Пост носит развлекательно–познавательный характер.
Все вычисления выполнены в Wolfram Mathematica 12.0.
Теперь к "вечным" вопросам "Является ли 0 натуральным числом?" (и да, и нет) и "Действительно ли 0.(9) равно 1?" (да) можно добавить вопрос "Чему равен ∛(–8)?" (и сослаться на авторитет Wolfram Mathematica).
P.S. Если кому-то понадобится:
√ ∛ ∜ 𝕚 ·x⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸˙⁹⁺⁻ᐟ˙ᐧ⁼⁾⁽ⁿ
x₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉₊₋₌₎₍
Забава-забава. Но значки корня у вас разные в примерах. Полагаю, первый знак должен возвращать только реальный результат?
Но значки корня у вас разные в примерах.Да, всё верно – это одно из отличий. И первый знак радикала (с хвостиком справа) действительно возвращает только вещественные значения (и вычисляется только из вещественных чисел, а для корней чётной степени – только из неотрицательных). Это так называемый "surd" – школьный вариант корня. Второй знак радикала (без хвостика) выдаёт главное значение ("principal value") комплексного числа. Даже не знаю, используется ли ещё в каких-нибудь матпакетах подобное различие в обозначенях.
Не совсем: ∛(–8) = –2 – это не арифметический корень (они определены только для неотрицательных чисел и возвращают только неотрицательные значения). С обозначениями корней много путаницы (имеющей естественное объяснения, т.к. функция корня n-й степени по своей природе многозначна). Так, запись ∛(–8) = 1 + 𝕚·√3 столь же корректна, как и ∛(–8) = –2. Стандартных средств отличить эти равно возможные значения корня (университетское и школьное) не существует – вот Mathematica и изголяется. И это мы ещё не вспомнили про 1 – 𝕚·√3 (который является третьим значением алгебраического корня).
Вроде бы есть разные определения арифметического корня, некоторые допускают корень нечетной степени из отрицательного числа, возвращают они так же вещественное отрицательное число. Но могу ошибаться.
А вольфрам вроде возвращает тот корень, у которого наименьший аргумент. И, хоть этот мощный математический инструмент мне и нравится, этот момент немножко нервирует, потому что правило высосано из пальца. Мог бы запросто показывать и все корни.
А вольфрам вроде возвращает тот корень, у которого наименьший аргумент.
Да – это и есть определение главного значения корня: максимальная вещественная часть и минимальный модуль аргумента. У вольфрама для корней целый набор функций: Sqrt, CubeRoot, Surd, Power – и каждая возвращает свои значения. За "школьное" определение отвечают CubeRoot и Surd – на рисунке это радикал с "хвостиком". Главное значение корня выдают Sqrt и Power – радикал с "винкулум" (без "хвостика"). Но, вообще, "главное" значение – понятие относительное и его (в общем случае) можно определять произвольно в зависимости от контекста. А все корни проще всего вернуть, наверное, так:
z /. Solve[z³ == –8, z] // ComplexExpand
> {–2, 1 + 𝕚·√3, 1 – 𝕚·√3}
Арифметический корень обычно определяется только для неотрицательных действительных чисел – такое соглашение очень удобно, т.к. исключает всякую неоднозначность. Корни нечётной степени из отрицательных чисел, изучаемые в школе, обычно называют просто "корень" – например, √4 = 2 – это арифметический квадратный корень из 4, а ∛(–8) = –2 – просто кубический корень (т.к. других действительных корней третьей степени из –8 нет, а у корня квадратного из 4 есть ещё одно значение: –√4 = –2).
В английском языке, кстати, всё немного по-другому: понятие "арифметический корень" обычно вообще не используется, но вводится понятие "the principle value" – главное значение корня, которое распространяется и на комплексные числа. При этом положительное значение квадратного корня (вместо "the principle square root") обычно называют просто "the square root" – т.е. не любой корень, а особый. Благо, наличие артиклей это позволяет. А про ∛(–8) = –2 говорят "the (real) cube root", при этом ∛(–8) = 1 + 𝕚·√3 – "the principal cube root".
Лига математиков
1.2K пост2.6K подписчика