Мальчики, девочки и статистика⁠⁠2

Теперь рассмотрим два разных вопроса.

Вопрос 1. Мы знаем, что старший ребёнок — мальчик. Какова вероятность, что младший — девочка?

3-й и 4-й варианты здесь невозможны, остаются только два варианта и они равновероятны. Ответ: 1/2.

Вопрос 2. Мы случайно выбрали семью и узнали, что хотя бы один ребёнок в ней — мальчик. Какова вероятность, что второй ребёнок — девочка?

Теперь исключаем только одну семью — ту, в которой оба ребёнка девочки. Остаются три варианта, в двух из которых есть девочка. Ответ: 2/3.

Почему результаты разные? Потому что условия задачи разные. В первом случае мы знаем пол конкретного ребёнка. Во втором — только то, что в семье есть хотя бы один мальчик.

Вопрос 3. Мы случайно выбрали семью, затем случайно выбрали одного из двух детей и выяснили, что это мальчик. Какова вероятность, что второй ребёнок — девочка?

И тут вы меня порадовали, ибо целых 77% ответили правильно!

Но я прекрасно знаю, что многие здесь воспользовались логикой из анекдота:

Ведь здесь важно учесть механизм отбора: в семье с двумя мальчиками случайно выбранный ребёнок обязательно окажется мальчиком, а в смешанной семье вероятность выбрать мальчика составляет только 1/2.

То есть в данной задаче все варианты возможны: Мм, Мд, Дм, Дд. Однако порядок, старшинство здесь значения не имеет, поэтому мы получаем, что Мд и Дм — это подгруппы смешанных семей.

Если мы возьмём 100 семей, то у нас получится, что 25 семей с двумя мальчиками дают 50 мальчиков, 25 семей с двумя девочками дают 50 девочек, а 50 смешанных семей дают по 50 мальчиков и девочек.

Среди всех 100 мальчиков, которых можно было бы случайно выбрать, 50 имеют сестру, а 50 — брата. Поэтому ответ: 1/2.

Дело не в том, что "либо мальчик, либо девочка", а в том, что в данном случае эти варианты равновероятны.

Вот мы и добрались до важного методологического момента: нельзя решать вероятностную задачу, просто подсчитав варианты, не выяснив, равновероятны ли они после получения условия.

Вероятность Мд — 25%, вероятность Дм — 25%, а вероятность того, что в семье будут разнополые дети — 50%. И вот у нас уже неравновероятные варианты, у них веса разные.

Один из детей — мальчик, рождённый во вторник

В посте из тредса эта вариация является наиболее интересной. Это весьма известная задача, которая сразу показывает, умеет человек обращаться со статистикой и вероятностями или нет.

"День недели не влияет на пол" — скажет средний гражданин. И только человек, который плакал над учёбой скажет, что:

Предположим:

• мальчики и девочки рождаются с одинаковой вероятностью;

• каждый день недели одинаково вероятен;

• пол и день рождения независимы;

• мы случайно выбираем семью из семей с двумя детьми, в которых хотя бы один ребёнок — мальчик, родившийся во вторник.

Тогда у каждого ребёнка теперь 14 равновероятных характеристик: два варианта пола и семь дней недели. Тогда у двух детей получается 196 упорядоченных комбинаций. А комбинаций, в которых нет мальчика, родившегося во вторник: 13 * 13 = 169.

Следовательно, условию "хотя бы один мальчик, родившийся во вторник", соответствуют:
196 – 169 = 27

Первый ребёнок может быть мальчиком, родившимся во вторник, а второй — девочкой в любой день недели. Это 7 вариантов. И наоборот: первый — девочка в любой день недели, второй — мальчик, родившийся во вторник. Ещё 7 вариантов. Итого 14 комбинаций.

14/27 = 51,85%

ЧТО ПРОИСХОДИТ?

Вероятность. Но не простая, а условная вероятность. Она отвечает на вопрос: какова вероятность события A при условии, что событие B уже произошло?

В данном случае дело в том, что существуют в данной модели семьи с двумя мальчиками, в которых оба мальчика родились во вторник. И это важно.

Вообще, когда мы отбираем наблюдения по определённому признаку, исходное распределение может измениться. Это называется эффектом отбора, а в исследованиях оно часто обсуждается в контексте систематической ошибки отбора.

Это всё настолько потрясно, а мы даже до моих любимых парадокса Берксона и парадокса Монти Холла не добрались. Объяснение первого парадокса в художественных фильмах я не видел, а вот второй: