10 математических парадоксов⁠⁠1

Итак в комментариях под прошлыми постами просили сделать математические парадоксы. Они будут расположены от не очень сложных, до взрыва мозга. Приятного чтения!

Загадка сушеного картофеля(Разминка)

Представим ровно 100кг картошки - ни больше, ни меньше. В картофеле 99% воды на весь его твердый объем. Мы подсушим картофель до 98%, и сколько же останется? Ответ:

50 КГ

Но ПОЧЕМУ??? А вот смотрите:

При еще не тронутой картошке, кожура, крахмал... составляют 1%(100-99=1). Но потом уже 2%(100-98=2). Один килограмм сухого остатка это 2 процента массы. Возьмем за Х кг это 100% высохшей картошки, и если мы подставим эти значения...

Получим 50кг! Это чистая математика. Переходим ко второму парадоксу математики(это было скорее не парадоксом, а ошибкой восприятия)

Парадокс Симпсона

В чем суть - это когда в отдельных группах тенденция одна, а когда мы соединяем их, она разворачивается в противоположную сторону.

Представим две больницы - А и Б. В общей сложности в эксперименте участвовали по 200 пациентов на каждый метод лечения.

В больнице А новый метод показал выживаемость 80%, а старый - всего 70%. Новый метод явно лучше.

В больнице Б новый метод показал выживаемость 40%, а старый - всего 30%. Новый метод снова лучше, хотя видно, что во второй больнице условия для лечения в целом хуже.

А теперь объединим статистику по всему городу. Правильным математическим ответом будет, что общая выживаемость старым методом составляет 65%, а новым всего 45%.

Но почему так происходит, если у нового метода даже в плохой больнице выживаемость 40%, а у старого там же всего 30%?

Дьявол кроется в деталях. Когда нам показывают итоговую табличку, авторы учитывают общее количество пациентов, но намеренно скрывают, как именно они были распределены по больницам.

В первом случае для нового метода распределение было 90 на 10. То есть 90 человек лечили в хорошей больнице А, а 10 человек в плохой больнице Б. Во втором случае для старого метода все было ровно наоборот. В итоге при объединении данных плохая больница Б своей массой пациентов просто утащила общую статистику нового метода на дно.

Вы спросите - почему нельзя сразу честно указать распределение? В науке так и делают. Но в реальной жизни, в политике или рекламе, общая статистика без распределения - это лучший способ манипуляции. Вам могут показать, что новый закон или товар работает хуже старого, просто смешав в одну кучу разные группы людей и скрыв от вас реальные пропорции.

Рог Габриэля

В чем суть - геометрическая фигура имеет конечный объем, но при этом бесконечную площадь поверхности. Представим функцию вида 1/х, то есть обыкновенная гипербола.

Но если перенести эту фигуру на 3д, и сделать из нее как бы горн. просто прокрутя ее по оси. получим:

Так вот. Если внутрь такого рога залить краску, вы потратите 3.14 ведер(ее объем равен числу Пи). Но если вы захотите покрасить рог снаружи, у вас ничего не выйдет. Потому что его площадь бесконечна.

Почему так происходит - вектор бесконечности ломает нашу бытовую интуицию. При движении вдоль фигуры ее радиус стремится к нулю. Когда математики вычисляют объем, этот радиус возводится в квадрат, поэтому цифры затухают очень быстро и в сумме дают конечный объем. Но когда вычисляется площадь поверхности, радиус остается в первой степени. Цифры уменьшаются слишком медленно, и в итоге площадь улетает в бесконечность.

Бесконечная береговая линия

В чем суть - длина береговой линии любого острова или государства не имеет фиксированного значения. Она бесконечна и зависит исключительно от длины линейки, которой вы ее измеряете.

Представим ситуацию : Нам нужно измерить береговую линию. Возьмем километровую линейку, мы получим условно 3000км. Возьмем метровую, нужно будет огибать валуны и уступы, и длина будет условно 5000км. Возьмем сантиметровую линейку, и придется огибать каждый камешек. взяв еще меньше, длина будет уходить в бесконечность.

Почему так происходит - берег это природный фрактал. То есть объект, который обладает свойством самоподобия. Как его ни приближай, он остается одинаково изрезанным.

Мы привыкли к условиям, что длина это неизменное свойство. Но фракталы ломают это правило. их площадь можно посчитать, но длина их бесконечна.

Гранд-отель Гильберта

В чем суть - бесконечность ведет себя совершенно не так, как обычные большие числа. В полностью заполненный бесконечный отель всегда можно заселить новых жильцов.

Представьте отель, в котором бесконечное количество номеров, и все они заняты. Свободных мест нет вообще. Тут к порогу подъезжает еще один гость и просит комнату. Обычный администратор послал бы его, но наш математический администратор говорит - без проблем, сейчас все устроим.

Он просто делает объявление по громкой связи

Уважаемые жильцы, пожалуйста, переедьте в комнату, чей номер на один больше вашего текущего.

