Математика иллюзии: почему идеальных выборов не существует, и при чем тут Нобелевская премия
Мы привыкли считать, что демократические выборы выявляют «волю народа». Спорим о кандидатах, явке и честности подсчета. Но в середине XX века экономисты и математики доказали страшную истину: никакого «общего мнения» не существует в природе.
Исход любых выборов зависит не столько от мнения избирателей, сколько от математических правил подсчета бюллетеней. Давайте сломаем систему и посмотрим, как это работает.
Баг №1: Проблема простого большинства (Эффект спойлера)
Самая популярная система выборов в мире: относительное большинство. Кто набрал больше голосов, тот и победил. Звучит логично? Нет, в ней есть критический изъян.
Представьте страну, где 60% избирателей хотят видеть президентом левоцентриста. На выборы идут два левых кандидата (А и В) и один правый (С). Что происходит? Голоса левых закономерно раскалываются: А получает 30%, В получает 30%. Правый кандидат С получает свои 40% и выигрывает выборы.
Абсурд: победил кандидат, которого абсолютное большинство (60%) терпеть не может!
Баг №2: Парадокс Кондорсе (Общество бегает по кругу)
Еще в XVIII веке французский математик маркиз де Кондорсе предложил справедливую систему: давайте сталкивать каждого кандидата с каждым попарно. Тот, кто выиграет во всех попарных дуэлях: тот и есть истинный выбор народа.
Но Кондорсе сам же и разрушил свою систему. Он обнаружил математическое замыкание. Если каждый человек по отдельности логичен, то общество в целом может оказаться нелогичным.
Представьте трех человек с предпочтениями:
А лучше В, В лучше С.
В лучше С, С лучше А.
С лучше А, А лучше В.
При голосовании А против В: выигрывает А. При В против С: выигрывает В. При С против А: выигрывает С! Общественные предпочтения образуют бесконечный цикл, похожий на игру "Камень, ножницы, бумага". Абсолютного победителя просто не существует.
Баг №3: Метод Борда и внезапные спойлеры
Чтобы избежать циклов, другой француз (Жан-Шарль де Борда) предложил балльную систему. За первое место кандидат получает 3 балла, за второе: 2, за третье: 1. Этот метод до сих пор используется, например, на Евровидении.
Но и здесь кроется ловушка. Появление слабого кандидата-спойлера перераспределяет баллы и может легко превратить проигравшего в победителя. Судьба лидера начинает зависеть от аутсайдеров.
Баг №4 (Взрыв мозга): Парадокс монотонности
А вот реальная задача с олимпиады по экономике, которая ломает интуицию. В стране проходят выборы в два тура. Соревнуются Иванов, Петров и Сидоров.
После подсчета голосов в первом туре расклад такой: Иванов: 9 голосов Петров: 10 голосов Сидоров: 8 голосов
Сидоров выбывает. Во второй тур выходят Петров и Иванов. Сторонники Сидорова отдают свои голоса, и в итоге побеждает Иванов (со счетом 15 против 12).
А теперь следите за руками. Представим, что Иванов провел супер-кампанию и перед первым туром убедил 3 человек перейти на его сторону. Он стал более популярным!
Новые итоги первого тура: Иванов: 12 голосов (он набрал больше!) Петров: 7 голосов (он потерял голоса) Сидоров: 8 голосов
Теперь во второй тур выходят Иванов и Сидоров (Петров выбыл!). И во втором туре сторонники Петрова голосуют за Сидорова. В итоге Иванов с треском проигрывает (со счетом 13 против 14).
Вывод: Кандидат улучшил свои рейтинги среди избирателей, и именно из-за этого проиграл выборы! Привлекая новые голоса, он выбил удобного для себя конкурента и столкнулся с более сильным противником.
Теорема о невозможности: Идеальных выборов нет
В 1951 году экономист Кеннет Эрроу (получивший за это Нобелевскую премию) задался вопросом: можно ли вообще придумать идеальную процедуру голосования, которая будет логичной, будет учитывать мнение каждого и не будет зависеть от "спойлеров"?
Эрроу математически доказал шокирующую Теорему о невозможности: при наличии 3 и более кандидатов не существует ни одной процедуры голосования, которая бы удовлетворяла базовым требованиям справедливости.
Если вы требуете от системы стопроцентной логичности, математика оставляет вам только один рабочий вариант: Диктатуру.
Попробуйте сломать выборы сами
Читать теорию: это одно, а видеть, как ломается математика в реальном времени: совсем другое. Мы на нашей образовательной платформе n2tutor переводим сложную экономику в интерактивный код.
Динамический симулятор Конструктор Выборов
Мы разработали динамический симулятор Конструктор Выборов. Прямо в браузере вы можете задать предпочтения избирателей, переключать системы подсчета голосов (Простое большинство, Два тура, Метод Борда, Метод Кондорсе) и смотреть, как при одних и тех же людях побеждают совершенно разные кандидаты.
Пощупать симулятор и поиграть в политтехнолога можно здесь: n2tutor.org/blog/voting-paradoxes