Объясните, пожалуйста, чайнику⁠⁠

Вы будете смеяться, но я обращаю внимание на подробнейшую биографию жизни любого такого великого математика или учёного, начинаю читать её с самого его детства...потом устаю и сил на их формулы и желания их разбирать уже не остаётся))

ничего подобного. nbvehbectw выше правильно написал: #comment_273075713

Формулу в школах дают просто как необоснованное определение, с которым каким-то чудом продолжают работать обычные формулы.

Смотрите. Детям в 7 классе рассказывают, как возводить число в целую степень, объясняют смысл, выводят формулы для произведения и отношения степеней, повторного возведения в степень и пр. Потом показывают рациональные степени, уже не так строго. Затем без пояснений, неявно переходят к действительным степеням. Строгого вывода уже нет, но хотя бы интуитивно ученики понимают, о чем речь.

Но в 11 классе школьникам дают формулу Эйлера. Что такое возведение в комплексную и даже чисто мнимую степень, ученики не знают. (В США преподается еще непонятнее: к моменту изучения формулы Эйлера школьники не знают и что такое число e). Так что выглядит формула Эйлера просто как определение: давайте определим экспоненту мнимого числа iφ как комплексное число cosφ + i sinφ. Хорошо, пусть определили.

Затем начинаем пользоваться этой экспонентой мнимого числа по тем правилам, которые в 7 классе были выведены для рациональных степеней. Тут же расширяем мнимые до произвольных комплексных, тут же ищянко выводим формулу Муавра и вообще делаем вид, будто формула Эйлера не формальная запись комплексного числа, а просто число 2.72, возведенное в степень iφ, где i и φ - просто привычные действительные (или даже рациональные) числа.

Почему такой подход работает, в обычных школах не объясняют. Просто примите на веру. В физматах иногда объясняют, но обычно это программа вторых курсов околоматематических факультетов.

Ну если разобралась только с синусами, косинусами и мнимыми единицами, то следующим шагом должна быть экспонента.

Если и с ней все понятно, то дальше в общем-то дело практически в шляпе. Рассматриваемое тобой тождество Эйлера - это всего лишь частный случай формулы Эйлера (на картинке) при z = iπ, выводится тривиально подстановкой. Вопрос в том, откуда получить эту формулу, и тут есть два пути: из определения или в обход. Дело в том, что комплексную экспоненту можно определить разными способами, с ходу в голову приходят три: по формуле через вещественные функции, через ряд Тейлора или как аналитическое продолжение вещественной экспоненты. И при построении теории любое на выбор из этих определений принимается как данность, а для остальных доказывается эквивалентность выбранному. Так вот второе и третье определения строятся весьма сложно, а первое - очень просто. Собственно, оно и написано на картинке.

То есть для понимания того, откуда берется это тождество, тебе достаточно принять как данность формулу Эйлера, написанную на картинке, и подставить в нее z = iπ. Не знаю, принесет ли тебе удовлетворение такой метод, ибо, как мне кажется, для понимания красоты математики нужно разобраться в ней куда глубже.

P.S. А вообще для ознакомления с формулой в режиме научпопа, я бы рекомендовал найти какое-нибудь видео на ютубе с красивыми анимациями. Формула-то популярная, наверняка их много.

Я дико извиняюсь, но уравнений Эйлера херова гора. Какое именно интересует?

https://ru.wikipedia.org/wiki/Список_объектов,_названных_в_честь_Леонарда_Эйлера#Уравнения