Boy, that escalated quickly⁠⁠1

Решим задачу про тор. Ничего кроме того, что Pi иррационально знать не нужно.

@horyzon, замечательно нарисовал объяснение условия и дал первые расчёты. Буду опираться на его работу, см. комментарий #comment_306803817

Итак, для начала решим более простую задачу. Пусть мы прыгаем с шагом x по интервалу (0.1), где 0 и 1 склеены. Т.е. перепрыгивая через 1 мы как бы перепрыгиваем через 0 (см. рис. 1). При этом x иррационально (не представимо в виде отношения двух целых чиссел). Докажем, что g^T(0) всюду плотно (т.е. получающиеся точки приземления при таких прыжках всюду плотны на этом интервале). А что такое всюду плотны? Это означает, что какую бы маленький интевал на этом отрезке мы не выбрали, мы туда через сколько-то шагов припрыгаем. ОК, поехали.

Для начала, мы никогда не попадём обратно в 0 (так как этобы означало что n*x = m*1, что противоречит иррациональности x)/

Давайте прыгать пока мы первый раз не перепрыгнем через 1 (или 0, так как у нас 1 и 0 склеены). Пусть для этого понадобилось n прыжков. Возможны два вариант (рис. 2) - Вариант 1, n*x - 1 < x/2 (Т.е. когда мы прыгали последний раз, то мы нам больше половины х оставалось до 1). Тогда получается, что через n прыжков мы от нуля сдвинулись на расстояние меньше чем x/2.

Если же 1-(n-1)*x < x/2 (второй случай), то можно считать, что за (n-1) прыжок мы прыгнули от 0 влево (а не вправо) на расстояние опять-таки меньше чем x/2.

Почему это важно? Потому, что из-за иррациональности x мы научились сдвигаться от начального положения более мелким (более чем в два раза) шагом.

Значит повторяя эту идею (делая уже меньшие шаги и наблюдая за тем, когда мы перепрыгнем через 1 опять) мы можем еще более чем в два раза уменьшить шаги и т.п.

Замечу, что ровно x/2 тоже не получится, так как это опять означает что мы точно в 1 припрыгаем.

ОК, мы научились двигаться от 0 к 1 (в одну или в другую сторону) сколько угодно мелкими шагами. Ну тогда понятно, что мы припрыгаем в любой, сколько угодно маленький интервал.

Дальше нам понадобится только эта идея.

Применение №1: Линии которые нарисовал уважаемый @horyzon, на своей картинки (цветные наклонные) идут всюду плотно. Ну это понятно, следующая линия начинается в точке (0, 2*Pi/sqrt(2)), т.е. прыгает по отрезку (0, 2*Pi) в точку (0, 2*Pi/sqrt(2)). Это в предыдущей задаче прыжок на x = 1/sqrt(2), которое иррационально (иррациональность корня из 2 доказывают классе в 8-9).

Ок, теперь решим уже основную задачу.

Предположим, что эти точки g^T(x) НЕ ВСЮДУ ПЛОТНЫ. Что это означает? Что в какой-то кружок радиуса E вокруг точки А (рис. 3) мы никогда не припрыгаем. ОК, это также означает, что если мы на линии с таким же наклоном как наши линии на рисунке #comment_306803817 сдвинемся вдоль этой линии на расстояние sqrt(3) и там нарисуем такой же кружок - туда мы тоже не попадём. Соотвественно, давайте прыгать по этой линии (см. рис. 4) на этот шаг sqrt(3). Длина всего отрезка по которому мы прыгаем 2*Pi*(sqrt(1+1/2))=2*PI*sqrt(3/2)=sqrt(2)*Pi*sqrt(3). Отношение длины прыжка к длине отрезка равно sqrt(2)*Pi, поэтому тоже иррационально (вот это школьник вряд ли докажет, что Pi иррационально).

Значит по доказанной нами предыдущей теореме центры этих кружочков всюду плотны на этом отрезке. Значит, внутри каждого кружочка попадает центр ещё одного (рис. 5). Здесь лень строго доказывать, но понятно, что в такое случае у нас есть целая полоса, куда ничего не должно попадать (на рисунке 5 она выделена внутри большой полосы). Ну а дальше смотрим Применение №1 - у нас линии всюды плотны, поэтому в этой маленькой полосе линия с точками есть, а мы доказали, что там ничего нет. Противоречие, следовательно, заполнение всюду плотно.

Спасибо @Deonix, что всколыхнул в груди всё былое и взял на слабо.