В 1960 году физик Юджин Вигнер, за три года до нобелевской премии, опубликовал в математическом журнале статью, которую с тех пор перечитывают чаще, чем большинство его работ по теории ядра. Начиналась она с анекдота. Двое бывших одноклассников встретились, и один, ставший статистиком, принялся объяснять другому свою работу по демографическим тенденциям. Он показал оттиск статьи, там были формулы, и второй, ткнув пальцем в греческую букву, спросил, что это такое. Отношение длины окружности к диаметру, ответил статистик. Собеседник посмотрел на него с сомнением и заметил, что численность населения вряд ли имеет отношение к окружностям. Вигнер вынес отсюда вопрос, который назвал непостижимой эффективностью математики в естественных науках, и признался, что удовлетворительного ответа у него нет. Прошло шестьдесят с лишним лет, ответ так и не сложился в нечто общепринятое, зато вопрос стал заметно интереснее, потому что за это время выяснилось довольно много подробностей о том, где именно математика работает изумительно, где посредственно, а где не работает совсем.
Начать стоит с уточнения того, что, собственно, удивляет. Само по себе то, что счёт применим к яблокам, а геометрия к землемерию, чудом никому не кажется: и то и другое из землемерия с яблоками и выросло. Удивляет другое, гораздо более наглое поведение математики. Формализм, построенный из внутренних соображений красоты и непротиворечивости, вдруг начинает знать о мире вещи, которых в него никто не закладывал. Вы записываете уравнение, чтобы описать уже известное, а оно в нагрузку сообщает вам о существовании чего-то невиданного, и через несколько лет это невиданное находят в лаборатории. Философы называют это избыточным содержанием теории, и именно оно превращает бытовое удобство в загадку.
История этого удивления длинная и начинается задолго до Вигнера. Пифагорейцы шестого века до нашей эры первыми решились сказать, что вещи не просто поддаются счёту, а состоят из числа, и получили за это, согласно легенде, весьма неприятный сюрприз. Кто-то из них доказал, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, то есть отношение этих длин нельзя записать дробью из целых чисел. Предание приписывает открытие Гиппасу из Метапонта и уверяет, что за разглашение его утопили, чему историки не очень верят, но сама история показательна: первое же серьёзное столкновение математики с реальностью вышло скандальным. Платон вывел из подобных наблюдений, что настоящая реальность у геометрических форм, а видимый мир их бледно копирует, и эта мысль оказалась на редкость живучей. Двадцать веков спустя Галилей в «Пробирных дел мастере» 1623 года написал знаменитое: книга природы написана на языке математики, и буквы в ней треугольники, круги и прочие геометрические фигуры, без которых человек блуждает в тёмном лабиринте. Иоганн Кеплер, работавший чуть раньше, дал прекрасный пример того, как эта вера может завести. В 1596 году он опубликовал модель Солнечной системы, где орбиты шести известных тогда планет вписаны в последовательность пяти правильных многогранников, вложенных друг в друга наподобие матрёшки. Конструкция была изумительно красивой и совершенно неверной. Тому же Кеплеру хватило упрямства двадцать лет разбираться с наблюдениями Тихо Браге и получить эллипсы, которые никакой особой красотой не блистали, зато сошлись с данными до минут дуги. Через семь десятилетий Ньютон показал, что эллипсы следуют из закона обратных квадратов, и мир окончательно привык к мысли, что движение планет описывается несколькими строчками.
Дальше начинается вереница случаев, от которых трезвому человеку делается не по себе. Комплексные числа появились в шестнадцатом веке как техническая уловка при решении кубических уравнений, и относились к ним примерно как к бухгалтерской приписке: Декарт назвал их мнимыми, причём в качестве упрёка, и это оскорбление до сих пор служит официальным термином. Три с лишним века спустя выяснилось, что квантовая механика без них не записывается вообще: мнимая единица стоит прямо в уравнении Шрёдингера, и волновая функция комплексна по существу, а не для удобства выкладок. Неевклидова геометрия была придумана Лобачевским, Бойяи и Гауссом из чистого упрямства, из желания понять, что будет, если отказаться от постулата о параллельных, и лет семьдесят числилась по разряду интеллектуальных упражнений. Риман в 1854 году прочёл в Гёттингене пробную лекцию, где обобщил всё это на искривлённые пространства любого числа измерений, и слушателей, кроме престарелого Гаусса, она особо не впечатлила. В 1915 году Эйнштейну понадобился ровно этот аппарат, и он получил его готовым, вместе с тензорным исчислением, которое итальянцы Риччи и Леви-Чивита довели до ума к 1900 году без малейшей мысли о гравитации.
