Добрый день. Как юрист-цивилист могу ответить, что в вашей ситуации существует два возможных варианта решения вашей проблемы:

а) доказать наличие договорных отношений и взыскать деньги с должника через суд.

Если судить по описанной ситуации фактически вы заключили договор займа денежных средств (ст. 807 Гражданского кодекса РФ).

Если сумма займа больше 10 000 рублей  (здесь речь идет о физ.лицах), то договор  займа должен быть заключен в письменной форме, при этом в подтверждении займа может быть предоставлена расписка или иной документ, который подтверждает, что в рамках договора займа были переданы денежные средства.

Сам факт отсутствия договора займа в письменной форме не лишает вас права на судебную защиту, можно приводить иные доказательства, которые подтверждают наличие у должника обязательств перед вами.

Этими доказательствами, в частности, могут быть банковские документы о переводе денежных средств, переписка и так далее, единственное исключение - это показания свидетелей, свидетельские показания недопустимы, это прямой законодательный запрет. 

В любом случае, как я понимаю, срок возврата денежных средств не был оговорен письменно, поэтому сначала направляете должнику требование о возврате долга, а затем, после истечения 30 дней с даты получения должником требования вы можете идти в суд (абз.2 п.1 ст. 810 Гражданского кодекса РФ).

б) взыскать деньги с должника как неосновательное обогащение

Но для точности, мне желательно изучить все документы, которые у вас имеются, дабы выбрать более верный путь для вас.