Что такое интеграл?⁠⁠

Какая наука самая сложная на свете? Конечно, высшая математика! От одного названия – мурашки по коже. А если в учебник заглянуть – у-у-у… Сразу понятно, что ничего не понятно. Правда?

– Неправда. Высшая математика – очень понятная. А что формулы её непонятно выглядят, ну так ведь и страница любой самой обычной книги выглядит очень непонятно и скучно – пока буквы не выучишь.

Вообще я не очень люблю выражение «высшая математика». Это что же выходит – что вся остальная математика, прежде всего школьная – «низшая»? Второго сорта? Чепуха! В любой науке бывают разные задачи – как простые, так и сложные. А из-за слова «высшая» некоторые старшеклассники и студенты любят задирать нос. Вот, дескать, какую мы сложную науку осваиваем! Хотя на самом деле не могут справиться с обычными школьными задачками по арифметике. Так что, если твой старший брат будет задирать нос – подсунь ему такую вот арифметическую (то есть совсем не «высшую») задачку, пускай помучается:

Шли 12 человек, несли 12 хлебов. Каждый мужчина несёт по 2 хлеба, каждая женщина – по половине хлеба, а каждый ребёнок – по четверти хлеба. Сколько было мужчин, женщин и детей?

А теперь про «высшую» математику. Давайте поиграем... в Гарри Поттера!

Вы будете учениками школы магии, чародейства и волшебства Хогвартс, а я буду профессором. На днях я изобрела пару новых интересных заклинаний, и мы с вами их сегодня вместе выучим. Первое заклинание вот какое. Наводим волшебную палочку на предмет, потом делаем взмах палочкой и произносим громко и чётко: Дифференцио!

Давайте все вместе повторим слова заклинания ещё раз. Дружно, хором: Дифференцио!

Молодцы! Что делает это заклинание? Оно «разбирает» любой предмет на части. Например, если я возьму большой батон и применю к нему это заклинание, то батон у меня сам по себе разрежется на ломтики.

Ура, можно готовить бутерброды на весь класс! А если я возьму игрушечную машинку, то заклинание «дифференцио» сделает с ней то же самое, что любят делать с машинками все на свете мальчишки, а именно разберёт её на части. Готовую одежду это заклинание превратит в отдельные куски ткани, нитки и пуговицы. Учебник или журнал – в отдельные несшитые страницы. Для того чтобы сокращённо записывать это заклинание в тетрадке, мы будем использовать букву «d» (читается «дэ»). Сперва будем писать букву «d», а потом – предмет, на который действует наше заклинание. Например, у меня есть шоколадка. Тогда если я напишу...

dШОКОЛАДКА

...это означает, что я применила заклинание «дифференцио» к объекту «шоколадка». Что у нас получится тогда?

– Шоколадка, разломанная на кусочки, что ли?

Совершенно верно.

То есть мы можем записать:

dШОКОЛАДКА = КУСОЧКИ ШОКОЛАДКИ

dЯБЛОКО = ЛОМТИКИ ЯБЛОКА

dМАШИНКА = разбросанные по комнате КОЛЁСИКИ, РУЛЬ И КАБИНА

Всем понятно? А теперь внимание, вопрос: что будет означать вот такая вот надпись?

dX

– Ну, наверное, это будет «дэ-икс»...

«Дэ» – это наше заклинание. Но что такое «икс»?

– А мы этого не знаем. Это что-то неизвестное.

– Тогда это получается «что-то неизвестное, разрезанное на маленькие кусочки»?

Да, получится именно так. Что-то неизвестное нам, но разрезанное или разобранное на составные части. Например, мальчику Андрюше тысячу раз говорили не играть в футбол в квартире, а он всё-таки не послушался и попал мячом в любимую мамину вазу. Пусть, например, X – это ВАЗА. Тогда чему у нас будет равно dX? Что получится?

– Получатся осколки вазы на полу?

Абсолютно верно!

dX = dВАЗА = ОСКОЛКИ ВАЗЫ

Однако скоро мама вернётся из магазина, и у мальчика Андрюши могут быть серьёзные неприятности... Поэтому, чтобы его выручить, я придумала ещё одно замечательное заклинание. Наводим волшебную палочку на осколки, потом делаем взмах палочкой и громко говорим: Интегро!

Давайте повторим это заклинание вместе, хором: Интегро!

– Это заклинание что, соберёт осколки обратно в целую вазу?

Да, именно так действует это заклинание. Если применить его к отдельным разрозненным частям, то эти части сами соберутся в единое целое. Разломана на детали игрушечная машинка? Нет проблем, используем заклинание «интегро» – и перед нами – р-р-раз! – целая машинка, как только что из магазина. Разрезанный на куски батон? Используем наше заклинание – и получаем снова целый батон. Куски ткани, нитки и пуговицы мы можем снова превратить в сшитую одежду. Отдельные страницы журнала – в целый журнал. И так далее. Сокращённо в тетрадке мы это заклинание будем записывать с помощью вот такого символа:

– А как этот символ называется?

– Он называется «интеграл».

– Точно, я такой видел в фильме «Приключения Электроника»!

Знак интеграла показывает нам, что мы превращаем отдельные части в единое целое. Если я запишу вот так...

∫ОСКОЛКИ ВАЗЫ ...что у меня получится?

– Целая ваза?

И снова совершенно верно.