С теорией групп вышло ещё резче. Эварист Галуа, погибший на дуэли в двадцать лет в 1832 году, придумал её, разбираясь с вопросом о разрешимости уравнений в радикалах, то есть с сюжетом настолько внутриматематическим, что дальше некуда. Через сто тридцать лет Марри Гелл-Ман и Ювал Нееман независимо друг от друга заметили, что известные элементарные частицы укладываются в геометрические узоры, отвечающие представлениям одной конкретной группы. В узорах обнаружилась пустая клетка. Гелл-Ман предсказал частицу, которой никто не видел, назвал её омега-минус и указал массу. В 1964 году её нашли в Брукхейвене на пузырьковой камере, и масса совпала. Схожая история приключилась с Полем Дираком, который в 1928 году искал уравнение для электрона, совместимое с теорией относительности, и получил его вместе с решениями отрицательной энергии, от которых невозможно было отделаться. Дирак поступил дерзко и объявил, что решения описывают частицу с зарядом противоположного знака. Карл Андерсон нашёл позитрон в космических лучах в 1932-м. А Вернер Гейзенберг летом 1925 года, отлёживаясь от сенной лихорадки на острове Гельголанд, вывел правила комбинирования квантовых величин, в которых произведение зависело от порядка сомножителей, и совершенно не понимал, что за странность у него получилась. Макс Борн, посмотрев на выкладки, узнал в них матричное умножение, известное математикам с середины девятнадцатого века.
Список можно продолжать долго. Иоганн Радон в 1917 году исследовал чисто абстрактный вопрос о восстановлении функции по её интегралам вдоль прямых, а полвека спустя на этом преобразовании построили компьютерную томографию, за которую Кормак и Хаунсфилд получили нобелевскую премию по медицине в 1979 году. Годфри Харди в 1940 году с некоторым щегольством писал, что теория чисел совершенно бесполезна и потому чиста, а в 1977-м на свойствах больших простых чисел построили шифрование, которым сегодня пользуется каждый банкомат. Теория узлов родилась из ошибочной идеи лорда Кельвина, полагавшего в 1867 году, что атомы суть узлы в эфире, эфир испарился, узлы остались, сто лет служили примером математики без применений, а потом понадобились биологам, разбирающимся с тем, как ферменты распутывают закрученную ДНК.
Тут, однако, самое время притормозить и сказать вещь, которая в популярных рассказах о непостижимой эффективности обычно теряется. Движение идёт в обе стороны, и физика создала для себя огромную часть математики самостоятельно, задним числом передав её математикам на доработку. Дифференциальное исчисление Ньютон изобрёл, потому что ему нужно было считать движение. Фурье придумал разложение в ряды, разбираясь с распространением тепла, и математики потом полвека приводили его вольности в приличный вид. Дельта-функция Дирака была откровенным нарушением правил, объектом, которого не существует, и только Лоран Шварц в конце сороковых построил теорию обобщённых функций, легализовавшую эту контрабанду, за что получил Филдсовскую медаль в 1950 году. Совсем недавняя история ещё нагляднее: в 1991 году четверо физиков-струнников, Канделас, де ла Осса, Грин и Паркс, пользуясь соображениями зеркальной симметрии, которые математически не были обоснованы вообще никак, выписали формулу для числа рациональных кривых любой степени на определённой геометрической поверхности. Алгебраические геометры к тому моменту умели считать такие кривые до третьей степени, с большим трудом. Физическая формула выдавала ответы для всех степеней сразу и совпадала с известными случаями. Дальше последовало десятилетие работы, в ходе которого математики строили строгие основания под то, что физики угадали, и целая область, называемая теперь исчислительной геометрией инвариантов Громова-Виттена, выросла из этого угадывания. Так что картина, где абстрактная математика лежит на полке в ожидании физика, верна ровно наполовину.
Что до объяснений, их накопилось несколько, и они не столько конкурируют, сколько отвечают на разные части вопроса. Самое трезвое и самое неприятное принадлежит Ричарду Хэммингу, тому самому, чьим именем названы коды с исправлением ошибок. В 1980 году он написал ответную статью, где перечислил четыре обстоятельства. Мы видим то, что ищем, поскольку любая теория формируется под уже собранные данные. Мы отбираем ту математику, которая подходит, и молчим о попытках, которые не сработали, а их несравнимо больше. Наука отвечает на удивительно узкий круг вопросов и о подавляющем большинстве явлений говорить отказывается. И наконец, наш мозг отобран эволюцией так, чтобы улавливать в мире регулярности, а математика есть развитие этой способности до предела. Хэмминг закончил признанием, что все четыре довода вместе загадку не снимают, и в этом с ним трудно спорить, но эффект отбора публикаций он ухватил точно: успехи математической физики знают все, а про десятки красивых формализмов, которые ни к чему не приложились, не пишут книг.
Более содержательный ответ связан с симметрией, и Вигнер как раз тот человек, который её в физику и внедрил. Физика занимается тем, что остаётся неизменным при преобразованиях: при сдвиге в пространстве, при повороте, при переносе во времени, при переходе к другой системе отсчёта. Математика с девятнадцатого века занимается ровно тем же самым, поскольку теория групп есть наука об инвариантах. Эмми Нётер доказала в 1918 году теорему, которая связала эти два занятия намертво: каждой непрерывной симметрии физического закона отвечает сохраняющаяся величина. Однородность времени даёт сохранение энергии, однородность пространства даёт сохранение импульса, поворотная симметрия даёт момент импульса. С этой стороны эффективность математики выглядит куда менее чудесной: если мир вообще воспроизводим, если завтрашний опыт похож на вчерашний, а лаборатория в Токио даёт то же, что лаборатория в Женеве, то в мире есть симметрии, а язык для описания симметрий у нас один.
