Настроешки в картинках-18⁠⁠

Везде где я встречал этот термин была унитальная коммутативная полугруппа по сложению и дистрибутивность. Ассоциативность умножения опционально, но обычно есть. При этом отказаться от коммутативности сложения не проблема. Главное чтобы были содержательные примеры. Основные примеры полуколец на полурешетках, там в виде сложения максимум, кажется.

Криптографию наверняка ищут, но не уверен что здесь. Хотя почему нет.

Факторизация есть у любой алгебраической системы. Это довольно просто само по себе. Но вот описание и классификация уже затруднительна.