Управляемый термоядерный синтез: Часть 1. Сечение реакции и Критерий Лоусона⁠⁠

Наконец-то нашлось время на давно обещанный пост про УТС.

Итак, в прошлый раз мы разобрались что такое единица измерения температуры и энергии электронвольт (эВ) и рассмотрели два типа ядерных реакций – реакции синтеза лёгких ядер и деления тяжёлый. В этот раз рассмотрим вероятность синтеза ядер и один из основополагающих критериев термоядерного синтеза - критерий Лоусона.

Сечение реакции

Реакция ядерного синтеза, как и любой другой процесс в нашем мире, - вероятностное событие. Необходимым условием для реакции является наличие у ядер минимальной энергии, соответствующей кулоновскому барьеру: чтобы два ядра слились, а как мы помним из курса школьной физики, оба ядра у нас заряжены положительно, нужно преодолеть кулоновскую силу отталкивания и приблизить одно ядро к другому настолько близко, чтобы начали действовать между нуклонами ядерные силы.

Картинка из википедии, где r – расстояние между ядрами, а F – сила взаимодействия между ними (выше оси – отталкивание, ниже оси - притяжение):

При сближении ядер дейтерия и трития на расстояние примерно 10^-15 м, между ними начинают действовать ядерные силы притяжения, которые компенсируют и при дальнейшем сближении превышают кулоновские силы отталкивания. Однако, чтобы преодолеть барьер, требуется кинетическая энергия частиц примерно 450 кэВ для дейтерия и трития и 480 кэВ – для дейтерия и дейтерия. Из Введения мы помним, что 450 кэВ соответствует температуре 450x10^3 x 11600 = 5.2 млрд. градусов, что безумно много.

Спасает ситуацию два эффекта: 1) температура соответствует средней энергии ансамбля частиц, а значит в плазме с температурой 10 кэВ будет много частиц с значительно большей кинетической энергией; 2) туннельный эффект, который допускает преодоление кулоновского барьера частицами с меньшей энергией.

Для описания вероятности атомарных / ядерных процессов используют так называемые сечения (cross section). Для наглядности возьмём шар диаметром 10 см. Площадь проекции шара на плоскость будет 3,14/4х10^2 = 78.5 см^2. Сечение, соответствующее вероятности попадания в шар малой по сравнению с диаметром шара частицы, будет равно 78.5 см^2.

В квантовом мире, ядра частиц неправильно считать твёрдыми шарами, т.к. у них нет чёткой границы. Более того, вероятность взаимодействия частиц (синтез), помимо прочего зависит и от времени взаимодействия. Если ядра пролетают рядом друг с другом на слишком большой скорости, то вероятность их синтеза будет меньше.

Сечения основных реакций синтеза в barns (1 barn = 10^-28 м^2) в зависимости от кинетической энергии (или эквивалентной скорости) налетающей частицы:

Из рисунка видно, что сечения реакций синтеза очень маленькие. Максимальное сечение реакции синтеза дейтерия и трития, при энергии налетающего дейтона порядка 100 кэВ, равно примерно 5х10^-28 м^2.

Какой можно сделать вывод из приведённых сечений?

1) сечение реакции синтеза дейтерия и трития максимальное для энергии до 1 МэВ сравнивая с синтезом D+D и D+He3;

2) вероятность синтеза максимальна для энергии частиц 100 кэВ (100 кэВ = 1.16 млрд. градусов).

Что такое температура?

Тут, я думаю, стоит сделать небольшое отступление от темы и пару слов сказать про понятие температуры.

Так уж исторически получилось, что понятие родилось задолго до понимания самого физического явления. Под температурой в жизни мы понимаем некоторую величину, которая характеризует состояние вещества, его накопленную внутреннюю энергию. В плазме температура – мера запасённой энергии коллектива частиц (атомов / ионов / молекул / электронов). Причём именно коллектива частиц. Может ли ядро дейтерия (дейтон) иметь температуру – нет. Изолированное ядро характеризуется скоростью (импульсом) и соответствующей этой скорости кинетической энергией.

Более того, для газа (а плазма – это газ) понятие температуры применимо в случае максвелловского распределения частиц по скоростям. Ниже приведена картинка функции распределения частиц по скоростям для температуры 20 кэВ. Для удобства скорость указана не в м/с, а выражена через энергию. Примерно половина частиц будет иметь кинетическую энергию больше 20 кэВ и около 2% частиц – энергию больше 100 кэВ.

В плазме температура ионов (ядер дейтерия и трития) и электронов разная. С точки зрения ядерного синтеза нам нужна высокая температура именно ионной компоненты плазмы.