∫ОСКОЛКИ ВАЗЫ = ВАЗА

Вот ещё примеры применения нашего нового заклинания:

∫ЛОМТИКИ ЯБЛОКА = ЯБЛОКО

∫КУСОЧКИ ШОКОЛАДКИ = ШОКОЛАДКА ∫КОЛЁСИКИ, РУЛЬ, КАБИНА = ЦЕЛАЯ МАШИНКА

А теперь давайте вместе с вами подумаем, что произойдёт, если последовательно, по очереди, использовать наши заклинания? Сперва – «дифференцио», затем – «интегро»? Что произойдёт с предметом? Давайте снова возьмём нашу шоколадку или ту же вазу в качестве примера.

– Заклинание «дифференцио» превратит шоколадку в отдельные кусочки. А заклинание «интегро» соберёт отдельные кусочки снова в целую шоколадку. То есть с предметом, получается, ничего не произойдёт? Он останется такой же, как был? Именно! Наши два заклинания как бы «противоположны по знаку», как «минус» и «плюс».

Вернёмся к Андрюшиной вазе. У нас было вот так:

dX = dВАЗА = ОСКОЛКИ ВАЗЫ

А теперь – внимание, главный и самый важный вопрос. Если я поставлю знак интеграла, применю заклинание «интегро» к разрезанному на кусочки неизвестному нам «иксу», что получится?

∫dX = ?

– Это означает, что мы неизвестный «икс» разделили на маленькие кусочки заклинанием «дифференцио», а потом снова собрали вместе заклинанием «интегро». И тогда у нас снова получится целый неизвестный «икс», верно?

Совершенно верно! Запишем это на доске:

∫dX = X

Читается это так: «интеграл дэ икс равен икс».

– А теперь раскрою секрет. Перед нами – одна из самых главных и основных формул той самой ужасной и кошмарной высшей математики. Что, очень страшно было?

– Да вроде не очень... Это как модель из конструктора – если разобрать, а потом снова собрать, то получается та же самая модель...

Но какие задачи помогает решать эта формула? Ну, например, одна из типичных задач высшей математики, точнее, математического анализа – измерение длины кривых линий. Измерять длину отрезка прямой все умеют – приложили линейку, посмотрели на деления, и всё понятно. А вот как измерить длину кривой линии? Изобретать кривую линейку? Так ведь все кривые линии разные, это сколько же разных линеек придётся изобретать? Вот тут-то и приходит на выручку наша формула. Мы «разрезаем» нашу кривую на маленькие кусочки – настолько маленькие, что каждый из них в отдельности вполне похож на отрезок прямой и может быть измерен обыкновенной линейкой. А потом снова «соберём вместе» наши результаты – и получим ответ на вопрос задачи!

Некоторые считают, что интегралы – изобретение современной математики. Однако на самом деле к понятию интеграла вплотную приблизился ещё великий древнегреческий математик Архимед.

Его всегда очень интересовали задачи определения площадей и объёмов фигур. Допустим, мы можем указать простую и точную формулу для нахождения площади квадрата или объёма куба. Но что делать с фигурами более сложной формы? Тогда Архимед и высказал блестящую идею: скажем, если требуется определить объём мраморной статуи, можно раздробить её молотком на отдельные песчинки (эх, жалко статую, но чего не сделаешь ради науки!) – и, подсчитав количество песчинок, найти искомый объём. Подобным же образом можно определить площадь плоской фигуры сложной формы – аккуратно засыплем её тонким слоем песчинок, а затем снова посчитаем их количество.

Этот приём – «разделить на песчинки (то есть мелкие части), измерить, а затем объединить результат» – Архимеду очень понравился.

В дальнейшем он использовал различные варианты этого метода – например, при определении объёма не «разбивал» фигуры на отдельные песчинки, а «разрезал» на тонкие «слои». Однако общий смысл метода при этом не изменялся. При помощи «метода песчинок» Архимед (первым в мире!) попробовал определить размер нашей Вселенной.

Кроме того, он догадывался, что подобный способ решения задач может работать не только в пространстве, но и во времени – например, мы можем описать полёт стрелы, пущенной из лука, как некую «киноленту», содержащую все положения стрелы в каждый момент времени. Снова – «разделить, а затем объединить», только разделение уже происходит по времени...

К сожалению, для древнего мира идеи Архимеда оказались слишком сложными. На полторы тысячи лет понятие интеграла было забыто – пока этот замечательный способ решения задач не ввели в математику повторно Лейбниц и Ньютон в конце 17-го века. Окончательное и строгое математически описание интеграла дали только в 19-м веке учёные Риман и Лебег...

Решение задачи про 12 хлебов

Если каждый мужчина несёт по 2 хлеба, то мужчин не может быть больше пяти: 6 мужчин по 2 хлеба – это уже 12, тогда женщинам и детям ничего не достанется. Поэтому пусть мужчин будет 5. Осталось 7 свободных мест из 12 человек и 2 хлеба (10 хлебов несут мужчины). Если все семеро оставшихся – дети, и каждый несёт по четвертушке хлеба, то получится 7/4, то есть целый хлеб и три четверти. А нам нужно 2 хлеба, не хватает одной четвертинки. Уберём одного ребёнка (минус четверть хлеба) и добавим одну женщину (плюс половина хлеба). Задача решена: шло 5 мужчин, 1 женщина и 6 детей.

А старшему брату передайте: зазнаваться вредно!

Это была статья из журнала «Лучик».

Наш Telegram канал здесь.