Death Saving Throws - вероятность выжить в D&D 5e⁠⁠

В D&D 5е по правилам, если урон опускает здоровье персонажа до 0, но не убивает его, персонаж теряет сознание и должен делать спасброски в конце каждого хода.

Персонаж кидает d20 в начале каждого своего хода. Если результат 10 или выше - это успех, в противном случае - провал. При третьем успехе персонаж стабилизируется и остаётся жив, а при третьем провале - персонаж умирает.

При этом есть дополнительные правила: 1 на кубе считается за два провала, а 20 восстанавливает одно очко здоровья и персонаж сразу же выживает.

Возникает естественный вопрос: какова вероятность выжить, при условии, что мастер не добивает персонажей игрока и сам персонаж не получает урона.

Оказывается, эту вероятность вполне можно посчитать. Заметим, что поскольку броски кубика физически независимы, то сколько бы у нас ни было успехов и провалов в данный момент, новое их число будет зависеть лишь от текущего состояния и броска кубика, но не от всех предыдущих бросков кубика.

Соответственно, можно построить математическую модель выживания в нуля хитах с использованием поглощающих марковских цепей.

Всего у нас будет 11 состояний: S (выживание), F (противоположный исход), 0 (нулевое состояние), - (один провал), + (один успех), -- (два провала), -+ (один успех и один провал), ++ (два успеха), --+ (два провала и один успех), -++ (один успех и два провала), --++ (два успеха и два провала).

Схема перехода достаточно проста:

С вероятностью 1/20 мы выкидываем 1 и увеличиваем количество "-" на 2.

С вероятностью 2/5 мы выкидываем число в диапазоне от 2 до 9 и увеличиваем количество "-" на 1

С вероятностью 1/2 мы выкидываем число в диапазоне от 10 до 19 и увеличиваем количество "+".

С вероятностью 1/20 мы выкидываем 20 и автоматически переходим в состояние S.

Всё вышесказанное можно описать следующей матрицей перехода (числа матрицы - это вероятность перейти из состояния в строке в состояние в столбце, если использовать вышеуказанную нумерацию):

Например, для того, чтобы найти вероятность перейти из состояния "-+" в cостояние "++-", нужно найти строку "-+", столбец "++-" и посмотреть число в их пересечении. В данном примере это 1/2.

На картинке видно, что я разбил матрицу на четыре области - единичная матрица и нулевая матрица в верхней части, и две матрицы R размером 9x2 и Q 9x9 в нижней части.

Именно эти матрицы нам потребуются для нахождения нужных нам вероятностей. В теории марковских цепей доказано, что подобный марковский процесс попадает в поглощающее состояние, и бесконечный ряд N=I+Q+Q^2+... сходится, а его сумма равна N=(I-Q)^{-1}.

Матрица N называется фундаментальной матрицей процесса, и при этом произведение матриц NR даст нам вероятности поглощения при произвольных начальных состояниях.

Если мы проведём эти манипуляции, в конце концов, мы получим следующую матрицу:

Первый столбец - это вероятности выживания при начальных состояниях 0, -, +, --, -+, ++, --+, ++-, --++ соответственно, а второй - вероятности противоположного исхода при тех же начальных состояниях.

Из этой матрицы мы получаем простой ответ: вероятность получить три успеха до трёх провалов в D&D 5e при death saving throws составляет 4761/8000, или 59.5125%.

К сожалению, суровая реальность сильно портит дела упавших персонажей. Правила гласят, что если персонаж получает урон, когда он в нуле хитов, он получает один провал. Если же урон получен от критического попадания, то это два провала. А состояние "без сознания" имеет следующие эффекты: "броски атаки против существа совершаются с преимуществом" и "всякая атака, что попадает по существу, является критическим уроном, если атакующий в пяти футах от существа". Иногда вашего персонажа могут добивать, поэтому посчитанная граница - это верхняя граница вероятности. Если вы окружены врагами, реальная вероятность может упасть до нуля процентов (все добивают), так что лучше до этого не доводить.

А что полурослики?

В качестве бонуса рассмотрим полуросликов. Они отлиичаются тем, что, если они выкидывают 1 на спасбросок, они могут перекинуть её, но обязаны использовать новый бросок результата.

У полуросликов совершенно иное распределение чисел на кубе:

P{X=1}=1/20*1/20=1/400 - единица может выпасть только в случае 1 на перебросе.

P{X=k}=1/20+1/20*1/20=21/400 (k=2,...,19) - остальные числа могут выпасть сами по себе с вероятностью 1/20, а могут с вероятностью 1/400 из-за переброса единицы: суммируем по формуле полной вероятности.

В итоге схема перехода для полуросликов меняется следующим образом:

С вероятностью 1/400 мы выкидываем 1 и увеличиваем количество "-" на 2.

С вероятностью 21/400*(9-2+1)=21/50 мы выкидываем число в диапазоне от 2 до 9 и увеличиваем количество "-" на 1

С вероятностью (19-10+1)*21/400=21/40 мы выкидываем число в диапазоне от 10 до 19 и увеличиваем количество "+".

С вероятностью 21/400 мы выкидываем 20 и автоматически переходим в состояние S.

Соответствующая матрица P перехода принимает вид:

И соответствующие вероятности поглощения равны

У полурослика вероятность выжить в отсутствие добивания и урона составляет 4 344 166 869 к 6 400 000 000, или 67.8776%. Полурослики действительно удачливы :-)