В этот момент жилец из номера 1 переходит в номер 2, из номера 2 в номер 3, и так далее по цепочке. Самого последнего номера в отеле не существует, поэтому бесконечность позволяет провернуть такой трюк без остановки. В итоге комната под номером 1 освобождается, и новый гость спокойно заселяется в изначально полностью заполненный отель.

А теперь усложним задачу. Что если к отелю приедет бесконечно длинный автобус, в котором сидит бесконечно много новых людей?

Наш администратор снова не паникует. Он просит всех текущих жильцов переселиться в номера, которые равны их старому номеру, умноженному на два. После этого все старые жильцы занимают исключительно четные номера - 2, 4, 6, 8 и так далее. А все нечетные номера - 1, 3, 5, 7 - полностью освобождаются. Бесконечный поток людей из автобуса просто занимает эти нечетные комнаты.

Почему так происходит - в нашем привычном макромире если к занятым местам прибавить один, места закончатся. Но для бесконечности стандартные правила ломаются. Бесконечность плюс один все равно равняется бесконечности. Точно так же бесконечность плюс бесконечность тоже дает в результате обычную бесконечность. Счетные множества могут идеально помещаться друг в друга, не увеличивая свой размер.

Парадокс Бертрана

В чем суть - одна и та же простейшая геометрическая задача может иметь сразу три разных правильных ответа, и все три будут железно доказаны математически. Это ломает логику того, как мы вообще понимаем слово случайно.

Представим задачу - у нас есть круг, в который вписан равносторонний треугольник. Нам нужно провести в этом круге случайную линию - хорду. Какова вероятность того, что эта случайная линия окажется длиннее, чем сторона нашего треугольника?

Математик Жозеф Бертран взял эту задачу и нашел три разных метода решения:

Метод 1 - выбираем две случайные точки на окружности и соединяем их. По этому расчету вероятность получается ровно 1/3.

Метод 2 - выбираем случайный радиус круга, а затем выбираем случайную точку на этом радиусе и проводим через нее линию. По этому расчету вероятность получается ровно 1/2.

Метод 3 - выбираем вообще любую случайную точку внутри круга и считаем ее серединой нашей линии. По этому расчету вероятность получается ровно 1/4.

Все три метода абсолютно верны с точки зрения математики, в расчетах нет ни единой ошибки.

Почему так происходит - парадокс взрывает мозг тем, что само понятие случайно в математике не имеет смысла, пока ты жестко и до пикселя не определил метод выбора этой случайности. В зависимости от того, как именно мы берем случайную линию - через точки на ободке, через радиус или через центр круга - мы получаем принципиально разные вселенные и разные ответы. Математика как бы говорит нам - абстрактной случайности не существует.

Парадокс Банаха - Тарского (Удвоение шара)

В чем суть - трехмерный твердый шар можно разрезать на пять особых кусков, покрутить их в пространстве и собрать из них два точно таких же шара, каждый из которых будет абсолютно равен исходному по размеру и объему.

Представьте, что вы взяли спелый апельсин или бильярдный шар. Математики Банах и Тарский доказали, что этот объект можно разрезать всего на 5 частей, передвинуть их и без всякого растягивания или добавления нового материала получить два абсолютно идентичных апельсина.

В реальном мире это абсолютно нарушает закон сохранения массы. Нельзя из одного килограмма золота сделать два килограмма золота, просто распилив его.

Почему так происходит - в дело вступает высшая математика множеств и понятие пустоты. Куски, на которые разрезается шар, не похожи на обычные дольки. Они настолько сложные, изрезанные и фрактальные, что у них просто отсутствует такое физическое понятие, как объем. Их называют неизмеримыми множествами.

Когда мы их разделяем, мы как бы вытаскиваем наружу бесконечную структуру точек шара. Математика позволяет пересобрать эти точки вокруг новых центров так, что пустоты между ними идеально заполняются. Физически это повторить невозможно, потому что наш мир состоит из неделимых атомов, но в чистой математике один шар равен двум точно таким же шарам.

Парадокс Рассела

В чем суть - этот парадокс доказывает, что в самой базовой логике математики есть фатальная ошибка, из-за которой вся система может просто рухнуть.

Представьте, что мы делим все списки и множества в мире на два типа. Первый тип - обычные списки, которые не содержат себя внутри. Например, список рецептов супов сам по себе супом не является, так что внутри этого списка строчки список рецептов нет. Второй тип - необычные списки, которые включают себя. Например, список всех существующих в мире списков сам является списком, поэтому он обязан содержать упоминание себя.

А теперь математик Бертран Рассел задает один простой вопрос - давайте составим список, в который войдут вообще все обычные списки в мире, которые не содержат себя внутри. Будет ли этот итоговый список содержать сам себя?

И тут логика ломается...

Если этот список не содержит себя, то по правилу он является обычным списком и обязан быть включен сам в себя. Но как только он включает себя, он мгновенно перестает быть обычным списком и должен быть немедленно удален оттуда. Получается замкнутый адский круг.

Это часто объясняют через парадокс цирюльника. В деревне живет один парикмахер, который бреет только тех жителей, которые не бреются сами. Вопрос - должен ли парикмахер брить сам себя? Если бреет - значит он бреется сам, и по правилу не имеет права себя брить. Если не бреет - значит он не бреется сам, и по правилу обязан себя побрить.