Ещё один ответ появился в семидесятые и до сих пор недооценён публикой. Кеннет Уилсон, нобелевский лауреат 1982 года, разработал ренормализационную группу, из которой следует, почему короткие уравнения вообще могут что-то описывать. Мир устроен слоями по масштабам, и при переходе от мелкого масштаба к крупному подавляющая часть подробностей затухает, оставляя после себя несколько чисел. Инженеру, считающему мост, не нужно знать про кварки, и это обстоятельство не удача, а следствие определённой структуры взаимодействий. Более того, совершенно разные вещества вблизи критической точки ведут себя одинаково, с точностью до одних и тех же показателей: жидкость у точки кипения и магнетик у точки Кюри описываются общими формулами, хотя состоят из разного. Явление называется универсальностью и означает, что природа сама выбрасывает лишнее, оставляя человеку немногословные закономерности. Ощущение чуда при взгляде на формулу закона всемирного тяготения от такого объяснения слегка тускнеет, зато становится понятным.
Полезно посмотреть и на обратную сторону, потому что там математика буксует. Турбулентность мучает физиков полтора столетия, и вопрос о гладкости решений уравнений Навье-Стокса до сих пор входит в список задач тысячелетия с премией в миллион долларов. Свёртывание белков поддалось только грубой силе нейросетей, а не изящным уравнениям. В экономике математический аппарат за столетие достиг впечатляющей изощрённости при довольно скромной предсказательной силе. Израилю Гельфанду приписывают замечание о непостижимой неэффективности математики в биологии, и, кто бы его ни произнёс, замечание точное. Австралийский физик Дерек Абботт в 2013 году опубликовал в трудах IEEE статью с заголовком, вывернутым наизнанку по отношению к вигнеровскому, где доказывал, что математика есть человеческое изобретение, работающее лишь приближённо и лишь там, где мы предварительно упростили задачу до пригодного вида. Есть и совсем строгие ограничения: Гёдель в 1931 году показал, что в достаточно богатой формальной теории найдутся истинные утверждения, недоказуемые внутри неё, а в 2015 году Тоби Кьюбитт с соавторами опубликовали в Nature доказательство того, что для целого класса квантовых моделей вопрос о наличии щели в энергетическом спектре алгоритмически неразрешим. То есть существуют вполне физические вопросы, на которые не отвечает никакое вычисление в принципе.
Из ересей самая громкая принадлежит Максу Тегмарку, который в 2008 году в журнале Foundations of Physics предложил считать, что Вселенная не описывается математической структурой, а является ею. Все математически возможные структуры существуют в равной степени, мы обитаем в одной из тех, где заводятся наблюдатели, и вопрос об эффективности математики снимается сам собой вместе с вопросом, почему в шахматах фигуры ходят по шахматным правилам. Возражают Тегмарку в основном тем, что гипотеза ничего не запрещает и потому ничего не говорит. С противоположного края стоит Хартри Филд, который в книге 1980 года взялся показать, что физика в принципе обходится без математических объектов: он переписал ньютоновскую теорию тяготения на языке отношений между точками пространства-времени, без единого числа, и заявил, что числа суть удобная фикция вроде среднестатистической семьи. Программа оказалась чудовищно громоздкой и на квантовую теорию не расширилась, но как демонстрация принципиальной возможности она стоит внимания. Есть и совсем радикальная линия, идущая от Конрада Цузе, инженера, построившего один из первых компьютеров: в 1969 году он выпустил книжку, где предположил, что Вселенная есть вычислительное устройство клеточного типа. Джон Уилер позже сформулировал ту же интуицию афоризмом о том, что всякое «есть» происходит из бита. Экспериментальных подтверждений у этого направления нет, но идея, что математика описывает мир потому, что мир и есть вычисление, продолжает соблазнять физиков и программистов примерно в равной пропорции.
Отдельно стоит взгляд когнитивистов. Джордж Лакофф и Рафаэль Нуньес в книге 2000 года выводили математические понятия из телесного опыта: число из способности различать малые количества, которая есть у младенцев и у ворон, множество из опыта складывания предметов в ёмкость, функция из движения по траектории. Математики книгу приняли холодно, указав, что происхождение понятия ничего не говорит о том, почему оно работает в области, куда никакой телесный опыт не достаёт, будь то внутренность нейтронной звезды или устройство протона. Возражение сильное. Однако и позиция противоположная, платоническая, которой держались Гёдель и держится Роджер Пенроуз, требует поверить в существование области идеальных объектов, с которой человеческий мозг каким-то образом сообщается, и объяснить механизм этого сообщения никто пока не сумел.