоску шириной менее 0.1 градуса.

Так, карта есть, координаты исходной точки (немецкой панорамы) есть, зависимость дальности от угла есть, осталось всё это собрать воедино - рассчитать пригоризонтальную полоску и прилепить её к исходной панораме. Во время расчёта заодно визуализируем линии (окружности) дальности видимости на "плоской" карте, вот фрагмент из неё:

Для ориентирования направление на Север указано синим отрезком, на Восток - жёлтым.

Как видно, сначала радиус окружностей увеличивается практически линейно, а затем, в соответствии с вышепредставленным графиком, радиусы с каждым шагом (следующий пиксель расчётной полоски по вертикали) начинают быстро и нелинейно увеличиваться. Ещё раз подчеркну: это приводит к тому, что оптическая информация от объектов дальше 5-10 тысяч км сжимается в очень узкий угловой сектор.

Результаты моделирования

Давайте посмотрим, пусть и в известном приближении (см примечания внизу), к чему это всё приводит. Горизонта, к которому мы привыкли на нашей планете, как такового не будет. Оптическая информация приходит от удалённых объектов и расположена ВЫШЕ математического горизонта на целый градус с лишним (это примерно 2.5 диаметра солнца или луны). Продемонстрирую я то, что получилось в результате расчётов, следующими двумя способами:

1) круговая панорама шириной 8000 и высотой 460 пикселей (ссылка на полную панораму чуть ниже), с некоторыми пояснениями о виднеющихся объектах. В частности пришлось заслонить трубу на горизонте.

полная панорама тут

2) у меня под рукой нет иного способа показать всю панораму, чем мой старый механизм с аналеммами, поэтому когда перейдёте по ссылке (трафик 5 МБ - вес самой панорамы), нажмите две клавиши (латинские):

a - отключит сетку азимутальных координат

i - отключит аналеммы (если любопытно, можете включить обратно и клавишами "вверх вниз влево вправо" покрутить солнце)

Вот ссылка. На мобильных устройствах не проверялось, не знаю как оно отобразится, поэтому рекомендую смотреть на десктопных устройствах (или ноутбуках). Мышью можно таскать во все стороны, скроллом менять масштаб.

Примечания

При расчётах никак не учитывался рельеф местности (возвышения, горы, впадины), то есть представлен расчёт для случая абсолютно плоской поверхности.

Никак не учтена прозрачность воздуха. Даже на исходной панораме видно, что пригоризонтальные объекты находятся в дымке, а значит объекты в тысячах километров чаще всего будут не видны. Однако очевидно и другое - иногда метеоусловия могут быть настолько благоприятными (отсутствие облаков, прозрачность воздуха), что оптическая информация будет долетать от удалённых объектов (подсвеченные ночью города, либо возвышенные объекты, где воздух менее плотный и более прозрачный, например горы Кавказа были бы иногда видны из Москвы). С учётом сказанного разумеется не было бы такой резкой границы между удалёнными объектами и ближним планом, как отображено на расчётной панораме (на границе математического горизонта). Равно как не стало бы и самого горизонта, к которому мы привыкли как к чёткой границе между небом и землёй.

Не принимается во внимание день-ночь на планете. Ну поскольку день и ночь вообще невозможны на плоской земле (равно как и восходы-закаты, что было разобрано ранее), опустим этот недочёт. )

Не учтена высота дрона из исходной фотографии, но это никак существенно не сказалось на результатах.

Кажется ничего существенного не забыл, всё рассказал. Надеюсь вам было интересно. )