Lorie

Сечение реакции

Реакция ядерного синтеза, как и любой другой процесс в нашем мире, - вероятностное событие. Необходимым условием для реакции является наличие у ядер минимальной энергии, соответствующей кулоновскому барьеру: чтобы два ядра слились, а как мы помним из курса школьной физики, оба ядра у нас заряжены положительно, нужно преодолеть кулоновскую силу отталкивания и приблизить одно ядро к другому настолько близко, чтобы начали действовать между нуклонами ядерные силы.

Картинка из википедии, где r – расстояние между ядрами, а F – сила взаимодействия между ними (выше оси – отталкивание, ниже оси - притяжение):

При сближении ядер дейтерия и трития на расстояние примерно 10^-15 м, между ними начинают действовать ядерные силы притяжения, которые компенсируют и при дальнейшем сближении превышают кулоновские силы отталкивания. Однако, чтобы преодолеть барьер, требуется кинетическая энергия частиц примерно 450 кэВ для дейтерия и трития и 480 кэВ – для дейтерия и дейтерия. Из Введения мы помним, что 450 кэВ соответствует температуре 450x10^3 x 11600 = 5.2 млрд. градусов, что безумно много.

Спасает ситуацию два эффекта: 1) температура соответствует средней энергии ансамбля частиц, а значит в плазме с температурой 10 кэВ будет много частиц с значительно большей кинетической энергией; 2) туннельный эффект, который допускает преодоление кулоновского барьера частицами с меньшей энергией.

Для описания вероятности атомарных / ядерных процессов используют так называемые сечения (cross section). Для наглядности возьмём шар диаметром 10 см. Площадь проекции шара на плоскость будет 3,14/4х10^2 = 78.5 см^2. Сечение, соответствующее вероятности попадания в шар малой по сравнению с диаметром шара частицы, будет равно 78.5 см^2.

В квантовом мире, ядра частиц неправильно считать твёрдыми шарами, т.к. у них нет чёткой границы. Более того, вероятность взаимодействия частиц (синтез), помимо прочего зависит и от времени взаимодействия. Если ядра пролетают рядом друг с другом на слишком большой скорости, то вероятность их синтеза будет меньше.

Сечения основных реакций синтеза в barns (1 barn = 10^-28 м^2) в зависимости от кинетической энергии (или эквивалентной скорости) налетающей частицы:

Из рисунка видно, что сечения реакций синтеза очень маленькие. Максимальное сечение реакции синтеза дейтерия и трития, при энергии налетающего дейтона порядка 100 кэВ, равно примерно 5х10^-28 м^2.

Какой можно сделать вывод из приведённых сечений?

1) сечение реакции синтеза дейтерия и трития максимальное для энергии до 1 МэВ сравнивая с синтезом D+D и D+He3;

2) вероятность синтеза максимальна для энергии частиц 100 кэВ (100 кэВ = 1.16 млрд. градусов).

Что такое температура?

Тут, я думаю, стоит сделать небольшое отступление от темы и пару слов сказать про понятие температуры.

Так уж исторически получилось, что понятие родилось задолго до понимания самого физического явления. Под температурой в жизни мы понимаем некоторую величину, которая характеризует состояние вещества, его накопленную внутреннюю энергию. В плазме температура – мера запасённой энергии коллектива частиц (атомов / ионов / молекул / электронов). Причём именно коллектива частиц. Может ли ядро дейтерия (дейтон) иметь температуру – нет. Изолированное ядро характеризуется скоростью (импульсом) и соответствующей этой скорости кинетической энергией.

Более того, для газа (а плазма – это газ) понятие температуры применимо в случае максвелловского распределения частиц по скоростям. Ниже приведена картинка функции распределения частиц по скоростям для температуры 20 кэВ. Для удобства скорость указана не в м/с, а выражена через энергию. Примерно половина частиц будет иметь кинетическую энергию больше 20 кэВ и около 2% частиц – энергию больше 100 кэВ.

В плазме температура ионов (ядер дейтерия и трития) и электронов разная. С точки зрения ядерного синтеза нам нужна высокая температура именно ионной компоненты плазмы.

Таким образом, даже в сравнительно холодной плазмы (всего-то 20 кэВ = 232 млн. градусов) часть ядер будет иметь достаточную энергию для реакции термоядерного синтеза.

Критерий Лоусона

Итак, ранее мы определили, какие должны выполняться условия для получения термоядерных реакций, и что даже в сравнительно холодной плазме с температурой в десятки раз ниже кулоновского барьера возможен синтез и выход термоядерных нейтронов.