Таким образом, даже в сравнительно холодной плазмы (всего-то 20 кэВ = 232 млн. градусов) часть ядер будет иметь достаточную энергию для реакции термоядерного синтеза.

Критерий Лоусона

Итак, ранее мы определили, какие должны выполняться условия для получения термоядерных реакций, и что даже в сравнительно холодной плазме с температурой в десятки раз ниже кулоновского барьера возможен синтез и выход термоядерных нейтронов.

Условие самоподдерживающейся термоядерной реакции очень удачно записал Джон Дэвид Лоусон в 1955 (1957) году. Вывод основан на балансе получаемой термоядерной энергии в плазме и потерями энергии (тепла) из плазмы в силу неидеальности термоизоляции.

Суммарную энергию в единице объёма плазмы можно выразить через простую формулу:

где n – концентрация плазмы, k – постоянная Больцмана, а T – температура плазмы. Допустим, что плазма потеряет энергию за некоторое характерное время tao_E – время энергетического удержания. Тогда тепловые потери из плазмы (мощность) можно выразить поделив запасённую энергию на время удержания:

Число случившихся реакций синтеза в единицу времени зависит от сечения реакции, скорости (или энергии) и концентраций обоих видов частиц (дейтонов и тритонов), т.е.:

В идеале число дейтонов и тритонов должно быть одинаковым в плазме и соответственно составлять половину от полной концентрации плазмы:

Кроме этого, необходимо учесть неодинаковую скорость (энергию) частиц, т.е. учесть Максвелловское распределение частиц по скоростям. Учёт усреднения по функции распределения вероятности по скоростям записывают как <Sigma*v> - в скобочках.

Подставим в предыдущую формулу и получим:

Каждая реакция синтеза двух частиц (дейтерия и трития) даёт нам энергию, которую уносят нейтрон и альфа-частица (ядро гелия). Энергию нейтронов, к сожалению, не получается использовать для «подогрева» плазмы, т.к. частицы незаряженные и слабо взаимодействуют с ядрами дейтерия и трития. Таким образом в плазме остаётся только энергия ядра гелия E_ch. Ну и соответственно мощность «подогрева» плазмы будет равна:

Условие самоподдерживающейся термоядерной реакции – мощность термоядерного нагрева плазмы должна быть не меньше мощности тепловых потерь:

Простыми алгебраическими преобразованиями придём к формуле (критерий Лоусона):

Правая часть формулы зависит только от температуры плазмы Т, левая – произведение плотности плазмы (концентрации) и времени удержания. Физический смысл формулы – произведение плотности плазмы и времени удержания (время характеризующее тепловые потери из плазмы) должно быть больше некоторой функции, зависящей только от температуры и типа реакции синтеза.

Для разных термоядерных реакций функция n*tao_E от температуры (картинка из википедии):

По рисунку видно, что функция минимальна для реакции дейтерия и трития и минимум (1,5*10^20 с/м^3) достигается при температуре 26 кэВ.

Два типа термоядерных реакторов

Критерий Лоусона значит, что для реализации самоподдерживающейся термоядерной реакции при заданной температуре произведение концентрации плазмы и времени удержания должно быть выше некоторого значения, определяемого только температурой плазмы и видом термоядерной реакции. Отсюда следует два подхода к реализации самоподдерживающейся термоядерной реакции:

1)  большое время удержания и сравнительно низкая концентрация плазмы (установки с магнитным удержанием плазмы – токамаки, стеллараторы и т.п.)

2) большая концентрация и сравнительно низкое время удержания (установки инерциального синтеза – лазерный термояд, пинчи и т.п.)

Более того, минимальные требования к критерию Лоусона достигаются для D-T реакции при температуре около 26 кэВ. Следующая реакция - синтез D-D требует температуру примерно 1000 кэВ. Но эти значения даны именно для самоподдерживающейся реакции, т.е. энергии ядерного синтеза достаточно для поддержания температуры плазмы. В том случае, если используются внешние источники нагрева, как это происходит в современных экспериментальных плазменных установках, реакции синтеза происходят и при более низких температурах, но эти реакции прекращаются при выключении дополнительного нагрева плазмы.

Вместо выводов

Надеюсь теперь понятно, почему самоподдерживающаяся реакции синтеза легко достижимы в звёздах (высокая плотность и огромное время удержания) и крайне проблематична в условиях Земли.

В следующий раз рассмотрим принцип работы токамака, как одного из типов перспективных установок для УТС.