"Жи", "ши" пиши с "и"?⁠⁠1

Всем привет. Небольшое вступление, потом к сути.
Работаю в Турции на российскую мегакорпорацию. Много русских и турецких. У турок очень много букв "ы" в словах, особенно в фамилиях и как де сильно у меня подгорает, когда я вижу фамилию "ЫшЫк", или КыджЫ, написанную через "Ы". Ведь мне с детства вдолбили гранитом, что жи Ши пиши с "и".
Мой мозг отказывается принимать подобное и я уже открыто негодую, коллеги ржут, говорят успокойся, это турецкие фамилии и это просто транскрипция и так должно быть. Но нет не должно! Жи Ши пиши с буквой "и" - точка.
Призываю лигу граммарнаци, словонаци, и прочих добрых людей с филологическим образованием.
Разъясните, пожалуйста, малограмотному, как на самом деле.