Условие самоподдерживающейся термоядерной реакции очень удачно записал Джон Дэвид Лоусон в 1955 (1957) году. Вывод основан на балансе получаемой термоядерной энергии в плазме и потерями энергии (тепла) из плазмы в силу неидеальности термоизоляции.

Суммарную энергию в единице объёма плазмы можно выразить через простую формулу:

где n – концентрация плазмы, k – постоянная Больцмана, а T – температура плазмы. Допустим, что плазма потеряет энергию за некоторое характерное время tao_E – время энергетического удержания. Тогда тепловые потери из плазмы (мощность) можно выразить поделив запасённую энергию на время удержания:

Число случившихся реакций синтеза в единицу времени зависит от сечения реакции, скорости (или энергии) и концентраций обоих видов частиц (дейтонов и тритонов), т.е.:

В идеале число дейтонов и тритонов должно быть одинаковым в плазме и соответственно составлять половину от полной концентрации плазмы:

Кроме этого, необходимо учесть неодинаковую скорость (энергию) частиц, т.е. учесть Максвелловское распределение частиц по скоростям. Учёт усреднения по функции распределения вероятности по скоростям записывают как <Sigma*v> - в скобочках.

Подставим в предыдущую формулу и получим:

Каждая реакция синтеза двух частиц (дейтерия и трития) даёт нам энергию, которую уносят нейтрон и альфа-частица (ядро гелия). Энергию нейтронов, к сожалению, не получается использовать для «подогрева» плазмы, т.к. частицы незаряженные и слабо взаимодействуют с ядрами дейтерия и трития. Таким образом в плазме остаётся только энергия ядра гелия E_ch. Ну и соответственно мощность «подогрева» плазмы будет равна:

Условие самоподдерживающейся термоядерной реакции – мощность термоядерного нагрева плазмы должна быть не меньше мощности тепловых потерь:

Простыми алгебраическими преобразованиями придём к формуле (критерий Лоусона):

Правая часть формулы зависит только от температуры плазмы Т, левая – произведение плотности плазмы (концентрации) и времени удержания. Физический смысл формулы – произведение плотности плазмы и времени удержания (время характеризующее тепловые потери из плазмы) должно быть больше некоторой функции, зависящей только от температуры и типа реакции синтеза.

Для разных термоядерных реакций функция n*tao_E от температуры (картинка из википедии):

По рисунку видно, что функция минимальна для реакции дейтерия и трития и минимум (1,5*10^20 с/м^3) достигается при температуре 26 кэВ.

Два типа термоядерных реакторов

Критерий Лоусона значит, что для реализации самоподдерживающейся термоядерной реакции при заданной температуре произведение концентрации плазмы и времени удержания должно быть выше некоторого значения, определяемого только температурой плазмы и видом термоядерной реакции. Отсюда следует два подхода к реализации самоподдерживающейся термоядерной реакции:

1)  большое время удержания и сравнительно низкая концентрация плазмы (установки с магнитным удержанием плазмы – токамаки, стеллараторы и т.п.)

2) большая концентрация и сравнительно низкое время удержания (установки инерциального синтеза – лазерный термояд, пинчи и т.п.)

Более того, минимальные требования к критерию Лоусона достигаются для D-T реакции при температуре около 26 кэВ. Следующая реакция - синтез D-D требует температуру примерно 1000 кэВ. Но эти значения даны именно для самоподдерживающейся реакции, т.е. энергии ядерного синтеза достаточно для поддержания температуры плазмы. В том случае, если используются внешние источники нагрева, как это происходит в современных экспериментальных плазменных установках, реакции синтеза происходят и при более низких температурах, но эти реакции прекращаются при выключении дополнительного нагрева плазмы.

Вместо выводов

Надеюсь теперь понятно, почему самоподдерживающаяся реакции синтеза легко достижимы в звёздах (высокая плотность и огромное время удержания) и крайне проблематична в условиях Земли.

В следующий раз рассмотрим принцип работы токамака, как одного из типов перспективных установок для УТС.

Единица энергии и температуры электронвольт

Так уж повелось, что в УТС и в атомарной физике энергию частиц и температуру обычно измеряют в специфических единицах – электронвольтах (эВ, eV). Так вот за 1 эВ принимается энергия, которую наберёт частица с электрическим зарядом равный заряду электрона (qe = 1.6e-19 Кл) при прохождении разницы потенциалов в U = 1 Вольт:

Таким образом, 1 эВ – это очень маленькая величина энергии (1.6e-19 Дж), намного меньше, чем привычный нам Джоуль и уж тем более кВт*час (1 кВт*час = 3’600’000 Дж). В 1 Дж содержится 1/1.6e-19 = 6.25e18 электронвольт.

