Расставьте в таблицу 4×4 натуральные числа так, чтобы были выполнены следующие условия:
1) Произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
2) Произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
3) Среди чисел нет равных;
4) Каждое из чисел не превосходит 27.
Можно ли в пункте 4 заменить число 27 на меньшее натуральное число так, чтобы задача всё ещё имела решение?
некая Настя недавно доказала Основную Теорему Арифметики на обычном множестве натуральных чисел. Из неё (из теоремы!) вытекает, что если два числа равны, то совпадают и их разложения в простяшки.
Поэтому если в некоторой таблице три числа кратны некоторому простому числу, то должно быть и четвёртое кратное число. Поэтому в множестве от 1 до 27 невозбранно выкидываются 10 чисел [7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 26]. А остаётся 17 штук: [1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,27]
Если произведения чисел по строкам таблицы равны, то произведение произведений по строкам равно произведению всех чисел таблицы. Кстати, что строки, что столбцы один... да, результат. И представляет собой четвёртую степень целого числа.
Кстати, что там со степенью 3 в произведении всех 17-ти чисел?
3*6*9*12*15*18*24*27=n* 3^12. И как это возможно выкинуть любое кратное тройке число, в том числе и 27, чтобы в произведении получить четвёртую степень? Поэтому 27 остаётся. И осталось только найти, что надо выкинуть. Мне кажется 25. По аналогичным подобным соображениям.
И вот тогда произведение оставшихся 16 чисел равно 4320^4.
То есть произведение четвёрок по строкам и столбцам равно 4320.
Теперь надо расставить в таблицу шестнадцать чисел
[1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,27], чтобы удовлетворить, понимаешь. Ещё соображение переставлять строки и столбцы можно. И сразу выстроим 5.10.15.20 по диагонали и примемся заполнять остальные клетки. Это тяжело:(
Да, именно! Из условия действительно следует, что общее произведение всех 16 чисел — четвёртая степень. Поэтому запрещённые числа выкидываются, потом из 17 оставшихся по степени пятёрки вынужденно выкидывается 25. Остаётся ровно нужный набор. А дальше его можно расставить так:
1 8 20 27
24 15 6 2
10 3 9 16
18 12 4 5
В каждой строке и каждом столбце произведение 4320.
Лига математиков
1.1K поста2.6K подписчика