Ответ на пост «10 математических парадоксов»1
На самом деле описанные парадоксы — как это ни парадоксально — парадоксами не являются. Все эти ситуации описывают несуществующий аналоговый мир, в котором возможны бесконечные воронки, фракталы и тому подобные абстракции. Бытовая же логика базируется на нашем интуитивном ощущении дискретности окружающего мира и ряда всегда остающихся за скобками дополнений к условиям задачи.
Воронка с краской: в реальности красочный слой никогда не имеет нулевую толщину, поэтому окрашивание внешней стороны воронки — по сути заполнение краской другой воронки, которая асимптотически стремится к трубке диаметром в двойную толщину краски: по факту мы имеем дело с двумя совсем разными воронками. Что самое забавное, если принять математическую логику, то при нулевой толщине красочного слоя на окрашивание внешней стороны уйдет бесконечно мало краски — все равно меньше, чем на заливку внутреннего объема.
Бесконечная береговая линия? Как бы не так, в реальности есть волны определенного размера — измерять береговую линию с более высокой точностью не имеет смысла, как это нам говорит теория ошибок измерений. А даже если бы решили намерить бредовую береговую линию, мы всегда упремся в планковскую длину.
Парадокс цирюльника? Мы всегда неявно подразумеваем, что условие про бритье относится к другим, сам цирюльник вынесен за скобки, он находится вне системы.
Удвоение шара? В реальности мы никогда не сможем зафракталить разрез. Поэтому это и остается чисто умственным математическим упражнением — как из одного шара сделать сколь угодно много шаров.
Ну и так далее...
Логические/матлогические парадоксы здесь зря объединены с математическими. Бесконечных фракталов не бывает по законам физической реальности, но логика - изначально продукт разума, хотя и подвязана на реальность. Логические парадоксы указывают, что логика не "всесильна", только и всего. То, что утверждение "это утверждение ложно" логически не может быть ни ложным, ни истинным, говорит о том, что не всякое утверждение ложно или истинно - к некоторым утверждениям такое свойство в принципе неприменимо, в классическом понимании. То, что множество всех не содержащих себя множеств логически противоречиво (парадокс Расселла) говорит о том, что не всякие объекты можно объединить в множество. Логика всегда имеет пределы, в том числе и неочевидные, которые таким образом и выявляются (теорема Гёделя о неполноте - к тому же).