Теперь про температуру. Энергия частицы связана с температурой (в Кельвинах) через постоянную Больцмана E = kT (k = 1.38e-23 Дж/К). Теперь, сравнивая с предыдущим уравнением, получим:

Откуда 1 градус Кельвина соответствует температуре T_eV = U = k/q_e*T_K = 1.38e-23/1.6e-19*1 = 8.625e-5 эВ, или 1 эВ = 1.6e-19/1.38e-23*1 = 11600 К. Получаем, что 1 эВ соответствует температуре 11600 К, что довольно много.

Характерная температура плазмы в современных термоядерных установках – тысячи электронвольт, или, переводя в привычные нам градусы Цельсия или Кельвина (при таких высоких температурах сдвиг в 273 градуса роли не играет), десятки миллионов градусов.

Разобравшись в единицах измерения энергии и температуры перейдём к ядерным реакциям.

Реакции деления и синтеза

Как известно каждому школьнику, нас окружают предметы, состоящие из молекул и атомов, а те в свою очередь образуются из элементарных частиц: ядра атомов содержат протоны и нейтроны (вместе нуклоны), а электроны – окружают ядра атомов. Каждая элементарная частица обладает энергией покоя, равной произведению массы частица на квадрат скорости света (то самое уравнение Эйнштейна):

Для примера посчитаем энергии покоя нейтрона, протона и электрона (точные значения взяты из википедии):

Наш мир так устроен, что если из протонов, нейтронов и электронов собрать атом, то суммарная энергия покоя атома будет всегда немного меньше суммы энергий покоя его составляющих. Разница между энергией покоя составляющих нуклонов (протонов и нейтронов, электроны можно не учитывать в силу малого вклада) и энергией покоя атома (или просто ядра атома) называется энергией связи нуклонов и для разных ядер (легкие-тяжёлые) она разная.

На рисунке ниже показана зависимость энергии связи нуклонов от суммы всех нуклонов в ядре (для удобства энергия связи поделена на количество нуклонов в ядре):

Из рисунка видно, что максимальная энергия связи в ядрах с количеством нуклонов примерно 60, для лёгких ядер и для более тяжёлых энергия связи меньше. Минимальная энергия связи у водорода, т.к. ядро его состоит только из протона (у протона, что логично, энергия связи равна нулю).

Реакции синтеза – это те ядерные реакции, в результате которых из лёгких ядер получаются более тяжёлые (левая часть рисунка, движение слева направо). Реакции деления – тяжёлые ядра делятся на более лёгкие (правая часть, движение справа налево).

Ядерная реакция, которая будет использоваться в термоядерных установках ближайшего будущего, - реакция синтеза дейтерия (D – изотоп водорода, у которого в ядре 1 нейтрон и 1 протон) и трития (T – изотоп водорода с двумя нейтронами и одним протоном). В результате реакции получается гелий-4 (He4) нейтрон (n):

Теперь посчитаем полную энергию частиц до реакции (D+T) и после (p – протон, n – нейтрон, dE – энергия связи):

До:

После:

Хорошо видно, что суммарная энергия частиц после реакции синтеза немного меньше энергии до. Разница составляет 4684,57-4666,97 = 17,6 МэВ. Причём этот излишек энергии распределяется между гелием 4 и нейтроном обратно пропорционально их массам: у нейтрона будет 14,1 МэВ, а у гелия 4 (альфа-частица) – 3,5 МэВ.

Для сравнения, в результате деления 1 ядра урана-235 образуется торий 231 и гелий-4 и избыточная энергия 4,68 МэВ.

Задача 1

Давайте ради интереса посчитаем, сколько должно слиться ядер дейтерия и трития, чтобы термоядерной энергии хватило для кипячения 1 л воды.

Для нагрева 1 л воды от 20 до 100 С требуется энергии:

Ну и поделив получившееся число на 17,6 МэВ (энергия от синтеза 1 ядра дейтерия и трития) получим, что для кипячения 1 л воды нужно, чтобы в реакцию синтеза вступило 2.1e18/17.6 = 1.2e17 пар частиц.

На первый взгляд это астрономическое число, но учитывая, что дейтерий и тритий очень лёгкие, нам нужно всего:

Т.е. всего 1 нг смеси дейтерия и трития.

Задача 2

Сколько надо сжигать смеси дейтерия и трития, чтобы генерируемая мощность была 3.2 ГВт (тепловая мощность реактора РБМК-1000)?

Получается, что каждую секунду должно проходить 1,14e21 реакций синтеза дейтерия и трития или переведём в более привычные нам единицы измерения (микрограммы):

А за 1 год нужно будет полученные значения умножить на 365*24*3600 = 31’536’000 сек:

Это уже что-то более ощутимое, правда? 300 кг смеси дейтерия и трития должно сгореть за год, чтобы была термоядерная станция с тепловой мощностью 3,2 ГВт.