Почему так происходит - этот парадокс показал математикам, что нельзя собирать множества и правила из абсолютно любых абстрактных фраз. Из-за этого тупика ученым пришлось полностью переписывать фундамент математической логики и вводить жесткие ограничения на создание правил, чтобы математика не уничтожила сама себя.

Теорема Гёделя о неполноте

В чем суть - величайший парадокс логики, который официально доказал, что математика не всесильна. В любой сложной системе всегда будут существовать абсолютно правдивые факты, которые в рамках этой самой системы доказать принципиально невозможно.

До 1930-х годов величайшие ученые мира были уверены, что математика - это идеальный, совершенный инструмент. Они думали, что если взять базовые правила - аксиомы - то с их помощью можно логически доказать или опровергнуть абсолютно любое утверждение во Вселенной. Математика казалась несокрушимой крепостью.

Но тут пришел Курт Гёдель и математически доказал, что эта крепость - дырявая, причем дыры в ней заделать нельзя вообще никак.

Представьте, что вы создали робота или компьютерную программу, заложив туда все правила логики. Вы даете программе задачу - доказать истинность какого-то сложного факта. Программа начинает перебирать правила, но в итоге упирается в стену. Сам факт - абсолютно правдивый, но инструментов внутри программы не хватает, чтобы вывести его доказательство.

Это как пытаться объяснить устройство всего огромного мира, используя только законы одной маленькой коробки, в которой вы заперты. Инструмент находится внутри системы, поэтому он принципиально ограничен. Чтобы доказать этот спорный факт, вам придется выйти из коробки и придумать новые, более глобальные правила. Но как только вы их придумаете — внутри новой, большой системы тут же родятся свои собственные недоказуемые факты. Это бесконечный тупик.

Почему так происходит - Гёдель использовал гениальный трюк, похожий на парадокс лжеца. Он перевел человеческий язык на язык чистых цифр и заставил математику написать формулу, которая буквально говорит - меня невозможно доказать с помощью текущих правил. Если эта формула врет - значит математика ошибочна. Если формула говорит правду - значит в математике есть истина, которую нельзя доказать. Логика замкнулась сама на себя. Математика официально расписалась в том, что она никогда не будет завершена.

Парадокс Скулема

В чем суть - этот парадокс доказывает, что математика не способна абсолютно точно описать даже саму себя. Любая математическая модель, которую мы создаем для описания бесконечных вещей, теряет свой смысл и может быть истолкована совершенно диким образом.

Математики очень гордятся своей теорией множеств. В ней есть понятие несчетной бесконечности - это когда элементов настолько бесконечно много, что их в принципе невозможно даже начать пересчитывать по порядку. Пример несчетного множества - все точки на бесконечной прямой линии. Ученые создали строгие правила и формулы, чтобы запереть эту несчетную бесконечность в жесткие рамки логики.

Но в 1922 году норвежский математик Торальф Скулем нашел в этих правилах огромную дыру.

Он доказал теорему, из которой следует абсурдный вывод. Если наши правила математики вообще имеют хоть какой-то смысл, то у них обязана существовать модель, в которой ВСЕ эти несчетные, гигантские бесконечности внезапно становятся... обычными счетными бесконечностями. То есть их можно просто пересчитать по пальцам - один, два, три, четыре и так далее до бесконечности.

Представьте, что вы построили идеальный забор вокруг дремучего, бесконечного леса, который невозможно измерить. А человек приходит и доказывает, что этот же самый забор с тем же успехом идеально огораживает всего три одиноких сосны на полянке. Забор просто не видит разницы между гигантским хаосом и маленькой кучкой деревьев.

Почему так происходит - парадокс взрывает мозг тем, что математический язык оказался слишком слабым инструментом. Когда мы пишем формулу для описания чего-то бесконечно огромного, эта формула выглядит правильной только внутри нашей головы. Но с точки зрения чистой логики, эта же самая формула может описывать нечто совершенно крошечное. Математика не может задать абсолютный масштаб вещей. Все наши представления о бесконечности в науке оказались относительными и зависят только от того, под каким углом смотреть на правила.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В заключении хочу сказать, что наши попытки изучить мир очень малы и имеют много дыр в своей логике. Но я уверен, да и вы тоже возможно, что мы все таки сможем разгадать многое и всякое.

Источники

1. Введение в математическую логику - Эллиот Мендельсон

2. Парадокс Банаха - Тарского» (The Banach-Tarski Paradox) - Гжегож Томашевский (Grzegorz Tomkowicz) и Стэн Вагон (Stan Wagon).

3. Фрактальная геометрия природы - Бенуа Мандельброт

4. Статья про последний парадокс

Вот наш выпуск и подошел к концу. Надеюсь, вам понравилось. Буду рад лайку, а если не хотите пропускать мои посты - подпишитесь! У меня в профиле еще много интересного. Удачи!!!

Спасибо @user6561217, и @Skaramyw, за материальную поддержку!