Мои разработки для комплекса математических программ (Makarov Math Suite)
Я не раз писал тут про свой комплекс физических программ. Но кроме него у меня получилось одно ответвление - комплекс образовательных программ по математике. Он еще находится на ранней стадии разработки и не известно когда будет готов. Но вчера мне одобрили страничку на Steam, где он будет опубликован в первую очередь, потому я решил запилить про него пост и попросить вас добавить его на Steam в вишлист ( https://store.steampowered.com/app/5204230/Makarov_Math_Suit... ), если кому интересно. Пока что готово мало модулей и все они не в финальном виде, тем не менее...
Почему карты врут? Земля - шар, а карта плоская. Чем-то придётся пожертвовать. Смотрите, как глобус проецируется на плоскость: Гренландия раздувается, Африка сжимается, очертания искажаются. Любая карта - компромисс, вопрос лишь в том, что именно она приносит в жертву.
Векторное поле задаёт направление и силу в каждой точке пространства: ветер, течения, гравитация, магнетизм. Частицы дрейфуют сквозь поле и обнажают его скрытую структуру - источники, стоки, вихри, невидимую архитектуру потока.
Расставьте числа по кругу и соедините каждое линией с его кратным. Умножение на 2 рисует сердцевидную кардиоиду, на 3 - двухлепестковую нефроиду, дальше - всё более причудливые кривые. Школьная арифметика прячет в себе целую галерею геометрии.
Семена укладываются по одному, каждое повёрнуто на золотой угол - примерно 137,5 градуса. Получается спиральный узор, который мы видим у подсолнухов, шишек и ананасов. Измените угол совсем чуть-чуть - и красота рассыпается. Природа выбрала единственный угол, при котором семена упакованы плотнее всего.
Забудьте про алгебру. Квадраты, построенные на двух коротких сторонах прямоугольного треугольника, разрезанные и переложенные, в точности заполняют квадрат на длинной стороне. Одна из древнейших теорем математики - как головоломка, а не как доказательство.
Любой многогранник можно развернуть в плоский лист, и способов сделать это обычно несколько. Кубы и другие тела раскрываются и складываются обратно - и видно, как объёмная фигура тайно живёт в двух измерениях.
Окружность, эллипс, парабола, гипербола: четыре кривые, которые выглядят совершенно разными, но на самом деле - одно и то же: сечения конуса под разными углами. Смотрите, как одна секущая плоскость наклоняется, и кривые перетекают друг в друга. Эти линии управляют всем - от орбит планет до спутниковых тарелок.
Выберите случайную вершину треугольника, прыгните на полпути к ней, повторите тысячи раз. Казалось бы, чистая случайность должна дать бесформенное пятно - но вместо этого проступает треугольник Серпинского, бесконечно вложенный фрактал. Порядок, спрятанный внутри случая.
Выпуклых тел, у которых все грани — одинаковые правильные многоугольники и все вершины устроены одинаково, ровно пять. Шестого нет и не будет. А дальше — срезание углов: каждое ребро отдаёт понемногу с обоих концов, угловые грани растут, старые сжимаются. При t = 1/3 из икосаэдра получается футбольный мяч — двенадцать пятиугольников и двадцать шестиугольников; при t = 1/2 старые грани встречаются серединами рёбер. Срезание в модуле идёт само и останавливается ровно там, где новые грани выходят правильными.
Формы, в которые ложится мыльная плёнка: катеноид, геликоид, поверхности Эннепера и Шерка. У всех средняя кривизна в каждой точке равна нулю — изогнуто в одну сторону ровно настолько же, насколько в другую, — и панель меряет её вживую прямо на поверхности. Самое красивое: поворот одного угла перетекает катеноид в геликоид без единого растяжения — все расстояния на плёнке остаются прежними. Цвет показывает кривизну Гаусса: голубое — почти плоско, пурпурное — самое крутое седло.
Торический узел T(p, q): кривая намотана p раз вокруг дыры тора и q раз вокруг его трубки. Трилистник, пятилистник, зацепление Соломона. Картинка сама считает свои пересечения при любом повороте камеры — и число никогда не опускается ниже известного минимума, как ни крути. Это и значит «инвариант». Поменяй p и q местами: картинка другая, узел — тот же самый, и числа это подтверждают.
Диск Пуанкаре: вся бесконечная гиперболическая плоскость уложена внутрь окружности, и до края — бесконечно далеко. Семиугольники по три в каждой вершине замощают её без зазоров и нахлёстов — в обычной плоскости такое невозможно. Замощение не расставлено руками: оно выращено отражениями одной центральной плитки. И оно течёт — мёбиусов сдвиг скользит узором, плитки всплывают от края и уходят обратно, и ни одно ребро при этом не меняет своей гиперболической длины. Рядом тот же узор поднят на гиперболоид — вторая модель той же геометрии.
Тень тессеракта — куб внутри куба. Поверни тело в плоскости xw, сквозь четвёртое измерение, — и внутренний куб разбухает, проходит сквозь внешний и встаёт на его место. Это «дыхание» и есть четвёртое измерение, увиденное своими глазами. Правильных выпуклых 4-политопов ровно шесть, и все они построены из координат, а не нарисованы: 120-ячейник, например, не вбит руками — его 600 вершин суть центры 600 тетраэдров другого тела, вывернутого наизнанку. Рёбра окрашены по четвёртой координате: тёплые ближе к «4D-глазу», холодные дальше.
Поверхности Римана