Мировое производство дейтерия – десятки тысяч тонн в год (согласно википедии), значит с дейтерием у нас проблем не будет. А что с тритием? А вот с тритием проблемы. В настоящее время трития в год производится всего несколько килограмм, а для энергетического реактора этого крайне мало. Значит нужно развивать ещё технологию производства трития. Кстати, на iter отдельным пунктом стоит отработка технологии наработки трития.

На этом конец введения. В следующей заметке посмотрим на сечение термоядерной реакции и разберём два принципа построения установок для управляемого термоядерного синтеза – с магнитным удержанием и инерциальных.

где S_0 – сумма кредита, p – годовая процентная ставка, m – количество месяцев кредита. Отсюда легко выразить сумму кредита S_0 в зависимости от ежемесячного платежа, процентной ставки и срока:

Далее буду считать, что необходимо собрать минимум P_0 = 20% от стоимости (тот самый жирок), чтобы кредит таки выдали. Получим в итоге формулу стоимости недвижимости от ежемесячного платежа (та самая платёжеспособность), процентной ставки и срока:

А теперь визуализация… Возьмём ежемесячный платёж s_i = 20 тысяч рублей и посмотрим, какую квартиру сможем себе позволить с ипотекой на 10-20-30 лет и разной процентной ставкой:

Кривые на рисунке фактически отражают стоимость недвижимости в зависимости от процентной ставки при одинаковой покупательской способности (20 тыс. рублей в месяц).

Для наглядности выделил на кривой, соответствующей 20-летней ипотеке, две точки: для ставки 9,5% - стоимость квартиры составляет 2 682 тыс. рублей (первоначальный взнос 0,2*2682 = 536 тыс.), а для 6,5% ставки – 3 353 тыс. рублей (первоначальный взнос 671 тыс.). Получается, на первый взгляд, что снижение ставки c 9,5% до 6,5% позволит приобрести более дорогую квартиру (на 3353/2682-1 = 25%) при том же самом ежемесячном платеже лишь имея на 671-536 = 135 тыс. рублей больший первоначальный взнос. Но проблема в том, что это условие применимо ко всем игрокам рынка и ничто не мешает застройщику поднять цену на те же 25%, что мы и имеем возможность наблюдать в текущем году. Цены выросли примерно на 20-25% в Москве.

А теперь чем плоха низкая процентная ставка… Уменьшение ставки по кредиту всегда (на самом деле почти всегда) приводит к росту стоимость и частичной компенсации спроса со стороны покупателей. Увеличение стоимости жилья – хорошее основание для инвестиции в бетон., что тоже поддерживает спрос.

Но тут кроется один большой минус – цена растёт. А следовательно, собрать первоначальный взнос становится сложнее. Ещё в худшей ситуации оказываются те, кто планировал первоначальный взнос в 50% и более. Получается, что уменьшение ставки приводит к невозможности покупки недвижимости «за наличные» без кредита или с привлечением небольших заёмных средств. В настоящий момент такая ситуация сложилась в развитых европейских странах, где уже почти никто не покупает квартиры и дома без кредитов, потому что это практически невозможно.

Те, кто мог себе позволить платить 20 тысяч в месяц на протяжении 20 лет при ставке в 15% купили бы квартиру за 1,9 млн (правая точка на красной кривой) с первоначальным взносом 380 тысяч, но при ставке в 0% годовых будут покупать ту же квартиру но за 6 млн (левая точка) и уже с первоначальным взносом 1200 тысяч. Получается, что первоначальный взнос при 20-летней рассрочке составляет аж 63% от стоимости квартиры при ставке 15%. Здорово, правда?

А ещё… Себестоимость то остаётся примерно такой же. Получается, что при высокой ставке будет зарабатывать банк, а при низкой – застройщик (продавец). Что лучше? На мой взгляд – банк, т.к. всегда есть гипотетическая возможность не пользоваться заёмными средствами или гасить кредит досрочно (см. пост). А если цена высокая, то уже без кредита никак.

А что, если сделать ставку по кредиту отрицательной? Кривые можно продлить и влево. Если отталкиваться от покупательской способности населения, то при отрицательной ставке цены ещё вырастут и сильно, компенсировав мнимую выгоду.

Я надеюсь, теперь понятно почему у нас в этом году выросли цены на квартиры и почему в Европе ставка по кредитам всё падает и падает. Уменьшение ставки создаёт иллюзию возможности позволить себе что-то более дорогое, что раньше стоило значительно меньше, тем самым пытаются поддерживать спрос и спасают застройщиков.

P.S. Timeo Danaos et dona ferentes