Математика⁠⁠

Да, далековато).

Хорошо, как буду поблизости - напишу :D

я так понял имеется от + до - бесконечности?

Смотря как определим множество. Например, множество из 3 чисел: {-1, 0, 1} -- совсем не кольцо, т.к. сложение выводит за рамки множества: 1 + 1 = 2 -- получили 2, а его в нашем множестве нет.

Кстати, а вот относительно умножения оно замкнуто, т.е. умножая элемент множества на любой другой, получаем снова элемент того же множества).

Соответственно, можно взять и такое множество, где от бесконечности до бесконечности.

Нематематический пример:

Возьмём множество всех чашек кофе. Сложение определим как переливание кофе из одной чашки в другую, умножение -- берём кол-во кофе из 2ой чашки, и увеличиваем в столько раз кол-во в 1ой.

Это совсем не кольцо :D

Потому что если мы возьмём 2 полные чашки и сольём вместе, кофе выльется за край -- операция вывела за пределы множества. Чтобы она не выводила, нужно договориться о том, что чашки бесконечны)).

Ну и ещё нарушается одно из свойств -- обратный элемент по сложению.

Пусть существуют чашки с отрицательным кофе. Тогда чашка(2 кофе) и чашка(-2 кофе) дадут в сумме чашку(0 кофе).

Ура!) Теперь наше множество - кольцо.

:D

во вторых пример читорный из за кол-ва функций

Совсем не понял, к чему это относится.

совершенно непонятен вывод по модулю) и дальнейший пример, зачем складывать числа если они принадлежат корзине

Итак.

Попробую вывести ещё раз.

Кольцо вычетов по модулю n: берём n корзин, подписываем числами от 0 до n.

В корзину с номером k кладём все целые числа, которые при делении на n дают остаток k. Например, в корзину с номером 0 попадают числа 0, n, 2n, 3n... Ибо делятся без остатка.

В корзину 1: 1, 1 + n, 1 + 2n, 1 + 3n...

И т.п.

Я показал пример для числа 8.

А теперь считаем каждую корзину числом. И учимся их складывать и умножать ).

Итак. Когда мы складываем корзину A с корзиной B, должны в итоге получить какую-то ещё корзину. Пусть это будет корзина C. Так вот. Как узнать, каким числом подписана корзина C?

А вот так: мы берём любое число из корзины A и складываем с любым числом из корзины B. Не забываем взять остаток ).

И, как ни странно, это подействует.

Например:

Корзины 3 и 4 по модулю 5:

Корзина (3): 3, 8, 13, 18, 23...

Корзина (4): 4, 9, 14, 19, 24...

(3) + (4) = ?

Берём любые 2 числа: я возьму 13 и 24. Чисто случайно. Складываем и берём от результата остаток по 5:

13 + 24 = 37 ( = 2 mod 5, т.к. поделив 37 на 5, получаем остаток 2)

Проверим с какими-нибудь ещё числами:

3 + 4 = 7 ( = 2 mod 5).

13 + 504 = 517 ( = 2 mod 5).

Таким образом:

(3) + (4) = (2).

Так и считается. Надеюсь, теперь понятнее ).

ив конце концов где эту шизофрению можно приложить?

Ну.

Во-первых, это прям очень сильно юзается в криптографии. Есть такое понятие -- асимметричный шифр -- когда у тебя есть 2 ключа, и один открытый, а другой секретный. Открытым шифруют данные, и любой может взять какие-нибудь данные и зашифровать. Но вот расшифровать -- никак. (Или наоборот -- закрытый шифрует, открытый дешифрует). Тут нужен секретный. Который из открытого -- ну никак не получается.

Именно благодаря этому -- берётся какое-нибудь огромнейшее простое число, и что-то там по модулю считается. Таким вот образом вычисляется открытый ключ из секретного.

А во-вторых, тут очень большой простор для фантазии и поиска разных интересных закономерностей).

Например, по модулю 10:

(3 mod 10) = 3, 13, 23, 33, 43...

А по модулю 2 в 0 уйдут все чётные, а в 1 - нечётные (и их ведь можно складывать)):

(0) = 0, 2, 4, 6, 8, 10...

(1) = 1, 3, 5, 7, 9, 11...

Ну и т.п.